中考数学阿氏圆问题专项训练

阿氏圆问题专项训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（）
A．B．6 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴＝，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为，
故选：A．
2．如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图
∵ABCD是正方形，AB＝8
∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°
∵BP＝4
∴，
∴且∠PBC＝∠PBC
∴△PBE∽△BCP
∴
∴PE＝PC
∴PD+PC＝PD+PE
在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6
∴DE＝＝10
∵PD+PE≥DE
∴PD+PE≥10
∴PD+PC的最小值是10
故选：C．
3．如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P 是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为．
【答案】
【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，
则＝，，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△AOP∽△POE，
∴，即2PA＝PE，
∴PB+2PA＝PB+PE，
∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，
∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．
故答案为：．
4．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．
【答案】网版权所有
【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC 的延长线交于点P，
∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，
∴△APC∽△BPA，
，
∴BP＝2AP，CP＝AP，
∵BP﹣CP＝BC＝4，
∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，
∴BP＝，CP＝，即点P为定点，
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，
S
＝BC•A1P＝×4×＝．
△ABC
故答案为：．
5．如图①，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F为AD边上的两点，且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接AG交BE于点H．
（1）求证：AG⊥BE；
（2）如图②，点M为DC的中点，连接DH，M，求DH+HM的最小值；
（3）连接BM，当点E与点F重合时，求tan∠EBM的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
∴∠DAG＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAG+∠AEB＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AG⊥BE；
（2）如图1，
∵∠ABH＝90°，
∴点H在以AB的中点O为圆心，为半径的圆上运动，连接OH，OM，在OM上截取ON＝，连接HN，
∵OA＝，DM＝，AB＝CD，
∴OA＝DM，
∵AB∥CD，
∴四边形AOMD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴▱AOMD是矩形，
∴OM＝BC，∠DMN＝90°，
∴OM＝AB＝2OA，
∴，
∵∠HON＝∠MOH，
∴△HON∽△MOH，
∴＝，
∴HN＝，
∴DH+＝DH+HN，
∴当D、H、N共线时，DH+HN最小，最小值为DN的长，∵DN＝＝＝，
∴DH+的最小值为：；
（3）如图2，
在Rt△CBM和Rt△DCE中，
tan∠CBM＝，tan∠DCE＝，
∴∠CBM＝∠DCE，
∵∠BCM＝90°，
∴∠CBM+∠CMB＝90°，
∴∠DCE+∠CMB＝90°，
∴∠BQE＝∠CQM＝90°，
设CM＝DE＝DM＝a，则CE＝BM＝a，
∴sin∠DEC＝，
∴QM＝CM•sin∠DEC＝a，
∴CQ＝2QM＝a，
∴EQ＝CE﹣CQ＝a﹣＝a，
BQ＝BM＝QM＝﹣a＝a，
∴tan∠EBM＝．
6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．
【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．
由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）
∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，
∴OP2＝OT•OB，
∴＝，
∵∠POT＝∠COP，
∴△POT∽△COP，
∴＝＝＝，
∴PT＝PC，
∴PB+PC＝BP+PT≥BT，
在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，
∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，
∴BP+PC的最小值为．。