2024年冀教版九年级上册教学第二十三章 数据分析平均数与加权平均数

课时目标
1.在实际问题情境中理解算术平均数的概念和意义,会计算一组数据的算术平均数.
2.在理解算术平均数意义的基础上,解决一些实际问题,发展学生的数学应用能力.
学习重点
理解平均数的意义,能计算一组数据的算术平均数.
学习难点
体会平均数在不同问题情境中的应用.
课时活动设计
情境引入
在体操比赛中,计算某一运动员的分值时,往往在所有裁判给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分,然后计算余下分数的平均分,6个裁判员对某一运动员的打分数据(动作完成分)为:9.4,8.9,8.8,8.9,7.6,8.7.
问题1:计算出上述问题中的一组数据的平均数.
解:去掉一个最高分9.4分,去掉一个最低分7.6分,得到一组新的数据:8.9,8.8,8.9,8.7,这组数据的平均数为(8.9+8.8+8.9+8.7)÷4=8.825.
问题2:一组数据的平均数有什么意义?平均数在解决实际问题中的作用有哪些?
设计意图:通过身边的实例,让学生体会数学知识在生活中的广泛应用,并且导入了本节的知识内容.
探究一
1.重庆7月中旬一周的最高气温如下表:
你能快速计算这一周的平均最高气温吗?
学生先独立思考,再组内交流.
在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳.
.
解:(38+36+38+36+38+36+36)÷7=258
7
2.为加快建设农业强国,深入实施种业振兴行动,某农科院决定寻找适合本地的优质高产小麦品种,现将一块长方形试验田分成面积相等的9块,每块100 m2,在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A,B两个品种的小麦,小麦产量如下表:
(1)观察统计图,哪个产品小麦的产量更高些?
(2)以100 m 2为单位,如何比较A,B 两个小麦品种的单位面积产量? (3)如果只考虑产量这个因素,哪个品种更适合本地种植? 学生先独立思考,再组内交流.
在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同给出解题过程.
解:(1)从图中可以看出B 品种小麦的产量可能比A 品种小麦的产量高.
(2)由于同一品种的小麦在不同试验田上的产量有差异,要比较两个品种中哪个产量高,通常情况下是比较它们的平均产量,品种A 和品种B 在试验田上的平均产量分别为:
A 品种小麦的平均产量:1
5×(95+93+82+90+100)=92(kg),
B 品种小麦的平均产量:1
4×(94+100+105+85)=96(kg).
(3)就试验的结果看,B 品种小麦比A 品种小麦的平均产量高,B 品种更适合本地种植.
总结概念:
一般地,我们把n 个数x 1,x 2,…,x n 的和与n 的比,叫做这n 个数的算术平均数,简称平均数,记作x —
,读作“x 拔”,即x —=1
n (x 1+⋯+x n ).
平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”.
设计意图:通过实际问题引导学生观察统计图,从图形的直观上判断哪种小麦的产量高,培养学生的读图能力和直觉思维能力.在比较品种产量的时候,因数据存在差异并且种植面积不同,所以比较单位面积的平均产量是一个合理的方法.进而引出算术平均数的概念,并让学生感受平均数能反映数据的“一般水平”;通过实际问题的探究,让学生感受算术平均数的求法,教师在此环节可给出算术平均数
的概念.
探究二
从一批鸭蛋中任意取出20个,分别称得质量如下:
80857075858580807585
85807585807585708075
(1)整理数据,填写统计表.
(2)小明和小亮分别是这样计算这批鸭蛋的平均数的.
×(70+75+80+85)=77.5(g).
小明的计算结果:1
4
×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).
小亮的计算结果:1
20
你认为他们谁的计算方法正确?请和同学们交流你的看法.
解:要求的是20个数据的平均数,正确的计算方法应该是用20个数的和除以数据的个数.因此,小亮的计算方法正确,这是求平均数的简便方法.
总结:实际上,小亮的计算方法是正确的.由于70,75,80,85出现的频数不同,它们对平均数的影响也不同,所以,频数对平均数起着权衡轻重的作用.
设计意图:学生通过例题,会整理数据,列出频数分布表,然后用简单方法计算平均数,纠正类似小明的错误算法,并且教师应强调平均数是所有数据的总和与数据个数的比值.
巩固训练
1.某次考试,5名学生的平均分是82,除甲外,其余4名学生的平均分是80,那么甲的得分是(D)
A.84
B.86
C.88
D.90
2.若m个数的平均数为x,n个数的平均数为y,则这(m+n)个数的平均数是
(B)
A.
x+y 2
B.
mx+ny m+n
C.x+y m+n
D.
mx+ny x+y
3.下表是校女子排球队队员的年龄分布:
年龄/岁 13 14 15 16 频数
1
4
5
2
求校女子排球队队员的平均年龄. 解:x =
13×1+14×4+15×5+16×2
1+4+5+2
≈14.7(岁),
所以校女子排球队队员的平均年龄为14.7岁.
课堂小结
1.如何求算术平均数?
2.平均数有什么作用和特点?
设计意图:通过问题回顾本节课所学内容,再次帮助学生巩固新知.
课堂8分钟.
1.教材第4页练习2,第5页习题A 组第1题,习题B 组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 算术平均数
观察与思考解题过程:
A 品种小麦的平均产量:1
5×(95+93+82+90+100)=92(kg), B 品种小麦的平均产量:14×(94+100+105+85)=96(kg).
定义:
一般地,我们把n 个数x 1,x 2,…,x n 的和与n 的比,叫做这n 个数的算术平均 数,简称平均数,记作x —
,读作“x 拔”,即x —=1n (x 1+⋯+x n ). 平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”.
教学反思
第2课时加权平均数
课时目标
1.在具体的问题情景中,了解加权平均数的概念和意义,体会“权”的意义,能计算一组数据的加权平均数.
2.会求加权平均数,并体会权的差异对结果的影响.理解算术平均数和加权平均数的联系和区别.会用组中值估计一组数据的平均数.
3.在理解平均数与加权平均数的意义的基础上,解决一些实际问题,发展学生的数学应用能力.
学习重点
1.会求加权平均数,会用组中值估计一组数据的平均数.
2.探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.
学习难点
探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.
课时活动设计
复习引入
在上节课的学习中,我们认识了算术平均数,并知道如何去求一组数据的算术平均数,一般地,我们把n个数x1,x2,…,x n的和与n的比,叫做这个n个数的算术平
(x1+…x n).
均数,简称平均数,记作x,读作“x拔”,即x=1
n
但是有些时候算术平均数并不能完全解决问题,本节课我们将学习一种新的平均数——加权平均数,希望通过本节课的学习,同学们能够说出算术平均数和加权平均数的区别和联系.
设计意图:开门点题,让学生知道本节课的学习重点.
探究新知
假期里,小红和小惠结伴去买菜,三次购买的西红柿价格和数量如下表:
从平均价格看,谁买的西红柿要便宜些?思考小亮和小明的下列说法,你认为他俩谁说得对,为什么?
小亮的说法:
每次购买的单价相同,购买的总量也相同,平均价格应该也一样,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克);
小明的说法:
购买的总量虽然相同,但小红花了16元,小惠花了18元,所以平均价格不一样,小红买的西红柿要便宜些.
学生分组讨论:先独立思考,再组内交流.
在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳.
分析:因为是分三次购买,所以比较谁买的西红柿价格更便宜些,一般是比较平均价格.学生容易犯小亮那样的错误,即不考虑问题的实际意义,机械地套用平均数的公式.
解:小红购买不同单价的西红柿的数量不同,所以平均价格不是三个单价的平均数.实际上,平均价格是总花费金额与购买总量的比,因此,
x
小红=4×1+3×2+2×3
1+2+3
=16
6
≈2.67(元/千克),
x
小惠=4×2+3×2+2×2
2+2+2
=18
6
=3(元/千克).
从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些.故小明说的对.
总结概念
已知n个数x1,x2,…,x n,若w1,w2,…,w n为一组正数,则把x1w1+x2w2+⋯+x n w n
w1+w2+⋯+w n
叫做n个数x1,x2,…,x n的加权平均数,w1,w2,…,w n分别叫做这n个数的权重,简称为权.
设计意图:通过对实际问题进行探究,使学生经历操作、观察、对比、分析、交流等探索活动,初步了解“权”的意义,解释计算加权平均数的理论依据,并认识在不同的权重下,求得的平均数一般是不同的.
典例精讲
例某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼,规定体育科目学期成绩满分100分,其中平时表现(早操、课外体育活动)、期中考试和期末考试成绩按比例3℃2℃5计入学期总成绩.甲、乙两名同学的各项成绩如下:
分别计算甲、乙的学期总成绩.
解:三项成绩按3℃2℃5的比例确定,就是分别用3,2,5作为三项成绩的权,用加权平均数作为学期总成绩.
=89(分).
甲的学期总成绩为95×3+90×2+85×5
3+2+5
=87(分).
乙的学期总成绩为80×3+95×2+88×5
3+2+5
问题拓展:改变三项成绩权的比,得到的学期总成绩会变化吗?(学生自主探究、合作交流)
解:根据分配的权重不同,算得的学期总成绩可能不同.
设计意图:通过例题的教学,使得学生会计算一组数据的加权平均数,并会用加权平均数解决具体的实际问题.
教师提出问题:在解决上面的例题中,思考:
问题1:算术平均数和加权平均数的区别与联系?
解:算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等);在实际问题中,各项权不相等时,计算平均数时就要采用加权平均数,当各项权相等时,计算平均数就要采用算术平均数.
问题2:按照算术平均数和加权平均数的计算方法分别求平均数,对排名次序有影响吗?
解:有.
问题3:你认为哪种平均数进行排名更合理些?
解:加权平均数.
本块内容可安排学生讨论环节.
设计意图:通过讨论,加深学生对算术平均数和加权平均数的认识,从而理解算术平均数是各权重相同时的加权平均数.让学生体会“权”对平均数的影响,并认识在不同的权重下,求得的平均数一般是不同的.
典例精讲
例1某电视节目主持人大赛要进行专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试,各项测试均采用10分制,两名选手的各项测试成绩如下表所示:
(1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次,名次是怎样的?
(2)如果规定按专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩各占60%,20%,10%,10%计算总成绩,名次有什么变化?
解:(1)甲、乙各项成绩的算术平均数分别为:
x 甲=9.0+8.5+7.5+8.8
4
=8.45(分),
x 乙=8.0+9.2+8.4+9.0
4
=8.65(分).
比较算术平均数,乙排名第一,甲排名第二. (2)甲、乙的加权平均成绩分别为:
x
甲
=9.0×0.6+8.5×0.2+7.5×0.1+8.8×0.1=8.73(分),
x
=8.0×0.6+9.2×0.2+8.4×0.1+9.0×0.1=8.38(分).
乙
比较加权平均数,则甲排名第一,乙排名第二.
例2从某学校九年级男生中,任意选出100人,分别测量他们的体重.将数据进行分组整理,结果如下表:
计算这100名男生的平均体重.
分析:对于分组数据,可以用组中值(分组两个端点数的平均数)作为这组数据的一个代表值,把各组的频数看做对应组中值的权,按加权平均计算平均数的近似值.
解:五组数据的组中值分别为47,53,59,65,71.加权平均数为
1
×(47×9+53×21+59×34+65×23+71×13)=59.6.
100
所以这100名男生的平均体重约为59.6 kg.
设计意图:通过完成例1实际问题,再次体会当各数据的重要程度不同时,一般采用加权平均数作为一组数据的代表值;通过例2,让学生能够解决原数据缺失的一组数据的解决办法——对每组数据选择一个代表值,即“组中值”来近似地估计数据的总体情况.
巩固训练
1.射击比赛中,某队员10次射击成绩如图所示,则该队员的平均成绩是8.5环.
2.某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命,从中随机抽查了50只灯泡,它们的使用寿命如下表所示.这批灯泡的平均使用寿命是多少?
使用寿命x /h 600≤x <1 000 1 000≤x <1 400 1 400≤x <1 800 1 800≤x <2 200 2 200≤x <2 600 灯泡数量/只
5
10
12
17
6
解:据上表得各小组的组中值,于是 x =
800×5+1200×10+1600×12+2000×17+2400×6
50
=1672(h),
即样本平均数为1 672.
因此,可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1 672 h.
课堂8分钟.
1.教材第8页练习第2题,第8页习题A 组第1,3题,第9页习题B 组第1题,第11页习题A 组第2题.
2.七彩作业.
第2课时 加权平均数
定义:
已知n 个数x 1,x 2,…,x n ,若w 1,w 2,…,w n 为一组正数,则把
x 1w 1+x 2w 2+⋯+x n w n
w 1+w 2+⋯+w n
叫做n 个数x 1,x 2,…,x n 的加权平均数,w 1,w 2,…,w n 分别
叫做这n 个数的权重,简称为权. 例1:
例2:
教学反思。