高中数学知识点汇总(文科)

必修1
第一章 集合与函数概念
1. 集合三要素：确定性、互异性、无序性.
2. 常见集合：整数集合:N ；正整数集合：*N 或+N ；整数集合：Z ；有理数
集合：Q ；实数集合：R.
3.集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法.
4. 子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合
B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集.记作B A ⊆.
5. 真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合
B 的真子集.记作：A B.
6. 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：Φ.并规定：空集是任何集合的子
集；空集是任何集合的真子集.
7. 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集.
8. 并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A
与B 的并集.记作：A B ，即A B ={|,x x A ∈或}x B ∈.
9. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A
与B 的交集.记作：A B ，即A B ={|,x x A ∈且}x B ∈.
10.补集：对于集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集
合A 相对于全集U 的补集，记作：
U
A ，即
U
A ={|,}x x U x A ∈∉且.
11. 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义
域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 12. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
13. 用定义法判断函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断．
14. 一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，都有()()x f x f =-，那
么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.
15. 一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，都有()()x f x f -=-，
那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
16.求函数定义域：①分母不为0；②偶次方根被开方数0≥；③对数的真数0>. 17.用定义判断奇偶性的方法：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定)(x f -与)(x f 的关系；③得出结论：若)()(x f x f =-或者0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数；若)()(x f x f -=-或者
0)()(=+-x f x f ，则)(x f 是奇函数；
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
1. 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中+∈>N n n ,1.
2.（1）),1()(*N n n a a n n ∈>=且
（2）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3. 我们规定： ⑴m n m
n
a a
=()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01
>=
-n a
a n n ； 4. 指数运算性质：
⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0； ⑵()
()Q s r a a a rs s
r
∈>=,,0；
⑶()()Q r b a b a ab r r r
∈>>=,0,0.
x N N a a x =⇔=log x a y =
10<<a 1>a
图 象
定义域 R 值域
(0 , +∞) 性 质
定点
过定点（0，1）
x 对y
影响 当x > 0时，0 < y < 1； 当x < 0时，y > 1.
当x > 0时，y > 1； 当x < 0时，0 < y < 1.
单调性 在R 上是减函数
在R 上是增函数
对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称
奇偶性
非奇非偶函数
6.指数式与对数式互化：
7.对数的运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时
⑴()N M MN a a a log log log +=； ⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭
⎫
⎝⎛；
（3）
M n M a n a log log =.
（4）a a N
a =log ， 01log =a ， 1log =a a .
8.换底公式：a b
b c c a log log log =
()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .
a
b b a log 1
log =
()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
函数log(0,1)
a
y x a a
=>≠叫对数函数.
x
y
a
log
=1
0<
<a1
>
a 图象
定义域(0 , +∞)
值域R
性
质
过定点（1，0），即x = 1时，y = 0
在R上是减函数在R上是增函数
当0 < x < 1时，y > 0
当x > 1 时，y < 0
当0 < x < 1时，y < 0
当x > 1时，y > 0；
非奇非偶函数。

10.幂函数的图象及性质
（1）几种幂函数的图象：
（2）幂函数的性质：
①所有的幂函数在)
(+∞
,0都有定义，并且图像过点)
(1,1
②0
>
α时，幂函数的图象都通过原点，且在)
(+∞
,0上是增函数
③0
<
α时，幂函数的图象在区间)
(+∞
,0上是减函数
第三章 函数的应用
1.方程()0=x f 有实根
⇔函数()x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数()x f y =有零点.
2. 性质：如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并
且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,有零点，即存在
()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根
〖补充知识〗函数图象变换
1.平移变换
0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位
右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位
2.伸缩变换
01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸
缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸
3.对称变换
()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴
()()
y f x y f x =−−−→=--原点
1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线
()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象
保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象
()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象
将轴下方图象翻折上去
必修2
第一章空间几何体
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥:有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环。

（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1. 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右
俯视图：从上往下
2. 画三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等
3.直观图画法：斜二测画法
4.斜二测画法的要求：
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）画法要写好。

5. 斜二测画法的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
6.棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
7.圆柱的表面积 8. 圆锥的表面积2r rl S ππ+=
9. 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 10.球的表面积24R S π= 11.柱体的体积 h S V ⨯=底
222r rl S ππ+=
P
· α
L
β D C B
A α
12.锥体的体积 h S V ⨯=
底31
13.台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31
下下上上（
14.球体的体积 33
4
R V π=
第二章 直线与平面的位置关系
1. 平面含义：平面是无限延展的
2. 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
3.三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面 符号表示为
公理1作用：判断直线是否在平面的理论依据
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为： 三点不共线 有且只有一个平面 ， 使。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据及点共线的依据
L
B
A
·
α C ·
B
· A · α ααα⊂⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫
∈∈∈∈L B A L B L A ααα∈∈∈C B A ，，C B A ，，⇒αL P L p ∈=⋂⇒⋂∈，且βαβα
4. 空间的两条直线有如下三种关系：
⎩⎨
⎧，没有公共点；平行直线：同一平面内有且只有一个公共点；相交直线：同一平面内
共面直线 异面直线:不同在任何一个平面，没有公共点。

5. 公理4（平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设 、 、 是三条直线,
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

6.等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补
7.异面直线所成角的定义：已知异面直线 , ,在空间中任取一点O,过点O
分别做 ,
，则 与 所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角
8.直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
来表示
9.线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
c
a b c b a //////⇒⎭
⎬⎫
a a '//
b b '//a 'b 'a b α⊄a a b
c α
⊂a A a =⋂αα
//a ααα////a b a b a ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊄
10.面面平行判定定理：一个平面的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
11.判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

12.线线平行判定定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

13.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
14.线面垂直定义：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L
α p
b
a
b
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
γ
β
α
γ
α
β
α
α
L
L L
L
αα
α
⊥
L
α
l l l x l 与x l 与00tan 0===o
o
k ，α
15.线面垂直判定定理：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

16.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
17.面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

18.线线平行判定定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

19.线面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章 直线与方程
1.直线倾斜角的概念：当直线 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.特别地,当直线 与x 轴平行或重合时, 规定 .
2.倾斜角
的取值围： . 当直线l 与x 轴垂直时, . 3.直线的斜率:一条直线的倾斜角
的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 ⑴当直线
轴平行或重合时, ⑵当直线
轴垂直时, 由此可知, 一条直线 的倾斜角
一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4.直线的斜率公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率: 21
21
y y k x x -=
- 5.两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即L 1∥L 2 ⇔ k 1=k 2
l α
o
0=ααo
o
o 180<≤αo
90=α(
)
o
90≠ααα
tan =k
不存在，k o 90=ααl
12PP =
两点间的距离公式：)
,(2121y y x x ≠≠6.两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即1212l l k k =0⊥⇔⋅ 7.直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 则
)(00x x k y y -=-
8.直线的斜截式方程：直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点为),0(b ，b kx y += 9.直线的两点式方程：已知直线上的两点),(),,(222211y x P x x P 其中
11
2121
y-y x-x =
y -y x -x
10.直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ,1x y a
b
+=
11.直线的一般式方程： 0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）
12.点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：
2
2
00B
A C
By Ax d +++=
13.两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：
02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
14.
,22
D E -
-（）
第四章 圆与方程
1.圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为A(a,b),半径为r
2.点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆
3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（2240D E F +->）,圆心半径
4.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心
)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
5.两圆的位置关系:设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 含；
6.空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，
x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖
坐标。

7. 空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
必修3 第一章 算法初步
1.算法的特点:有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性.
2.算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.辗转相除法.也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： (1).用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R
(2).若0R ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数
0R 得到一个商1S 和一个余数1R
(3).若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数
1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；…… 依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.
4.更相减损术
(1).任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。

若是，用2约简；若不是，执行第二步.
(2).以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. 5.九韶算法概念：
1210
123
n 12
12n 11011n 1)))(())(()()(:)(a x a x a x a x a a x a x a x
a x
a a x a x a x a x f a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n +++++==++++=+++=+++=---------- 求值问题
求多项式的值时，首先计算最层括号依次多项式的值，即11-+=n n a x a v 然后由向外逐层计算一次多项式的值，即
013232
12a x v v a x v v a x v v n n n n +=+=+=---
这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。

6.进位制表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. （2）k 进制转化为十进制公式：
（3）十进制转化为k 进制：除k 取余法
110()
110110(10)
n n k n n n n a a a a a k a k a k a k ---=⨯+⨯+
+⨯+⨯
注：k 进制数之间的转化，首先转化成十进制，再转化为其他进制数.
第二章 统计
1.简单随机抽样常用的方法：①抽签法 ②随机数表法 （2）抽签法步骤：
①编号 ②制签 ③搅拌均匀 ④抽签 ⑤确定样本 （3）随机数表法：
①编号 ②从数表中定“中心” ③按事先约定好的方向取数 ④确定样本 2.系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取.
特点：抽出的样本编号按大小顺序排列时，编号之差为定值（即等距）。

3.分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有元素按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后按比例在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本. 分层的比例问题：抽样比例=
=样本容量各层样本容量
个体容量各层个体容量
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征
①样本均值：12......n
x x x x n
+++=
②方差：[]
2
22212)()()(1x x x x x x n
s n -++-+-=
③样本标准差：s ==④众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据（可以是多个） ⑤中位数：在样本数据中，从小到大排列，最中间的那一个数据，如果最中间有两个数据，取其平均值即为中位数.
5.观察频率分布直方图（不知道具体数据）时求数字特征的方法： ①样本众数：直方图中最高小长方形下端中点的横坐标的值.
②中位数：在频率分布直方图中，累计频率为0.5时所对应的样本数据值（只有一个）。

具体求解步骤是：
第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为1） 第二步，确定中位数在哪个小长方形里（中位数平分面积，两边各0.5） 第三步，设中位数为x ，则利用中位数平分面积，左边面积和为0.5列方程 第四步，解方程，求出x. ③平均数：
第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为1） 第二步，求出每个小长方形的底边中点的横坐标. 第三步，面积与横坐标对应相乘.
第四步，把第三步的结果相加，最终算出的数值即为平均数 6.用样本的频率分布估计总体分布
列频率分布表与画频率分布直方图的具体步骤如下： 第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差. 第二步：决定组距和组数：组数=组距
极差
（注意：当
组距极差
不是整数时，组数=［组距
极差］+1.） 第三步：将数据分组； 第四步：列频率分布表： 第五步：画频率分布直方图。

（== 频率
小长方形的面积组距频率组距
） 7.两个变量的线性相关
(1).正相关:从散点图看,点散布在从左下角到右上角的区域.
1
2
1
()(),()
n
i i i n
i i x
x y y b a y bx x x ==--=
=--∑∑负相关：从散点图看，点散布在从左上角到右下角的区域. (2).回归直线方程:a x b
y ˆˆˆ
+=，其中),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 为样本点,线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=中系数计算公式:
则∑∑====n
i i n
i i y n y x n x 1
1
1,
1
8.统计案例 ⑴相关系数1
2222
11n
i i
i n n
i i i i x y nx y
r x nx y ny ===-=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑是用于衡量两个变量之间的线性
相关程度的.0>r
时表示两个变量正相关；0<r 时表示两个变量负相关；
r 的绝对值越接近1，
表明两个变量间的线性相关程度越高，当75.0>r 时，
可以认为两个变量有很强线性相关性.
⑵相关指数()(
)
2
21
2
11n
i i n
i i y y R y y
==-=-
-∑∑ ，用来刻画回归的效果，2
R 越接近1，表
明回归效果越好.
第三章 概 率
1.随机事件的概率及概率的意义
1.必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；
2.不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能
事件.
3.随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随
机事件.
4.频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例()A
n n f A n
=
为事件A 出现的频率。

（频率=频数÷样本总数） 5.当试验的次数越多时，频率就越接近一个稳定值，这个稳定值我们称之为“概 率”，即频率可看成概率的近似值. 6.概率的基本性质
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1 （2）事件的关系有：包含、并事件、交事件、相等事件.
（3）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=∅，那么称事件A 与事件B 互斥； （4）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；所以，对立事件一定是互斥事件，反之不然.
（5）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若某事件的结果有k 种可能，则这k 种可能的概率之和为1.
若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B).
7.基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个， 一次实验的所有可能的结果一一列出，列出时做到不重复、不遗漏即可得出所有的基本事件。

（列出时可以画树状图，也可以按照一定规则和秩序一一列出）
8.基本事件的特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和. 9.古典概型
（1）古典概型的条件：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ②每个基本事件出现的可能性相等. （2）古典概型的解题步骤：
①求出总的基本事件数.
②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式
A ()p A =
所包含的基本事件的个数
总的基本事件个数
10：几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型. （2）几何概型的概率
积）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）
的区域长度（面积或体构成事件A A p =
)(.
（3）几何概型的特点：
①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. ②每个基本事件出现的可能性相等．
必修4
第一章 三角函数
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
2.角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
3.与角α终边相同的角的集合为{}
360,k k ββα=⋅+∈Z 4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
5.半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是
()
sin 2tan cos α
αα
=l r
α=．
6.弧度制与角度制的换算公式：2360π=
，1180π
=
，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
． 7.若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
则l r α=，2C r l =+，211
22
S lr r α=
=．
8.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 是(),x y ，它与原点的距离是()
0r r =>，则
sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠． 9.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10.三角函数线：
sin α=MP ，cos α=OM ，
tan α=AT ．
11.三角角函数的基本关系
()221sin cos 1αα+=； (α≠k π＋π
2，k ∈Z )
12.函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限． 13.y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换
由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
易误提醒 (1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先
利用诱导公式化为同名函数．(2)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪
φω，而不是|φ|.
14.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ； ②周期：2π
ω
T =；
③频率：12f ωπ
=
=T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ．
max
1
y
=min 1
y =-15.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sin y x =
cos y x =
tan y x = 图象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬
⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k ππ=+()
k ∈Z 时，max 1y =；当
22
x k π
π=-
()k ∈Z 时 当()2x k k π=∈Z 时 ；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在2,22
2k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函
数；在
32,222k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z 上是减函
数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是
增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函
数．
对称性
对称中心
()(),0k k π∈Z
对称轴
对称中心
(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝
⎭ 对称中心
(),02k k π⎛⎫
∈Z ⎪⎝⎭
无函 数 性 质
()2
x k k π
π=+
∈Z
对称轴()x k k π=∈Z 对称轴
第二章 平面向量
16.向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()()
a b c a b c ++=++；③
00a a a +=+=．
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y +=++． 18.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A ()11,x y 、B ()22,x y 则()1212,x x y y AB =--． 19.向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．
b
a
C
B
A
a b C C
-=A -AB =B
①a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20.向量共线定理：//)0(≠⇔b a λ=．
21.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面所有向量的一组基底） 22.平面向量的数量积：
⑴()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=． ②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；
当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2
2a a a a ⋅==或a a a =⋅． ③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：
①a b b a ⋅=⋅；②()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2
22a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．
α
αα2tan 1tan 22tan -=设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则
121
cos a b a b
x θ⋅=
=
+
第三章 三角恒等变换
23.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
24.二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2
α
α-=． (3)
必修5 第一章 解三角形
1.正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2.正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④
sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 3.三角形面积公式：111
sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．
4.余弦定理：在C ∆AB 中，有
2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．
5.余弦定理的推论：
222cos 2b c a bc +-A =，222
cos 2a c b ac
+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．
6.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若222
a b c +=，则90C =； ②若222
a b c +>，则90C <； ③若222
a b c +<，则90C >．
第二章 数列
1.数列中n a 与n S 之间的关系：1
1,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(注意通项能否合并)。

2.等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2
a b
A +⇔= ⑶通项公式：1(1)n a a n d =+-
⑷前n 项和公式：()()
11122
n n n n n a a S na d -+=+=
⑸等差数列的常用性质：
①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②在等差数列中，间隔相同的项取出一列数，仍组成等差数列； ③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列； ④单调性：{}n a 的公差为d ，则： ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；
⑤数列{n a }为等差数列n a pn q ⇔=+（p,q 是常数）
⑥若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列。

3.等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a b 、G 、成等比数列2,G ab ⇒=
即G =（ab 同号）。

反之不一定成立。

⑶通项公式：1
1n n a a q -=
⑷前n 项和公式：()1
11(1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q
q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩。