数学竞赛专题辅导——中值定理上课用

f (a) F (a)
,
(a,b)
3
泰勒中值定理：若函数 f ( x)在 ( x0 ) 内具有 n + 1 阶导数,
则当 x ( x0 )时，有公式：
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0 )n
Rn ( x)
n1
nn
11
例2 证明：0 a b,
2a ln b ln a a2 b2 b a
1 ab
证明 : f ( x) ln x在[a, b]利用拉格日朗日中值定 理
ln b ln a 1 , (a, b)
ba
a2 b2 2ab 2a
ln b ln a ba
1
2a a2 b2
对F ( x)在[ ,1]上用罗尔定理：
2 ( ,1) (0,1)使 F (2 ) 0，即f (2 ) 0.
例2. 设f ( x) C[0 ,1]且 1 f ( x)dx 0, g( x)在[0 ,1]上有连续导数
在(0,1)内g( x) 0, 又
1 0
0
f ( x)g( x)dx
(1) 对f ( x)用费马定理,罗尔定理.
(2) 需找三个点a, b, c,使f (a) f (b) f (c),(a b c)
则1 (a, b)使f (1 ) 0;2 (b, c)使f (2 ) 0;
对f ( x)在[1,2 ]上用罗尔定理即得结论.
常用的构造函数的几种模型
19
例4.
lim
2! 4!
2 2! 2
x0
x 2[ x ( x ( x)2 o( x 2 )]
2
[ 1 1 ]x 4 o( x 4 )
lim 4! 2!4 x0 1 x 4 o( x 4 )
1 6
2
15
4. 证明有关中值问题的结论
题型一. 证明： 使f ( ) 0或A(常数).
例1. 设 f ( x) C[a , b]且f (a) f (b) 0, f(a) f(b) 0,
o f ( x) f ( x0 ) a f( x0 )(bx xx0 )
1 n!
f (n) ( x0 )( x
x0 )n
1 ( n1)!
f ( (n1) )( x
x0 )n1
6
2. 零点定理与介值定理 1)零点定理 ：若f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) f (b) 0
(b)
0
保号性 定理
必有
x2
(
a
2
b
,
b)
,
使
f ( x2 ) x2 b
0,
故
f ( x2 )
0
又在 [ x1, x2 ] [a , b]上 f ( x)连续, 由零点定理知, 存在
( x1 , x2 ) (a , b) ,使f ( ) 0 .
16
例2. 设f ( x) C[0 ,1]且 1 f ( x)dx 0, g( x)在[0 ,1]上有连续导数
罗尔定理
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f ( ) 0
F(x) x
y
y f (x)
f (a) f (b)
o 柯a 西中值b 定x 理
f ( ) f (b) f (a)
ba
F(x) x
n0
y
y f (x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
0
17
(0,1)使 1 F ( x)g( x)dx F ( )g( )(1 0) 0，F ( x)
x
f (t)dt
0
0
由已知g( x) 0 F ( ) 0
0
1
对F ( x)在[0, ]上用罗尔定理：
1 (0, ) (0,1) 使 F (1 ) 0， 即f (1 ) 0.
数学竞赛专题辅导——中值定理上课用
数学竞赛专题辅导：
中值定理及其应用
一、几个中值定理 二、中值定理的应用
2
一、 几个中值定理
1. 微分中值定理
罗尔定理： (1) f ( x) C[a, b]
(2)
f
(
x)
D(a, b)
(3) f (a) f (b)
f ( ) 0
(a,b)
拉格朗日定理：
证明 f ( x) 1.
证: x [0 , 1] , 由泰勒公式得
f (1)
f (x)
f ( x)(1
x)
1 2
f ()(1
x)2
(0 1)
f (0)
f ( x) f ( x)
x
1 2
f ( )
x2
(0 1)
两式相减得 0
f
(
x)
1 2
f
( )(1
x)2
1 2
f ( )x2
0，证明:不同1,2 (0 ,1)
使f (1 ) f (2 ) 0
18
题型二. 证明： 使f ( ) 0或f ( ) 0.
证明思路：
1. 使f ( ) 0 :
(1) 验证f ( x)在x 处取得极值，用费马定理.
(2) 验证f ( x)在包含x 的闭区间上满足罗尔定理.
这里关键,需找a, b,使f (a) f (b)( 0) 2. 使f ( ) 0 :
证明f (x)在（a，b）内有界.
证: 取点 x0 (a ,b) , 再取异于 x0 的点 x (a ,b) , 对
f ( x) 在以 x0 , x 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 界于 x0 与x 之间)
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
令g( x) ln x ln a x a
ax
g( x) ( x a )2 0, x a 0 2 ax 3
g( x)减， g( x) g(a) 0 g(b) 0
即 ln b ln a ba
1 ab
12
例3. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上二阶可导, f (0) f (1),且 f ( x) 2 ,
设
f
(x)
D[a
,
b]且f
(a
)
f
(b)
0,
证明:
(a
, b)
使f ( ) 0.
设f ( ) max f ( x)， (a, b)
a xb
证: 不妨设 f(a) 0 , f(b) 0.
f ( x)在x 处可导，
f(a)
lim
xa
f
( x) f xa
(a)
0
由费马定理知：
(a, b)使 f ( ) 0.
在(0,1)内g( x) 0,又
1 0
0
f ( x)g( x)dx 0，证明:不同1,2 (0 ,1)
使f (1 ) f (2 ) 0
证明 : 令F ( x)
x
f (t)dt,
0
0
1
(欲证结论,需找a, b, c [0,1],使F (a) F (b) F (c) 0)
由已知 F (0) 0, F (1) 0, 又 F ( x) f ( x) ,
试证： (a , b) , 使f ( ) 0 .
证: 不妨设 f(a) 0 , f(b) 0.
f(a)
lim
xa
f
( x) f xa
(a)
0
a x 1
ab
x2
b
x
2
保号性 定理
必有
x1
(a
,
a
2
b
)
,使
f ( x1 ) x1 a
0，故
f ( x1 )
0
f(b)
lim
x b
f
(
x) f xb
保号性 定理
必有x (a ,a
1),使
f
( x) f (a) xa
0
f (x)
f (a)
f(b)
lim
x b
f
( x) f xb
(b)
0
保号性 定理
必有x ( b 2
, b),使
f ( x) f xb
(b)
0
f (x)
f (b)
即f (a ), f (b)都不是f ( x )在[a, b]上的最大值，
令x=0,得 C .
2
又
f
(1)
2
,
故所证等式在定义域
[1,
1]
上成立.
自证:
arctan x arc cot x , 2
x ( , )
10
2.证明不等式
例1.
证明不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
( x 0).
证: 设 f (t) ln(1 t) , 则 f (t)在[0 , x]上满足拉格朗日中值定理
f ( x)
1 2
f ()(1
x)2
1 2
f
( )x2
f
(
x)
f
12(
x
f0 )(f)
(1x0)(xx)2x120 )
f
f(()x)2(
2!
x
x0
)2
(1 (x在)2 x0x与2x1之 2间x()1 x) 1 , x [0 , 1]
13
例4. 设函数 f (x)在（a，b）可导，且 f ( x) M ,
4. 积分中值定理
若 f ( x) C[a , b] [a , b],使
b
f ( x)dx f ( )(b a)
a
注：
b
a f ( x)d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼茨公式 设 F ( x) f ( x)
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x) C [a , b] f ( x)在[a , b]上必有最大值与最小值，
则f ( x)在[a , b]上必有最大值一定在(a , b)内取得，
20
例5. 设 f ( x) C[0, 3], f ( x) D(0, 3),且f (0) f (1) f (2) 3,
f (3) 1,证明: (0 , 3)使f ( ) 0.
f ( x0 ) f ( ) x x0
f ( x0 ) M (b a) K (定数)
可见对任意 x (a ,b) , f (x) K , 即得所证 .
14
3. 极限的计算.
x2
例1
cos x e 2
lim
x0
x2[x
ln(1
x)]
[1 x 2 x 4 o( x 5 )] [1 x 2 1 ( x 2 )2 o( x 4 )]
即：f ( x) C [ a , b ] , m C M (a, b),使f ( ) C 或 f ( x) C [ a , b ] , m C M [a, b],使f ( ) C
7
3. 费马定理
设函数f ( x)在点x0处可导,且在点x0处 取得极值f ( x0 ) 0.
0 3研数三
证: 设f ( x)在[0 , 2]上的最大值为M ,与最小值为m，
m f (0), f (1), f (2) M， 0 2 3
m f (0) f (1) f (2) M 3
8
二、中值定理的主要应用
1. 证明恒等式 例1. 证明等式 arcsin x arccos x , x [1, 1].
2
证: 设 f ( x) arcsin x arccos x , 则在(1, 1)上
f ( x) 1 1 0
1 x2 1 x2
由推论可知 f ( x) arcsin x arccos x C (常数)
f ( x) C[a, b]
f ( x) D(a, b)
f ( )
f (b) f (a) , (a,b)
ba
柯西定理：
F ( x), f ( x) C[a, b]
F ( x), f ( x) D(a, b)
且F ( x) 0
f ( ) F ( )
f (b) F (b)
( 在 x0 与 x 之间)
其中余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((
x
x0
)n
)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 . f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2
2!
f (n)(0) xn ( xn )
n!
4
微分中值定理之间的相互关系
至少有一点 ( a , b ) , 使 f ( ) 0 .
2)介值定理：设f ( x) C [ a , b ] ,且f (a) A , f (b) B , A B ,
则对 A 与 B 之间的任一数 C , ( a , b ) ,使 f ( ) C.
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值 之间的任何值 .
由已知
1 f ( x)g( x)dx 0 知
1
F ( x)g( x)dx 0 ,
0
0
即[F ( x)g( x)]10
1
F ( x)g( x)dx 0
0
1
F ( x)g( x)dx 0
0
由积分中值定理得 : (0,1)使
1
F ( x)g( x)dx F ( )g( )(1 0) 0
因此应有 f ( x) f (0) f ( )( x 0) , 0 x
即 ln(1 x) x , 0 x 由于 f (t) 1
1
1 t
因为
1 1
1
x
1 1 x
1
1
1
x 1 x
x
1
x
所以 x ln(1 x) x ( x 0)
1 x
练习：
证明:对任意正整数n,都有 1 ln(1 1 ) 1 成立；[11年数1, 2]