第3章正弦交流电路

+
_ C u_ C
设：i Im sinω t
u Umsin(ω t )
p u i Um sin(ω t ) Imsinω t
UmImcos sin2 ω t UI sin sin2ω t
耗能元件上 的瞬时功率
储能元件上 的瞬时功率
在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉,一部分与储能 元件进行能量交换。

U
( < 0 容性)
U X 由电压三角形可得:
U Rຫໍສະໝຸດ 电压 三角形UR Ucos U x Usin
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2) 相量图
U
U L U C U X

U R
电压 三角形
Z

X XL XC 阻抗
R
三角形
由阻抗三角形：
R Z cos X Z sin
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
有效值 I =16.8 A
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例3: 图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：
uA 220 2 sin 314 t V
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
RLC串联交流电路中
设：i 2 I sinω t
+
_ C u_ C
U?=IR + IL + I 1/ C
交流电路、U I与参数R、L、C、 间的关系如何？
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3.7 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
(1) 瞬时值表达式
+
+
R u_ R
u
UAB 220 V 220 cos (120 ) jsin (120) V
220 (1 0.5 j0.866 )V
220 1.73 30V
U C
- U B
U AB
380 30V 所以uAB 380 2 sin(ω t 30)V
30 U A
由相量图可求得:
U
U
2 R

(U
L

UC
)2
I R2 (X L XC )2
I R2 X 2
I Z
Z R2 (XL XC )2
arctan X L XC
R
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2.功率关系 (1) 瞬时功率
i
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
则U m 220ej45V或 U 220 e j45V 2
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⑥“j”的数学意义和物理意义
e 旋转 90因子： j90
ej90 cos 90 jsin90 j
A B
设相量 A rejψ
+j
A
相量 A 乘以
U
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3.7单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
i
+
Ru
u iR R
设
i 2Isinωt
则
U IR
I
U
U IR
UI I 2R
0
-
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
u2 110 2 sin(ω t 45) V +j
解: (1) 相量式
U 2
U1
U1 220 20V U2 110 45 V
45
20
+1
(2) 相量图
U1 落后于U 2
U 2
超前 落后
U 1
？
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将逆时针旋转
e90j90， ，得到
B
ψ
A 将相顺量时针A 乘旋以转e9-0j9，0 得，到C
o
+1
C
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正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
•
U

220
45V？
2
有效值
j45
Um 220 ？ e45V
2.已知： I 10 60A
阻抗角： ψu ψi arctan
由电路参数决定。
(XL X XL XC
R
C )2
arctan
ω
L
1 R
/
C
电路参数与电路性质的关系：
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i 呈感性
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性
当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性
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(2) 平均功率P （有功功率）
P 1
T
pdt
T0
1
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
O
x
u1
OUm
ψ
ω t1
ωt
若:有向线段长度 = Um
有向线段与横轴夹角 =
初相位
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转 则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示
相应时刻正弦量的瞬时值。
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3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 复数表示形式
ej ψ ej ψ
cos ψ
,
2
ej ψ ej ψ sin ψ
2j
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可得: ej ψ cosψ jsin ψ
(3) 指数式 A r ej ψ (4) 极坐标式 A r ψ
A a jb r cos j r sin rejψ r ψ
设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb
+j
b
r

0
A
a +1
式中: a r cos ψ b r sin ψ
r ψ

a2 b2 arctan
b
复数的模 复数的辐角
(2) 三角式
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
由欧拉公式:
复数形式的 欧姆定律
Z

U I

U I
u i

Z
U
I
u i
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u、i 的相位差。
注意 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
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Z Z R j XL XC
阻抗模： Z U R2 I
第3章 正弦交流电路
3.2 正弦量的相量表示法 3.7 电阻、电感与电容元件串联交流电路 3.8 阻抗的串联与并联
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第3章 正弦交流电路
本章要求 1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗；
熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。； 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念； 4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐 振的条件及特征； 5.了解提高功率因数的意义和方法。
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2) +
U
_
相量图
I
+
R U_ R U L
+
jXL
U_
XL
L
>
+
-jXC U_C U
U L
UC
XC
U C
U L


(> U C
参考相量
U
U R I
0 感性)
U L
XL < XC
U L UC U C
U R I
L
+
u_ L
根据KVL可得：
u uR uL uC

iR

L
di dt

1 C
idt
+ 设：i 2 I sinω t
_ C u_ C 则 u 2IR sinω t
为同频率 正弦量
2 I ( ω L)sin( ω t 90)
2I ( 1 )sin(ω t 90) ωC
相量: 表示正弦量的复数称相量
设正弦量:u Umsin( ωt ψ)
相量表示:
U Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
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或：
Um Umejψ Um ψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
(2) 相量图
U B
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单一参数电路中的基本关系
参数 阻抗
RR
基本关系
u iR
相量式
U IR
L
jXL jω L
u L di dt
U jX LI
C

jXC

j
1 ωC
i C du dt
U jXC I
相量图
I U
U
I I
注意:
电压的幅值相量
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
？ i Imsin(ω t ψ) = Ime jψ Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。
③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
U I

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U I
④相量的两种表示形式
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3.2 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法
u
波形图
O
ωt
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ
必须 小写
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
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2.正弦量用旋转有向线段表示
设正弦量: y
例2: 已知 i1 12 .7 2 sin (314 t 30 )A
i2 11 2 sin(314t 60)A
求：i i1 i2 。
I1 12.7 30A I2 11 60A
I I1 I2 12.7 30A 11 60A
12.7(cos 30 jsin 30 )A 11(cos 60 jsin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
3.已知：
I 4 e j30A 复数 4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
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例1: 将 u1、u2 用相量表示
试求uAB ，并画出相量图。
解:(1) 用相量法计算：
UA 220 0 V
N
UB 220 120V
UC 220 120V
+ +A
U A
–
U– B
U AB -
N
+– U+– C
B C
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由KVL定律可知
UAB UA UB 220 0V 220 120 V
U IR I(jX L ) I(jXC ) 总电压与总电流
IR jX L XC
的相量关系式
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根据 U IR j X L XC
令 Z R j X L XC 阻抗
则 U IZ
相量式: U Uejψ U ψ U( cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴

⑤相量的书写方式
模用最大值表示 ，则用符号：U m 、Im
实际应用中，模多采用有效值，符号：U 、I 如：已知 u 220 sin(ω t 45)V
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(2)相量法
I
+
+
R U_ R
+
U jXL U_ L
+
_ -jXC U_C
1)相量式
U U R U L U C 设 I I0 （参考相量）
则 U R IR
U L I(jX L )
U C I(jXC )
jXC 则
U IX C
I
U
U jIXC
u
s
in2(Iωt C90)XC

1 / c
u落后
i
90°
0
UI - I2XC
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3.7 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
直流电路两电阻串联时
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
U IR1 IR2
u 2Usinωt
u、 i 同相
i
设
U
i 2Isinωt
UI
L
+ u
u L di jX L 则
dt
u 2Iω L
U IX L
X L L
I U jIX L 0 I 2 X L
-
sin(t 90)
u领先 i 90°
C
+ u
-
i
i C du dt
设
i 2Isinωt