第五章 机械CADCAM建模技术

正则集与正则集合运算
三维几何形体可认为是空间的点集，但并非所有的空间 点集都是有效的几何形体，为解决形体有效性判断问题， 提出了正则集和正则集合运算的理论。
具有良好边界的形体定义称为正则形体，反之称为非正 则形体。正则形体没有悬边、悬面或一条边有两个以上 的邻面。
正则形体与非正则形体的比较
几何元素
并（U*）、交（∩*）、差（－*）
正则集合运算与普通集合运算的关系：
A * B ki(A B)
A * B ki(A B) A * B ki(A B)
A A B
B
通过正则集合运算来保证形体的有效性
欧拉公式
为保证几何建模过程中每一步产生的中间形体的拓扑关 系都正确，即检验物体描述的合法性和一致性，欧拉提 出了描述形体的拓扑关系的检验公式，即欧拉公式.
– 线框模型的数据结构由一个顶点表和一个棱边 表组成，棱边表用来表示棱边和顶点的拓扑关 系，顶点表用于记录各顶点的坐标值
线框模型的数据结构
一、线框模型
• 优点：
– 数据结构简单，信息量少，占用的内 存空间小，对操作的响应速度快
– 通过投影变换可以快速地生成三视图， 生成任意视点和方向的透视图和轴侧 图
对于简单的正则形体，欧拉公式的定义为： V–E+F=2
其中V为点数、E为边数、F为面数
V=8,E=13,F=7
欧拉公式
对于有孔洞的形体，相应的欧拉公式为：
V – E + F =2（B – H）+ L
其中，V、E、F分别为形体的点、边、面的个数， B为 体的个数；H为穿透形体的孔数；L为所有面上的内环 数。
采用E{V},E{E},E{F}三种拓扑关系，建立数据结构， 由于以边为中心，形似蝉翼，故名为翼边数据结构， 具体形式：
Elcc
P2
Ercw
Loop左
Loop右
E{V} P1
E{F} Loop右
E{E} Ercc, Ercw
E
P2
Loop 左
Elcc ,Elcw
Elcw
Ercc P1
翼边结构
Elcc Loop左
– 拓扑的点可对应几何意义上的坐标点、直线的端点、 圆弧的端点或空间参数曲线的控制点；
拓扑信息
➢ 点、边、面之间的九种拓扑关系
fe ev
面与边的关系： F{E} 面所包含的边。 面与面的关系： F{F} 面的相邻面。 面与点的关系： F{V} 面所包含的顶点。
f e
边与面的关系： E{F} 边所在的面。共边面
几何元素之间的9种拓扑关系
• 基本的几何元素是点（V）、边（E）、面（F）
非几何信息
是指除产品几何信息和拓扑信息之外的信息 –物理属性：如零件的质量、材料，性能参数 –工艺属性：如公差、加工粗糙度和技术要求等
信息
为了满足CAD/CAPP/CAM集成的要求，非几何 信息的描述和表示显得越来越重要，是目前特 征建模的基础。
常见的曲面构造方法
6）圆角面 即圆角过渡面，可以是等半径，亦可变半 径；
7）等距面 是将原始曲面的每一点沿该点的法线方向 移动一个固定的距离而生成的曲面。在使用球头铣 刀进行数控加工时，球头铣刀中心的运动轨迹就是 加工曲面的等距面。
表面模型的优缺点
• 优点：
表面模型增加了面、边的拓扑关系，因而可以进行消 隐处理、剖面图的生成、渲染、求交计算、数控刀具轨 迹的生成、有限元网格划分等作业。
•表面模型的分类 •表面模型的数据结构 •常见的曲面构造方法 •表面模型的优缺点
表面模型的数据结构图
• 表面模型的数据结构是在 线框模型的基础上增加了 面的有关信息和连接指针
• 增加了面表结构。面表包 含有构成面边界的棱边序 列、面方程系数以及表面 是否可见等信息。
常见的曲面构造方法
1）平面 可用三点定义一个
形体的表示
形体在计算机内采用六层拓扑结构进行定义
1. 顶点是边的端点，为两条 或两条以上边的交点。
– 顶点不能孤立存在于实体内、 外或面和边的内部
2. 边是实体两个邻面的交界， 一条边有两个顶点，分别 称为该边的起点和终点
– 边不能自交 – 一条边只能有两个相邻的面
体 (Body)
形体的表示
3. 环 环是面的封闭边界，由 有序、有向边的组合。环不能 自交，且有内外之分。确定面 的最大边界的环叫做外环，而 确定面中孔或凸台周界的环叫 做内环。
平面
2）线性拉伸面 将一条平面 曲线沿一方向移动而扫成的曲 面
3）直纹面 一条直线的两个 端点在两条空间曲线的对应等 参数点上移动形成的曲面，如 飞机的机翼和圆柱面、圆锥面 等
4）回转面 平面线框图绕某 一轴线旋转所产生的曲面。
常见的曲面构造方法
5）扫成面 扫成面可以有如 下三种构造方法： ①用一条剖面线沿一条基 准线平行移动而构成曲 面； ②用两条剖面线和一条基 准线，使一条剖面线沿 着基准线光滑过渡到另 一条剖面线所形成的曲 面； ③用一条剖面线沿两条给 定的边界曲线移动，剖 面线的首、末点始终在 两条边界曲线对应的等 参数点上，剖面形状保 持相似变化。
几何信息
反映物体的大小及位置(坐标值)。包括顶点的坐标，棱 边的直线方程，曲线方程，平面方程，二次曲面方程， 自由曲面等。
–顶点： V=(x,y,z) –直线：(x-x0)/cosα=（y=y0)/cosβ=(z-z0)/cosγ –平面： Ax+By+Cz+D=0 –二次曲面:
A1x2+A2y2+A3z2+B1xy+B2yz+B3zx+C1x+C2y+C3z+D=0
实体造型 (solid modeling)
• 机械CAD/CAM技术处理的对象是三维实体 • 采用三维实体造型技术符合设计的本质情况
优点：
三维实体模型是后续处理环节的最好的载体，如物性 计算、工程分析、数控加工编程及模拟、三维装配、运动 仿真、动力学和运动学分析、渲染处理等 为领域的应用提供了一个较好的产品数据化模型，对实 现CAD/CAM技术的集成、保证产品数据的一致性和完整 性提供了技术支持
几何建模技术的研究推动着CAD技术不断发展
二、机械CAD/CAM建模技术的基本知识
形体的表达建立在几何信息和拓扑信息的处理基础上
• 几何信息 • 拓扑信息 • 非几何信息 • 形体的表示 • 正则集与正则集合运算 • 欧拉公式
几何信息
一般是指形体在欧氏空间中的形状、尺寸及位置的描述。
几何信息包括点、线、面、体的信息 只用几何信息表示物体并不充分，常会出现形体表示的二
2. 几何建模技术的发展过程
• 实体模型 （Solid Model）
–70年代末 –包含较完整的形体几何信息和拓扑信息 –能够满足数控加工、有限元分析的要求
• 特征造型（Feature Model）
–80年代末 –特征是在更高层次上表达产品的功能和形状信息 –包含了工程语义的几何形状
几何建模技术是CAD/CAM系统的核心
–自由曲面： Bezier曲面、 B样条曲面、Coons曲面等
几何元素： solid, surface, curve, point
拓扑信息
说明体、面、边及顶点之间的连接关系；通过五层或六层 拓扑结构来描述。
– 拓扑的面对应几何意义上的平面、圆柱面、直纹面、 球面和参数曲面
– 拓扑的边可对应直线边、圆弧段、任意平面曲线或空 间的参数曲线；
正则形体
非正则形体
是形体表面的一部分 可以是形体表面的一部分，也可以是
面
形体内的一部分，也可以与形体相分
离。
ห้องสมุดไป่ตู้
边
只有两个邻面
可以有多个邻面、一个邻面或 没有邻面。
可以与多个面（或边）邻接，也
至少和三个面
可以是聚集体、聚集面、聚集边或
点
（或三条边）邻
孤立点。
接
正则集
数学上正则集定义为：
S=kiS
式中，k表示闭包，i表示内部，S表示集合。
该公式的含义为：如果一集合S的内部闭包与原 来的集合相等，则称此集合为正则集。 直观地说：这种几何形体是由其内部点集及紧紧 包着这些点的表皮组成。
正则集合运算
通过形体的集合运算实现简单形体组合形成新的复杂 形体是常用方法，但通常形体的交、并、差运算可能 会产生非正则集。为此，定义一套正则化的集合算子：
§1 几何建模概述
一、几何建模的概述
1.几何建模的概念 几何模型：
➢ Geometry Model ➢ 把三维实体的几何形状及其属性用合适的数
据结 构进行描述和存储，供计算机进行信息 转换与处理的数据模型,是用计算机表示的几 何模型 ➢ 包含了三维形体的几何信息、拓扑信息以及 其它属性的数据 ➢ 线框模型，表面模型，实体模型
4. 面 面由一个外环和若干个 内环界定的有界、连通的表面。 面有方向性，一般用外法矢方 向作为该面的正方向
形体的表示
5. 壳 壳是构成一个完整实体的封闭边界，是形成封闭的 单一连通空间的一组面的结合。一个连通的物体有一 个外壳和若干个内壳构成。
6. 体 体是由封闭表面围成的有效空间(封闭,不自交) – 刚性：形体的形状与其位置、方向无关 – 三维一致性：没有悬边、悬面和孤立顶点 – 表示的有限性：形体边界是确定有限的
P2
Ercw
Loop右 E
– 简单易懂，便于学习
• 缺点：
– 缺少面与边、面与体等拓扑信息，形 体信息的描述不完整，易产生多义性
– 不能进行消隐处理、不能产生剖视图、
不能进行物性计算和求交计算
图形表示的多义性
二、表面模型
• 表面建模是将物体分解成组成物体的表面、边线和顶 点，用顶点、边线和表面的有限集合表示和建立物体 的计算机内部模型。
三维实体可以表达为它的有限数量的边界表面的集 合，其表面可能是平面，也可能是曲面，而单个表面又 可由该面的环、边和顶点加以表示。
1.边界表示法（Boundary Representation，B-rep）
边界表示法就是通过构成实体的面、环、边、 顶点的几何数据和拓扑关系数据来在计算机中 表示实体； • 常用表面：平面、直纹面、回转面、柱状面、 锥面、Bezier曲面、B样条曲面、Coons曲面、 圆角面、等距面等。
f
边与边的关系： E{E} 边的相邻边。
边与点的关系： E{V} 边的两个端点。
点与面的关系：V{F} 点与边的关系：V{E} 点与点的关系：V{V}
点所在的面，共点的面。 点所在的边，共点的边。 点的相邻点。
实体模型表示的数据结构
以面为中心的关系,以边为中心的关系，以点为中心的关系
• 翼边结构
1972年斯坦福大学B. G. Baungart 博士论文
§1 几何建模概述
几何建模：
➢Geometry modeling ➢用计算机及其图形系统来表示和构造形体的几何
形状，建立计算机内部模型的技术、方法
2. 几何建模技术的发展过程
• 线框模型（Wireframe Model）
–60年代 –二维工程图的直接、简单拓展 –仅包含物体的顶点和棱边的信息
• 曲面模型（Surface Model） –70年代初 –线框模型的基础上增加了面的信息 –使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。 –能够用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示
• 缺点：
不能区分体内体外，无法进行物性计算
三、实体模型
• 实体模型的概念
– 实体模型不仅描述了实体的全部几何信息，而且 定义了所有点、线、面、体的拓扑信息。
– 采用右手法则确定表面的外法线方向，解决了表 面那一侧存在实体的问题
实体
N2
F1 F2 F3 F4 F5 拓扑信息
E1
E2
E3
E4
N1
V1
义性
五个顶点用两种不同方式连接，表达两种不同的理解 几何信息必须与拓扑信息同时给出
拓扑信息
反映形体中几何元素的数量及相互间的连接关系 –几何元素的数量; –几何元素间的连接关系：相交、相切、垂直、 平行等；
几何信息相同、拓扑关系不相同，两形体可能完全不同； 拓扑关系具有一定的相关性，可相互导出。
拓扑特性等价的立方体和圆柱体 几何信息相同拓扑关系不同的形体
V2
V3 V4 V1
几何信息
(x1, y1, z1) (x2, y2, z2 ) (…) (…) (…)
实体模型的表示方法
常用方法 边界表示法 构造实体几何表示法 扫描表示法 空间单元表示法
朝着复合表示模式的方向发展
1.边界表示法（Boundary Representation，B-rep）
• 基本原理
通孔：16-24+102=2(1-1)
盲孔：16-24+111=2(1-0)
欧拉检验公式是检验形体的合法性和一致性的 重要依据。但只是必要条件，而非充分条件！
§2 三维几何建模技术
1. 线框模型 2. 表面模型 3. 实体模型
➢边界表示法 ➢构造几何表示法 ➢扫描表示法 ➢单元表示法
一、线框模型