第2章模煳控制的数学基础1-资料

A={10，12，14，16，18，20}
* 表征法
表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。
上例中的集合A也可用表征法表示为
A={a|a为偶数，10≤a ≤20}
*特征函数法：
称
设A是论域X上的一个集合，定义论域X上的函数
A(x)
μA（x）为集合A的特征函数。可简记为A（x）。

1, xA 0,xA
• 第二类是随机性数学模型 • 随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确
定的，但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程 • 第三类是模糊性数学模型
• 模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不 分明，在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等
1）集合的概念
* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集 合。例如： “湖南大学的学生”可以 作为一个集合。集合通常用大写字母 A，B，……，Z来表示。
* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也 称为个体。通常用小写字母a， b，……，z来表示。
* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域， 也叫全集合。
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2.1 清晰向模糊的转换
• 三类数学模型
• 第一类是确定性数学模型 • 确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系
明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就 是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。
年轻（x）
1
0 15 25
35 x
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3）向量法
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2.2隶属函数
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2.1 清晰向模糊的转换
为了对事物进行识别，必须对事物按不 同的要求进行分类。许多事物可以依据一 定的标准进行分类。用于这种分类的数学 工具就是集合论。
解决精确性的集合问题可以用经典集合 论。
世界上大多数事物具有模糊性。为了
描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的
“模糊”：“高个子”、“热天气”、“年 • 模糊数轻学人并”不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工
具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩 展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念， 来描述事物对模糊概念的从属程度。
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2.1.1 普通集合
正规F集：KerA≠ 的F集合。 F集合A的支集和核，都是经典集合
2）数 与集合A的数积
设 AF (U)，[0,1],xU (A )(x)A (x)
称 A 为 数 与 集 合 A 的 数 积
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* 空集 不包含任何元素的集合，称为空集， 记做Φ。
* 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称 为集合的子集。
* 属于
若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A ，记为a∈A；反之，称a不属 于集合A，记做 aA。
*包含
若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于 集合B，记为AB；或者集合B包含集合A， 记为 B。A
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2.1.2 模糊集合
(1)模糊集合的定义：
给定论域E中的一个模糊集 A，是指任意元素x∈E，都不同程度地属于这个集 合，元素属于这个集合的程度~ 可以用隶属函数 A (x)∈[0，1]来表示。
~
例2.1.1 论域为15到35岁之间的人，模糊集 表示“年轻人”，则模糊集
*相等
对于两个集合A和B，如果AB和 BA同 时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A 和B有相同的元素，互为子集。
*有限集
如果一个集合包含的元素为有限个，就叫 做有限集；否则，叫做无限集。
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2.1.1 普通集合
2）集合的表示法
* 列举法
将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有 限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为
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2.1 清晰向模糊的转换
• （3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制 的核心是控制规则，模糊规则是用语言来 表示的，如“今天气温高，则今天天气暖 和”，易于被一般人所接受。
• （4）构造容易。模糊控制规则易于软件实 现。
• （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设 计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效 的控制。
X {x| xX}
X
Y
P
X
Y
Q
Y
X
X
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2.2 普通集合
* 集合的直积
设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为
X Y {x,(y)|x X ,y Y }
具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所 有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。
* 幂集：对于给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合，T（A）
第二章 模糊控制的数学基础
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2.1 清晰向模糊的转换
一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精 确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度 的提高，将难以建立系统的精确数学模型。 在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统 可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意 的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维 方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此 产生了模糊控制。
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2.3 模糊集合
4）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。
假设年龄的论域为U=[15，35]，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：
1
年轻(x)1x15252 该隶属函数的形状如图
15x25 25x35
~ ~
~
~
A （ A(x1)， A(x2)， ， A(xn)）
~~
~
~
对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为
高个子 ( 1 , 0 . 8 ) 7 ( 1 , , 0 . 7 2 ) 6 ( 1 , , 8 0 . 8 5 ) 7 ( 1 , , 5 0 . 9 5 ) 8 ( 1 , , 0 . 8 0 ) 7 8 8 或 高个子 0 .8 ,0 .7,0 .8,0 .5 9 ,0 .88
高个子 0.80.78 0.85 0.90.88
172165175180178
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2.3 模糊集合
2）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶
的形式表示为：
或简化为：
A （ x 1 , A (x 1 )， ) x 2 ,（ A (x 2 )， )， x n ,（ A (x n ) )
集合是数学中最基本的概念之一。 任何一个概念都有它的内涵和外沿。
概念的内涵 指这一概念的本质属性；
概念的外沿 指这一概念的全体对象，即一个集合。
讨论某一概念的外沿时总离不开一定的范围。
这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每个 对象称为“元素”。
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2.1.1 普通集合
4） 集合的特征函数
设x为论域X中的元素， A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以
用集合A的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于
集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值
为0。即
A(x)
1, xA 0,xA
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3）凸F集：
凸F集的实际意义在于它是实数域上满足下述条件的F集合：任何中间元素
的隶属度，都大于两边元素隶属度中的小者。如图2-5所示。
为什么这样 规定？
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4)F数
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2.3 模糊集合
的隶属函数可定义为
1
A(x)
~
1
1 x252
5
15x25 25x35
则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：
A(30)0.5
~
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经典集合和模糊集合在数轴上的映射，即它们的特征函数或隶属函 数取值可以形象地画在图2-2中，左侧图中的A为模糊集合，右侧图中的 A为经典集合。
(3) 模糊集合的表示法：
1） Zadeh表示法
当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：
A(x1) A(x2)
A(xn)
A ~ ~ ~
~ x1
x2
xn
注意：式中的“＋”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。
例2.3.2 假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、 178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、 0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为
概念。
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2.1 清晰向模糊的转换
• 经典集合：具有某种特性的所有元素的总 和。
• 模糊集合： 在不同程度上具有某种特性的 所有元素的总和。
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2.1 清晰向模糊的转换
模糊集合论的诞生，解决了数值和模糊概念间 的相互映射问题。以模糊集合论为基础的模糊数 学，在经典数学和充满模糊性的现实世界之间，架 起了一座桥梁，使得模糊性事物有了定量表述的方 法，从而可以用数学方法揭示模糊性问题的本质和 规律。
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2.1 清晰向模糊的转换
• 模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加 利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论 统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人 脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。
• “模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界 限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于 “精确”而言的。 “精确”：“老师”、“学生”、“工人”
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2.2 普通集合
3）集合的运算
* 集合交
设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的 集合P称为X，Y的交集，记作
P=X∩Y
* 集合并
设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的 集合Q称为X，Y的并集，记作
Q=X∪Y
* 集合补
在论域Y上有集合X，则X的补集为
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2.1 清晰向模糊的转换
二、模糊控制的特点
• （1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊 控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计 的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。
• （2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方 法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如 “高”、“中”、“低”、“大”、“小”等， 控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理 是人类智能活动的体现。
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0
A
(
x
)=

x 5

3 x
0
x3 3 x4 4 x5
x5
A(x)ek(x4)2 | x4| 0 |x4|
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(2)模糊数
1）F集合的支集、核和正规F集 设 AF (U,)记集合SuppA={x,x∈U,A(x)>0},称SuppA为F 集合A的支集(Supporter); KerA ={x,x∈U,A(x)=1},称KerA为F集合A的核(Kernel）
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2.1.2 模糊集合
• 经典集合：清晰确定，彼此可以区分，边 界周延明确，非此即彼。
• 自然界：亦此亦彼，模糊性
• 沙刻画模糊现象
• 1965年L.A.Zadeh Fuzzy Set
• 特征函数取值{0,1}扩充到闭区间[0,1]，描 述亦此亦彼现象。