中考数学 复习方法技巧九大专题：中考数学复习方法技巧专题七：角平分线解析

方法技巧专题七角平分线解析
1．与角平分线有关的判定和性质
(1)角平分线的判定和性质．(2)角平分线的夹角：①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和；②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差；③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半．(3)三角形的内心及其性质．(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系．
2．与角平分线有关的图形或辅助线
(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形．(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形．(3)过角平分线上的点作边的垂线．
一、角平分线定义的应用
【例题】如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）
A．∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
【考点】IJ：角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义即可求解．
【解答】解：∵AM为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．
故选：C．
【同步训练】
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
二、角平分线性质的应用
【例题】）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．
【分析】如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．只要证明△POE ≌△POF ，△PEM ≌△PFN ，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF +∠AOB=180°，
∵∠MPN +∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN ，
∴∠EPM=∠FPN ，
∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，
∴PE=PF ，
在△POE 和△POF 中，
，
∴△POE ≌△POF ，
∴OE=OF ，
在△PEM 和△PFN 中，
，
∴△PEM ≌△PFN ，
∴EM=NF ，PM=PN ，故（1）正确，
∴S △PEM =S △PNF ，
∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故（3）正确，
∵OM +ON=OE +ME +OF ﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN 的长度是变化的，故（4）错误，
故选B ．
【同步训练】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=3，
∴CD=DE=1，
故选A．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
三、圆中弧、圆心角、圆周角之间的平分关系的应用
【例题】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【同步训练】
如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM 是⊙O 的切线；
（2）∵∠3=60°，OA=OC ，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2，
∴S 阴影=S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC =（4+2）×2﹣=6﹣．
四、与角平分线有关的图形或辅助线
【例题】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，M 为垂足，AM=AB ．若四边形ABCD 的面积为，则四边形AMCD 的面积是 1 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长BA 、CD ，交点为E ．依据题意可知MB=ME ．然后证明△EAD ∽△EBC ．依据相似三角形的性质可求得△EAD 和△EBC 的面积，最后依据S 四边形AMCD =S △EBC ﹣S △EAD 求解即可．
【解答】解：如图所示：延长BA 、CD ，交点为E ．
∵CM 平分∠BCD ，CM ⊥AB ，
∴MB=ME ．
又∵AM=AB ，
∴AE=AB ．
∴AE=BE ．
∵AD ∥BC ，
∴△EAD ∽△EBC ． ∴=．
∴S 四边形ADBC =
S △EBC =． ∴S △EBC =
． ∴S △EAD =×=．
∴S 四边形AMCD =S △EBC ﹣S △EAD =﹣=1．
故答案为：1．
【同步训练】
如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点．
（1）求证：DE=DC ；
（2）求证：AF ⊥BF ；
（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE 的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠DCE=∠DEC，进而得出DE=DC；（2）连接DF，根据等腰三角形的性质得出∠DFC=90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF=EC，再根据SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，据此可得AF⊥BF；
（3）根据等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根据公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，进而得出EF2=AF•GF=28，求得EF=2，即可得到CE=2EF=4．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠CEB，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠CEB，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC；
（2）如图，连接DF，
∵DE=DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC=90°，
在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，
∴BF=CF=EF=EC，
∴∠ABF=∠CEB，
∵∠DCE=∠CEB，
∴∠ABF=∠DCF，
在△ABF和△DCF中，
，
∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，
∴AF⊥BF；
（3）CE=4．
理由如下：∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，
∴∠FEH+∠CEB=90°，
∵∠ABF=∠CEB，
∴∠BAF=∠FEH，
∵∠EFG=∠AFE，
∴△EFG∽△AFE，
∴=，即EF2=AF•GF，∵AF•GF=28，
∴EF=2，
【达标训练】
1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
2.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）
A．8B．10C．12D．14
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证
DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE﹣AD=2，
即6+6﹣AD=2，
解得：AD=10；
故选：B．
3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC===10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE=BC=3，
∴∠EFC=∠FCM，
∵∠FCE=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF=AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=8．
故选B．
4.如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6\sqrt{2} ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠CAE=∠E，
∴CE=CA=3，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F，
∴CF=AC=3，
∴EF=CF+CE=3=6，
故答案为：6．
5.正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．
【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，
先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S
四边形ABFE′=S
四边形AEFE′
+S
△AEB
+S
△EFB
即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，
∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，
∴DE=DE′，AE=AE′，
∴AD垂直平分EE′，
∴EN=NE′，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，
∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN=EO=1，AO=+1，
∴AB=AO=2+，
∴S
△AEB =S
△AED
=S
△ADE′
=×1（2+）=1+，S
△BDE
=S
△ADB
﹣2S
△AEB
=1+，
∵DF=EF，
∴S
△EFB
=，
∴S
△DEE′=2S
△ADE
﹣S
△AEE′
=+1，S
△DFE′
=S
△DEE′
=，
∴S
四边形AEFE′=2S
△ADE
﹣S
△DFE′
=，
∴S
四边形ABFE′=S
四边形AEFE′
+S
△AEB
+S
△EFB
=．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．
6.在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F 处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为3或6．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得出AC=10，△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，可得出AE平分∠BAC，根据角平分线的性质即可得出=，解之即可得
出BE的长度；②当∠FEC=90°时，可得出四边形ABEF为正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度．
【解答】解：∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=8，∠B=90°，
∴AC==10．
△EFC为直角三角形分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴=，即=，
∴BE=3；
②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．
7.如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．
（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC=，求CB'的长．
【考点】LO：四边形综合题；LA：菱形的判定与性质；Q2：平移的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知
四边形ACC'A'是平行四边形．又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC、BC的长度，由（1）中菱形ACC'A'的性质推知AC=AA′，由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′=BB′，所以CB′=BB′﹣BC．
【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
∴∠ACC′=∠AA′C′，
又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴CD也平分∠AA′C′，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC=，
∴cos∠BAC==，即=，
∴AC=26．
∴由勾股定理知：BC===7．
又由（1）知，四边形ACC'A'是菱形，
∴AC=AA′=26．
由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，
∴AA′=BB′=26，
∴CB′=BB′﹣BC=26﹣7．
8.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；
（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∴BC平分∠PCE．
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE．
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，
∴=，
∴BM2=CM•PM=3a2，
∴BM=a，
∴tan∠BCM==，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，
∴的长==π．。