2021年高中数学 模块能力检测卷(B)新人教版必修5

2021年高中数学模块能力检测卷（B）新人教版必修5
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，则S△ABC等于( )
A．32 3 B．16
C．323或16 D．323或163
答案D
解析由正弦定理a
sin A ＝
b
sin B
，得
sin B＝b sin A
a
＝
83×
1
2
8
＝
3
2
.
∴B＝60°或120°.从而知C＝90°或C＝30°.
∴S△ABC＝1
2
ab sin C＝
1
2
×8×83sin90°＝323，
或S△ABC＝1
2
ab sin C＝
1
2
×8×83sin30°＝16 3.
2．若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( ) A．△A1B1C1是△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1是△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
答案 D
解析本题使用特殊值法．
方法一设△A2B2C2三内角为120°，30°，30°，△A1B1C1三内角为60°，60°，60°，则sin120°＝cos60°.
方法二 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0， 则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由
⎩⎪⎨⎪
⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin
π
2－A 1，sin B 2
＝cos B 1
＝sin π2－B 1，
sin C 2
＝cos C 1
＝sin
π2
－C 1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
A 2＝π2
－A 1
B 2
＝π
2－B 1
，则A 2
＋B 2
＋C 2
＝π
2
.C 2
＝π2－C
1
所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( ) A ．60 B ．45 C ．36 D ．18
答案 B
解析 a 2＋a 8＝2a 5＝15－a 5，∴a 5＝5，S 9＝9a 5＝45. 4．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，数列{1
a n ＋1
}是等差数列，则a 11等于( ) A.23 B.12 C ．0 D ．－12
答案 B 解析 ∵{
1a n ＋1}是等差数列，∴1a 3＋1＋1a 11＋1＝2a 7＋1
. 又a 3＝2，a 7＝1，∴代入后可解得a 11＝1
2.
5．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，则2a 1＋a 2
2a 3＋a 4
的值为( )
A.14
B.12
C.18 D ．1
答案 A 解析
2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 1q 2a 1q 2＋a 1q 3＝2＋q 2q 2＋q 3＝1q 2＝14或2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 22a 1q 2＋a 2q 2＝1q 2＝1
4
.
6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2
n ＋1
－2 B ．3n C ．2n D ．3n
－1
答案 C 解析 ∵a n ＝2·q
n －1
，∴a n ＋1＝2q
n －1
＋1.
∵{a n ＋1}是等比数列，
∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2q n ＋12q n －1＋1＝q 2q n ＋12q n
＋q
为常数，仅当q ＝1时，符合题意； ∴S n ＝2n ，当q ≠1时a n ＋1＋1
a n ＋1
不为常数． 故答案为C.
7．若a >b >0，则下列不等式总成立的是( ) A.b a >
b ＋1
a ＋1
B ．a ＋1a >b ＋1
b
C ．a ＋1b
>b ＋1
a
D.2a ＋b a ＋2b >a b
答案 C
解析 由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1
a
.
8．下列各式：①a 2＋1>2a ，②|x ＋1x |≥2，③a ＋b ab ≤2，④x 2
＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数
是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 C
解析 ∵|x ＋1x |＝|x |＋1
|x |≥2，
且x 2
＋
1x 2
＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1
－1≥1， ∴②④正确．
9．设集合A ＝{x |x 2
－x －6>0}，B ＝{x |(x －k )(x －k －1)<0}，若A ∩B ＝∅，则k 的取值范围是( )
A ．{k |k <－3或k >1}
B ．{k |－2<k <2}
C ．{k |k <－2或k >2}
D ．{k |－3≤k ≤1}
答案 C
解析 A ＝{x |x 2
－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，
B ＝{x |k <x <k ＋1}，若A ∩B ≠∅，则k ＋1>3或k <－2. 10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋y ≥1，
3x －y ≤3.
则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为
( )
A ．4
B ．11
C ．12
D ．14
答案 B
解析 只需画出线性规划区域，如下图．
可知，z ＝4x ＋y 在A (2,3)处取得最大值11.
11．(xx·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )
A ．4∶3∶2
B ．5∶6∶7
C ．5∶4∶3
D ．6∶5∶4
答案 D
解析 由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b －1.又∵3b ＝20a ·cos A ，∴3b ＝20(b ＋
1)·
b 2＋b －12－b ＋1
2
2b b －1
，整理得，7b 2
－27b －40＝0，解得b ＝5，故a ＝6，b ＝5，c
＝4，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.
12．(xx·新课标)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690
B ．3 660
C ．1 845
D ．1 830
答案 D
解析 ∵a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，
∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，
a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝115－a 1.
∴a 1＋a 2＋…＋a 60
＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 3)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋...＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋ (234)
15×
10＋2342
＝1 830.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2
＋n ＋1，则此数列的通项a n ＝________.
答案 a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
5
n ＝1，6n －2 n ≥2
解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2， 上式中n ＝1时，a 1＝6×1－2＝4，而S 1＝5，
∵a 1≠S 1，∴a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
5
n ＝1，6n －2n ≥2.
14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且3a 2
＋3b 2
－3c 2
＋2ab ＝0，则tan C ＝________. 答案 －2 2
解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
3
，
∴C >90°，sin C ＝
223，∴tan C ＝sin C
cos C
＝－2 2. 15．观察下面的数阵，则第20行最左边的数是________．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
答案 362
解析 由题得每一行数字个数分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，…，a n ＝2n －1，它们成等差数列，
则前19行总共有
19
a 1＋a n
2
＝
191＋37
2
＝361个数，
因此第20行最左边的数为362. 16．(xx·陕西)
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是________．
答案 [10,30]
解析 设矩形另一边长为y ，如图所示.x 40＝40－y
40
，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，
即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若△ABC 面积为
3
2
，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 及角C 的值．
解析 因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12b ·2sin60°＝3
2，得b ＝1.
由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，
所以a 2
＝12
＋22－2×1×2cos60°＝3，则a ＝ 3. 又由正弦定理a sin A ＝c
sin C
，得 sin C ＝
c sin A
a
＝2×
323
＝1，∴C ＝90°.
18．(12分)山顶上有一座电视塔，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角α＝60°，在塔底C 处测得A 点的俯角β＝45°，已知塔高为60 m ，求山高．(精确到1 m)
解析
如图所示，在△ABC 中，由正弦定理，得
BC
sin ∠BAC ＝
AC
sin ∠ABC ⇒
60sin15°＝AC
sin30°
⇒AC ＝
30sin15°＝60cos15°2sin15°cos15°＝60cos15°
sin30°
＝120cos15°.
在△ADC 中，CD ＝AC ·sin∠CAD ＝120×cos15°×sin45°≈82(m)．
19．(12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，S n 是14与(a n ＋1)2
的等比中项．
(1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若b n ＝a n
2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .
(1)证明 由S n 是14与(a n ＋1)2
的等比中项，
得S n ＝14
(a n ＋1)2
.
当n ＝1时，a 1＝14(a 1＋1)2
，∴a 1＝1.
当n ≥2时，S n －1＝14
(a n －1＋1)2
，
∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2
n －1＋2a n －2a n －1)，
即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.
∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2. ∴数列{a n }是等差数列．
(2)解析 数列{a n }首项a 1＝1，公差d ＝2，
通项公式为a n ＝2n －1. 则b n ＝
2n －12n ，则T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －1
2
n .① 两边同乘以12，得12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －1
2
n ＋1.②
①－②，得12T n ＝2×(12＋122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1－1
2＝2×
121－1
n 1－1
2－
2n －12n ＋1－12＝32
－2n ＋32
n ＋1， 解得T n ＝3－
2n ＋3
2
n . 20．(12分)若a ≠0，解关于x 的不等式：x ＋2<a (2
x
＋1)．
解析 原不等式可化为
x ＋2
x －a
x
<0⇔(x ＋2)x (x －a )<0，
(1)当a ≤－2时，解集为(－∞，－a )∪(－2,0)； (2)当－2<a <0时，解集为(－∞，－2)∪(a,0)； (3)当a >0时，解集为(－∞，－2)∪(0，a )．
21．(12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解析 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤10，
0.3x ＋0.1y ≤1.8，
x ≥0，
y ≥0.
目标函数z ＝x ＋0.5y .
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝10，
0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.
此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．
所以，投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2.
(1)求证：{1
S n
}是等差数列；
(2)求a n 的表达式；
(3)若b n ＝2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 2
2＋b 2
3＋…＋b 2
n <1. (1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，
又a n ＋2S n ·S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0. 若S n ＝0，则a 1＝S 1＝0与a 1＝1
2
矛盾．
故S n ≠0，所以1S n －1
S n －1＝2.
又1S 1
＝2，所以{1
S n
}是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解析 由(1)得1
S n
＝2＋(n －1)·2＝2n ，
故S n ＝
1
2n
(n ∈N ＋)． 当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－2·12n ·1
2
n －1
＝－
12n
n －1
；
当n ＝1时，a 1＝1
2.
所以a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，
－1
2n n －1
，n ≥2.
(3)证明 当n ≥2时，
b n ＝2(1－n )·a n ＝2(1－n )·
1
2n 1－n ＝1n
.
b 22＋b 23＋…＋b 2
n ＝1
22＋1
32＋…＋1
n 2<
1
1×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝(1－12)＋(12－1
3
)＋…＋(
1n －1－1
n
) ＝1－1
n
<1.23904 5D60 嵠eY21503 53FF 叿35875 8C23 谣31326 7A5E 穞30879 789F 碟 .23458 5BA2 客29624 73B8 玸w38916 9804 頄WK。