北京市石景山区高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}
2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）
A．4 B．6 C．10 D．12
3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）
A．1 B．C．2 D．4
4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命项式a n x n+a n
﹣1
名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．
A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5
C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．B．C．D．5
7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD
上，若•=，则•的值是（）
A．2﹣B．1 C．D．2
8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．
10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n
=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．
+1
11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=．
12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．
13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）
14．已知．
①当a=1时，f（x）=3，则x=；
②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．
16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：
（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种
酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出
结论）；若不是，说明理由；
（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．
18．（14分）已知函数f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时，；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．
19．（14分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
20．（14分）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定
义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．
（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的
平均值为，证明．
2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}
∴A∩B={x|0≤x＜}
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）
A．4 B．6 C．10 D．12
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（4，2），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）
A．1 B．C．2 D．4
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．
【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．
直线转化成直角坐标方程为：x=．
所以：圆心到直线x=的距离为．
则：弦长l=2=．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．
4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．
【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），
故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，
若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），
不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．
5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命项式a n x n+a n
﹣1
名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．
A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5
C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4
【考点】程序框图．
【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=0，S=1，
k=1，S=x+1，
满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2
满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3
满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4
不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．
故选：A．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．B．C．D．5
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；
=×2×2=2，
所以，S
△ABC
S△PAC=S△PBC=×1=，
=×2=；
S
△PAB
所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．
故选B．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题
7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD
上，若•=，则•的值是（）
A．2﹣B．1 C．D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角
坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可
求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．
【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；
∴；
∴x=1；
∴F（1，2），；
∴．
故选C．
【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．
8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据
菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．
【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，
S△ABC=x•x=x2，
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x
﹣）×=﹣1；
∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，
若m：n=47：25，则=，
解可得x=12或x=（舍），
所以，△ABC的边长是12；
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值．
【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n
+1
【考点】数列递推式．
•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得【分析】由已知求得a2，且得到a n
﹣1
（n≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．
【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，
•a n=﹣2（n≥2），
又a n
﹣1
∴（n≥2），
∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．
11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．
【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．
【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），
∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，
∴=2，
∴p=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．
12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所
得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，
所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，
若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，
∴φ=﹣，
故答案为：．
【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，
共有C42A33=36种结果，
故答案为：36．
【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．
14．已知．
①当a=1时，f（x）=3，则x=4；
②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．
【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；
②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．
【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；
②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．
∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，
再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．
故答案为4，．
【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．
（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2
由余弦定理：cosC==，
∵0＜C＜π，
∴C=．
（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．
∴B=，且A∈（0，）．
那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），
∵A∈（0，）．
∴，
故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．
【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．
16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：
（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种
酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，
10]内的数据个数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．
【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，
根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；
（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；
（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．
【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，
10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，
解得a=0.01，
根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，
∴；
（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；
则，，
，
其分布列如下：
（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，
其中有4个数据在区间（0，10]内，
又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，
乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，
由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，
故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．
故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．
所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．
【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．
17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．
（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．
（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
所以BC⊥PD．
因为四边形ABCD为矩形，
所以BC⊥DC．PD∩DC=D，
所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，
在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，
所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，
所以DE⊥面PBC．
解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，
其中，．
（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．
设，则．DF⊥PB得，解得．
所以．
设平面FDA的法向量，
则，令z=1得x=0，y=﹣3．
平面FDA的法向量，
平面BDA的法向量，
，．
二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时，；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．
（Ⅱ）化简=．求出，令
，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．
（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒
成立．，a≤1时，a＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．
【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，
又f（1）=0，所以切线方程为y=x﹣1；
（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．
令
，解得x=1．
易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0． 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0
即
，即x ＞0时，
；
（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1）， 依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．
，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，
当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．
a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：
h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +
=1（a ＞b ＞0）过点
（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线l ：y=
+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a的值，求得椭
圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨
MN丨，丨BN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，即可求得B，N两点间距离是否为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，
由椭圆的离心率e===，则a=2，
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段中点M（x0，y0），
则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，
由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣＜m＜，
则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则M（﹣m，m），
丨AC丨=•=•=
由l与x轴的交点N（﹣2m，0），
则丨MN丨==，
∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，
∴B，N两点间距离是否为定值．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，
b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n
﹣b n|=．
（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的
平均值为，证明．
【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．
【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间
距离的总和，根据，即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B ∈R2，d（A，B）max=2．
（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素个数最大值为4．
（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间
距离的总和．
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则
由于（i=1，2，…，n）
所以
从而
【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。