课时作业1:一 数学归纳法

一 数学归纳法
一、基础达标
1．用数学归纳法证明“n 2＋n ＜n ＋1 (n ∈N ＋)”．第二步证n ＝k ＋1时(n ＝1已验证，n ＝k 已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题正确．此种证法( ) A ．是正确的
B ．归纳假设写法不正确
C ．从k 到k ＋1推理不严密
D ．从k 到k ＋1推理过程未使用归纳假设 答案 D
2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则f (n )中共有几项( )
A. n B ．n ＋1 C. n 2－n D. n 2－n ＋1 答案 D
解析 因为f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，我们观察f (n )解析式的组成特点，是由1n ，1
n ＋1
，
1n ＋2
，…，1
n 2组成，其中每一项的分母n ，n ＋1，n ＋2，…，n 2组成等差数列，且首项为n ，
公差为1，最后一项为n 2；所以，它的项数为n 2－n ＋1，即为f (n )的项数．则f (n )中共有n 2－n ＋1项．
3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( ) A ．P (n )对n ∈N ＋成立 B ．P (n )对n ＞4且n ∈N ＋成立
C ．P (n )对n ＜4且n ∈N ＋成立
D ．P (n )对n ≤4且n ∈N ＋不成立 答案 D
解析 由题意可知，P (n )对n ＝3不成立(否则P (n )对n ＝4也成立)．同理可推P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立． 4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝
n 4＋n 2
2
，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2
C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22
D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D
解析 ∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，
∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 5．n 条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )
A ．n
B ．n ＋1 C.12n (n －1) D.1
2n (n ＋1) 答案 A
解析 对于n 条共面直线，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他n 条直线的交点的个数为f (n )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n 条直线都相交(有n 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (n )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (n )＋n ＝f (n ＋1)．则f (n ＋1)－f (n )等于n .
6．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)
解析当n＝k时，左边等于(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)…(2k)，当n＝k＋1时，左边等于(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，
故从“k”到“k＋1”的证明，左边需增乘的代数式是(2k＋1)(2k＋2)
k＋1＝2(2k＋1)．
7．求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
证明(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除，
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
根据(1)(2)可知对于n∈N＋，二项式x2n－y2n能被x＋y整除．
二、能力提升
8．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k (k∈N＋且k≥1)时该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时该命题不成立，那么应有()
A．当n＝4时该命题成立
B．当n＝6时该命题成立
C．n为大于5的某个自然数时命题成立
D．以上均不对
答案D
解析由题意可知，对于A，当n＝5时命题不成立，当n＝4时该命题不成立，故A错误；对于B，当n＝5时命题不成立，则当n＝6时该命题可能成立，也可能不成立，故B错误；对于C，“n为大于5的某个自然数时”中的“某个”并不正确，从某自然数k0开始，以后所有的自然数都使得命题成立，故C错误．故选D.
9．已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是()
A．若f(3)≥9成立，则对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)＜k2成立
C．若f(7)≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
答案D
解析对A，当k＝1或2时，不一定有f(k)≥k2成立；对B，应有f(k)≥k2成立；
对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f(k)≥k2成立，不能得出：任意的k＜7，均有f(k)＜k2成立；对D，
∵f(4)＝25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．故选D.
10．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．
答案2k＋1
解析∵当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，
∴从n＝k到n＝k＋1时，应添加的代数式为(k＋1)＋k＝2k＋1.
11．求证：1
1×2＋
1
3×4＋…＋
1
(2n－1)·2n
＝
1
n＋1＋
1
n＋2＋…＋
1
n＋n
.
证明(1)当n＝1时，左边＝
1
1×2＝
1
2，右边＝
1
2，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
1
1×2＋
1
3×4＋…＋
1
(2k－1)·2k
＝
1
k＋1＋
1
k＋2＋…＋
1
2k.
则当n＝k＋1时，
1
1×2＋
1
3×4＋…＋
1
(2k－1)·2k
＋
1
(2k＋1)(2k＋2)
＝
1
k＋1＋
1
k＋2＋…＋
1
2k＋
1
(2k＋1)(2k＋2)
＝
1
k＋2＋
1
k＋3＋…＋
1
2k＋⎝
⎛
⎭
⎫
1
2k＋1－
1
2k＋2＋
1
k＋1
＝
1
k＋2＋
1
k＋3＋…＋
1
2k＋
1
2k＋1＋
1
2k＋2
＝
1
(k＋1)＋1
＋
1
(k＋1)＋2
＋…＋
1
(k＋1)＋k
＋
1
(k＋1)＋(k＋1)
.
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立．
12．平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面
分成f (n )＝n 2＋n ＋2
2
个部分．
证明 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，
而f (1)＝12＋1＋2
2
＝2，∴命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋2
2个部分．
则当n ＝k ＋1时，即增加一条直线l ，因为任何两条直线不平行，所以l 与k 条直线都相交，有k 个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l 分成k ＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k ＋1个平面部分．
∵f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋2
2
＋k ＋1
＝k 2＋k ＋2＋2k ＋22＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22，
∴当n ＝k ＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，当n ∈N ＋时，命题成立． 三、探究与创新
13．是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋…＋n ·(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2
＋bn ＋c )
对一切正整数n 都成立？
解 假设存在a 、b 、c 使等式成立，令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪
⎧
1×22＝1
6(a ＋b ＋c ).1×22＋2×32＝12
(4a ＋2b ＋c )，1×22
＋2×32
＋3×42
＝9a ＋3b ＋c ，
解之得a ＝3，b ＝11，c ＝10，故对n ＝1,2,3等式，1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12
(3n 2
＋11n ＋10)成立．用数学归纳法证明：①当n ＝1时等式成立．
②假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2
＋11k
＋10)成立．
当n ＝k ＋1时，左边＝[1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2]＋(k ＋1)·(k ＋2)2 ＝1
12k (k ＋1)(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝1
12(k ＋1)(k ＋2)[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)] ＝1
12(k ＋1)·[(k ＋1)＋1]·(3k 2＋17k ＋24)＝ 1
12
(k ＋1)[(k ＋1)＋1]·[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]，
∴n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对n∈N＋等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c ＝10，题设等式对一切n∈N＋都成立．。