河北省唐山一中2013届高三强化训练(二)数学文Word版含答案

唐山一中
2013届高三强化训练（二）
数学（文）试题
一.选择题（每小题5分，共60分）
1.复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为 （ ） A.0 B.－1 C.－3 D.3
2. 观察下列各式：51=5,52=25,53=125,54=625,55=3125，65=15625，75=78125，…，则20115的末四位数字为 （ ） A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125
3.数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量OC OB OA ,,满足
,20121a a +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2012=
（ ）
A ．1006
B ．1010
C ．2006
D ．2010
4.不等式log sin 2(0a x x a >>且1)a ≠对任意(0,
)4
x π
∈都成立，则a 的取值
范围为 （ ）
A ．(0,
)4
π B ． )1,4[π C ．(,1)(1,)42ππ
⋃ D ．(0,1)
5.已知向量(sin(),1),(4,4cos 6παα=+=a b ，若⊥a b ，则4sin()3
πα+等于（ ）
A. B. 1
4
- C. D. 14 6. 在区间[]0,2上任取两个实数,a b ，则函数3
()f x x ax b =+-在区间[]1,1-上有且只有一个零点的概率是 （ ） A.18
B. 14
C. 34
D.78
7. 等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'
0f =
（ ）ks5u
A ．6
2 B. 9
2 C. 12
2 D. 15
2
8.下图a 是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m [如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155]内的学生人数]。

图b
是统计图a 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

现要统计身高在160～180cm
（含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）
A ．i <9
B ．i <8
C ．i <7
D ．i <6
9.定义：数列{}n a ,满足
d a a a a n
n n n =-+++1
12()*N n ∈d 为常数，我们称{}n a 为等差比数列，已知在等差比数列{}n a 中，2,1321===a a a ，则
2006
2009
a a 的个位数 （ ） A ，3 B ，4 C ，6 D ，8
10. 已知抛物线2
40y px(p )=>与双曲线2222100x y (a ,b )a b
-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A B 1 C 1 D
11. (1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.3
0.3
33,log 3log 3,a f b f ππ
=
⋅=⋅
3311log log 99c f ⎛⎫⎛
⎫=⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ）
A. a b c >>
B. c b a >> C . c a b >> D. a c b >>
12.在直角坐标平面上的点集()11,M x y x y y x ⎧⎫=-<-⎨⎬⎩⎭
，(){}
22,2N x y x y =+<，那么N M 的面积是 （ ）
A ．4
π B ．2
π C ．π
D ．2π
二.填空题（每小题5分，共20分）ks5u
13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若a 、b 、c 成等差数列，则
=++C
A C
A cos cos 1cos cos 。

14.已知某个几何体的三视图如右图所示， 根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个 几何体的体积是______cm 3。

15.已知抛物线2
x y =上有一条长为2的动弦AB ，则AB 中点M 到x 轴的最短距离为 __。

16. 已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx
ax x f 的对称中心为M ),(00y x ，记函数)
(x f 的导函数为)(/
x f ， )(/x f 的导函数为)(//
x f ，则有0)(0//
=x f。

若函数
()323f x x x =-，则可求得：1220122012f f ⎛⎫⎛⎫+
+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
.
三、解答题，本大题共5小题，满分60分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=
． （1）求
B
A
tan tan 的值； （2）求tan()A B -的最大值。

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝90o ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，E 为PD 的中点． (1) 求证：CE ∥平面PAB ；
(2) 求PA 与平面ACE 所成角的正弦值；
19.（本小题满分12分）
由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
P
A B
C
D
E
E
D
C B A
N M （Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率 20.（本小题满分12分）
设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；
（2）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。

21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=e x -1-x
（1）求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）当x 0≥时，f(x)2
tx ≥恒成立，求t 的取值范围。

请从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22、（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，ΔAB C 是内接于⊙O ，AC AB =，直线MN 切⊙O 于点C ，弦MN BD //，
AC 与BD 相交于点E ．
（1） 求证：ΔABE ≌ΔACD ；
（2）若,6=AB 4=BC ，求AE 。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标
(1,5)-，点M 的极坐标为(4,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为3
π
，圆C 以M 为 圆心、
4为半径。

（1） 写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数a a x x f +-=2)(。

（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围。

ks5u
参考答案
一.选择题1.A 2.D 3.A 4. B 5. B 6. D 7. C 8 .B 9.C 10. B 11.C 12.C 二.填空题13. 54，14. 38000， 15.4
3
，16.-8046 三、解答题
17.解析：（1）在ABC △中，由正弦定理及3
cos cos 5
a B
b A
c -= 可得3333
sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -=
=+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则;4tan tan =B
A
（2）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>
2
tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤3
4
当且仅当1
4tan cot ,tan ,tan 22
B B B A ==
=时，等号成立，
故当1tan 2,tan 2A B ==
时，tan()A B -的最大值为34
. 18.解（1）. 证明：取PA 的中点F ，连结FE 、FB ，则 FE ∥BC ，且FE ＝1
2AD ＝BC ，∴BCEF 是平行四边形， ∴CE ∥BF ，而BF ⊂平面PAB ，∴CE ∥平面PAB ．
(2) 解：取 AD 的中点G ，连结EG ，则EG ∥AP ，问题转为求EG 与平面ACE 所成角的大小.又设点G 到平面ACE 的距离为GH ，H 为垂足，连结EH ，则∠GEH 为直线EG 与平面ACE 所成的角．现用等体积法来求GH ．ks5u
∵V E －AGC ＝13S △AGC ·EG ＝13，又AE ＝2，AC ＝CE ＝5，易求得S △AEC ＝3
2， ∴V G －AEC ＝13⨯32⨯GH ＝V E －AGC ＝13，∴GH ＝23
在Rt △EHG 中，sin ∠GEH ＝HG GE
＝2
3，即PA 与平面ACE 所成的角正弦值为23． 19.解：(2)设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m
=+，解得2m = (6)
分
也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个. ………8分
其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)， …………10分
所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为7
10
. ……………12分
20. 解：（1）解法一：易知2,1,a b c ===
所以())
12
,F F ，设(),P x y ，则
())
2212,,
,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()22
21
133844
x x x =+--=-
因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1
解法二：易知2,1,a b c ===
(
))
12
,F F ，设(),P x y ，则
2
2
2
1212
12
12121212
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅
⋅
((22222211232x y x y x y ⎡
⎤=
++++-=+-⎢
⎥⎣⎦（以下同解法一）ks5u
（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线),(),,(,2:2211y x B y x A kx y l +=，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
4
2
2
2y x kx y ，消去y ，整理得：22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
∴121222
43,114
4
k x x x x
k k +=-
⋅=
+
+
由0343)41(4)4(2
22>-=⨯+-=∆k k k 得：2
k <
或2k >-
又00
0090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>,
又
()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2
223841144
k k k k -=
++++
22114
k k -+=+
∵
222
3
1
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得22k -<<-
或
22
k << 21.解（1）''
()1,(1)2,(1) 1.x f x e f e f e =-=-=-
()f x ∴在(1,(1))f 处的切线方程为2(1)(1),y e e x -+=--即(1) 1.y e x =-- ……………2分
（2）由已知得0x ≥时，2
10x e x tx ---≥恒成立，
设2()1.x g x e x tx =---'()12.x g x e tx ∴=-- 由先证知1,x
e x ≥+当且仅当0x =时等号成立，
故
'()2(12)g x x tx t x
≥-=-，从而当120,t -≥
即1
2t ≤
时，'()0(0),()g x x g x ≥≥∴为增函数，又(0)0,g =
于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2
()f x tx ≥，12t ∴≤时符合题意. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0),x
e x x ->-≠从而当
1
2t >
时，
'()12(1)(1)(2),
x x x x x g x e t e e e e t --<-+-=--
故当(0,ln 2)x t ∈时，'
()0,()g x g x <∴为减函数，又(0)0,g =
于是当(0,ln 2)x t ∈时，()0,g x <即2(),f x tx ≤
故
1,2t >
不符合题意.综上可得t 的取值范围为1,2⎛⎤-∞
⎥⎝
⎦ 。

……………………………12分 选做题答案：
22．解:（1）在ΔABE 和ΔACD 中，∵AC AB = ∠ABE=∠ACD ……………2分
又∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴ΔABE ≅ΔACD （角、边、角） ……………………………5分ks5u （2）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4 ……………………………………8分 设AE=x ，易证 ΔABE ∽ΔDEC ∴x DE AB
DC x
DE 32
6
4
=⇒==
又
x EC ED BE EC AE -=⋅=⋅6
∴310)
6(3
24=
-=⋅x x x x
…………………………………..…………10分 23.解：（1）．直线l
的参数方程是11,25x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，（t 为参数） 圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=。

…………………….5分 （2）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l
50y --=，
圆心到直线的距离4d >，所以直线l 和圆C 相离。

……10分 24.解：（1）由,6262a a x ，a a x -≤-≤+-得
分即6.1,23,
33,626⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∴-=-∴≤≤--≤-≤-∴a a x a a a x a
（2）由（1）知),()()(,112)(n n f n x x f -+=+-=ϕ令
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>+≤<--≤-=+++-=21,42,2121,421,4221212)(n n n n n n n n ϕ则 [)分的取值范围是故实数的最小值为1244)(⋯⋯⋯⋯∞+∴，m ，n ϕ ks5u。