四川省简阳市2016-2017学年高一下学期期末考试数学(理)试题-含答案

2016—2017学年度第二学期期末教学质量检测试题
高一年级（下） 数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1、如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )
A.1a <1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2 D ．－1a <－1b
2、已知{}n a 为等比数列，且,6131π=
a a 则)tan(122a a 的值为（ ） A 、3
3 B 、-3 C 、3± D 、33- 3、若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2x y +的最大值为（ ）
A.0
B.3
C.4
D.5
4、设α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝10
103，则α＋β的值为( ) A 、34π B 、54π C 、4π D 、4
34ππ或 5、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.33
6、已知cos α＝13，α∈(ππ2,2
3)，则cos α2等于( ) A.63 B ．－63 C.33 D ．－33
7、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n
B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥n
C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β
D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β
8．两直线023=--y ax 和015)12(=-+-ay x a 分别过定点B A 、，则AB 等于
( ) A.895 B.175 C.135 D.115
9．三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、62
，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．10π
10、把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A.12
B.2
2 C.14 D.24 11、已知数列{a n }满足：a 1＝1，2
21+=+n n n a a a (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A 、12+=n a n B 、11-=n a n C 、1+=n n a n D 、1
1+=n a n 12、设，y ∈R ，a >1，b >1，若a ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )
A ．2 B.32 C ．1 D.12
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上。

13、已知不等式2－2＋2－1>0对一切实数恒成立，则实数的取值范围为______________．
14、在△ABC 中，A ＝60°，c b ,是方程0232=+-x x 的两个实根，则边BC 上的高
为 。

15、如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的
中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，
则V 1∶V 2＝________.
16、设数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝2，b 2＝－1，其前n 项和为n s ，则=2017s ________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）
（1）已知点A(－1，－2)和B(－3,6)，直线l 经过点P(1，－5)．且与直线AB 平行，求直线l 的方程
(2)求垂直于直线053=-+y x ，且与点)0,1(-P 的距离是
5
103的直线m 的方程。

18、（本小题12分） 已知函数R x x x x x f ∈++=,1cos sin 3cos )(2 （1）求)(x f 的最小正周期和最值
（2）设α是第一象限角，且,1021)62(=+παf 求)22cos()4sin(αππ
α++的值。

19、（本小题12分）
如图，梯形ABEF 中，,,//AF AB BE AF ⊥且22=====CE DF AD BC AB ，沿DC 将梯形DCF E 折起，使得平面DCFE ⊥平面
ABCD .
(1)证明：BEF AC 平面//；
(2)求三棱锥BEF D -的体积；
（3）求直线所求的角与平面BDF AF 。

20、（本小题12分）
在C B A ABC 、、中，内角∆对应的边分别为)(,,c b a c b a ≤≤,
且A a B
c C b sin 2cos cos =+,
(1)求角A,
（2）求证：;)32(2bc a -≥
（3）若b a =，且BC 边上的中线AM 长为7，求ABC ∆的面积。

21、（本小题12分）
某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费(万件)之间的函数关系为)0(23>-=x x
x Q ，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为%50%150)332(⋅+⋅+x Q ，而当年产销量相等。

（1）试将年利润P （万件）表示为年广告费(万元)的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
22、设（本小题12分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,12211*++∈+-=N n a S n n n 且32,1,5a a a +成等差数列。

（1） 证明⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2） 设)2(log 3n n n a b +=，且14332211........111+++++=
n n n b b b b b b b b T ，证明1<n T 。

（3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n ∈N ，不等式06)2()1(<-+-+n n b n n b λ恒成立，试求实数λ的取值范围.
2016—2017学年度第二学期期末教学质量检测试题
高一年级数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分
1—5.DACCB 6—10.BDCBC 11—12AC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 14.1 15. 1∶24 16.2
三、解答题：本大题共6个小题，共70分
17、解：（1）,4-=AB k 直线l 又过点P(1，－5)，
则直线l 的方程为：014=++y x ....................................................................................5分
（2）由已知条件可得3=m k ，则设直线m 的方程为b x y +=3，
又与点)0,1(-P 的距离是5103，则510310
3=+-b ， 得到3-9或=b ，………………………………………………………………………8分
033093=--=+-∴y x y x m 或的方程为直线…………………………………..10分
18、解：(1)12sin 2
3212cos )(+++=
x x x f ……………………………………………..2分 2
32sin 232cos 21++=x x 2
3)62sin(++
=πx …………………………………………………………………………..4分 )(x f 函数∴的最小正周期是π，最大值为
25，最小值为21…………………………..6分
（2）,10
21)62(=+π
α
f
则1021236)6
2(2sin =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππα 则53)2sin(=+
πα 即5
3cos =
α………………………………………………………………………………….8分 又α为第一象限的角 则5
4sin =α ααααππ
α2cos )cos (sin 2
2)22cos()
4sin(+=++…………………………………………………..10分 =αααααsin cos 22sin cos )cos (sin 2
222-=-+x 2
25-
=……………………………………………………………………………………..12分 19、(1)证明 如图，取BF 的中点M ，设AC 与BD 交点为O ，连接ME MO ,.
由题设知，DF MO DF CE 21,21////
==， ∴MO CE //
=，故四边形OCEM 为平行四边形， ,//CO EM ∴即AC EM //.
又BEF AC 平面⊄,BEF EM 平面⊂，
∴BEF AC 平面//.........................................................4分
(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABCD ，平面CDFE ∩平面ABCD ＝DC ，BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面DEF .
∴三棱锥BEF D -的体积为
3
4222213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--BC S V V DEF DEF B BEF D ........................8分
（3）∵平面CDFE ⊥平面ABCD ，平面CDFE ∩平面ABCD ＝DC ，又CD FD ⊥ ,ABCD FD 平面⊥ 又ABCD AC 平面⊂,
DF AC ⊥∴
又在正方形ABCD 中
D DF BD BD AC =⋂⊥,
BDF AC 平面⊥
连结FO ,,AFO BDF AF ∠所成角为与平面
，
又2===DF AD AB 3362tan 62===
∠==FO AO AFO FO AO ，， 6π
=∠AFO
6
π
所成角为与平面BDF AF ..........................................12分 20、解：（1）A a B c C b sin 2cos cos =+ ，A B C C B 2sin 2cos sin cos sin =+∴, 即A A A C B 22sin 2sin ,sin 2)sin(==+即 2
1sin =∴A 又c b a ≤≤ ，30π
≤<∴A ，6π
=∴A ………………………………………….4分
（2）A bc c b a cos 2222-+=……………………………………………………….5分 则bc bc bc c b a 3232
22-≥-+= bc a )32(2-≥∴ …………………………………………………………………….8分
（3）由b a =及（1），知6π
==B A
3
2π=∴C 在AMC ∆中，由余弦定理222cos 2AM C MC AC MC AC =⋅-+ 得222)7(3
2cos 22)2(=⋅⋅-+πa a a
a ，解得2=a ………………………………11分 33
2sin 212==∴∆πa S ABC ………………………………………………………….12分
21、解：（1）x Q x Q P -+-⋅+⋅+=)332(%50%150)332(……………………..3分
)0(5.49322>+--=x x
x ……………………………………………………………6分 （2）5.415.49425.49)322(
=+⨯-≤++-=x x P ，……………………………….10分 当且仅当x
x 322=时，即8=x 时，P 有最大值41.5万元。

答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元………………12分
22、解：（1）在*++∈+-=N n a S n n n ,12211中
令1=n ，得,1222
21+-=a S 即3212+=a a ，① 令2=n ，得,122332+-=a S 即13613+=a a ，②
又312)5(2a a a +=+，③
则由①②③解得11=a ，52=a ……………………………………………………….2分
当2≥n 时，由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-++1221221
11n n n n n n a S a S ，得到,221n n n n a a a --=+ 则)12(2312
11+=+++n n n n a a 又52=a ，则)12(2312
1122+=+a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+∴12n n a 数列是以23为首项，23为公比的等比数列， 1)23(2312
-⨯=+∴n n n a ，即n n n a 23-=...................................6分 （2）)2(log 3n n n a b += ，则n b n n ==3log 3 则
1
11..........313121211)1(1........431321211+-+-+-+-=+⨯++⨯+⨯+⨯=n n n n T n 1
11+-=n 1<∴n T ................................................................8分
（3）当06)2()1(<-+-+n n b n n b λ恒成立时，即2(1)(12)60n n λλ-+--<（*n ∈N ）
恒成立.....................................................................9分 设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ）， 当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=满足条件； 当1λ<时，由二次函数性质知不恒成立； 当1λ>时，由于对称轴x =1201λλ--<-，则()f n 在[1,)+∞上单调递减， ()(1)340f n f λ≤=--<恒成立，则1λ>满足条件， 综上所述，实数λ的取值范围是[1,)+∞........................................12分。