2020-2021初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析(1)
一、选择题
1．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩
①② 【答案】32x y =-⎧⎨
=-⎩. 【解析】
【分析】
由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可．
【详解】
解：由②得：y=7+3x(3)，
把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，
解得：x=-3，
把x=-3代入③得：y=-2，
所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨
=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．
2．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.
【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.
【解析】
试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：
322245x y xy +-=⎧⎨=⎩
，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；
∵x <14，
∴不合题意，舍去；
当y =5时，x =9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.
3．解方程组：2256021x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩
①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
【详解】
方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，
得60x y +=或0x y -=，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩
， 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，11x y =⎧⎨=⎩ .
4．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩
． 【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩＝①＝②
由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，
x+y=0，x-2y=0，
即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
5．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
①② 由②得2
(2)1x y -=，
所以21x y -=③，21x y -=-④
由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩
，23
21x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组23
21x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{
11x y ==
解方程组
23
21
x y
x y
+=
⎧
-=-
⎨
⎩
得，
1
5
7
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
所以原方程组的解为：
1
1
1
1
x
y
=
⎧
=
⎨
⎩
，
2
2
1
5
7
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝
k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB 的距离的最大值．
【答案】（1）y＝﹣
1
2
x2+
1
2
x+1；（2）①-
1
2
；②点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3
5
.
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值
【详解】
解：（1）将A ，B 点坐标代入，得
10(1)
11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1
21
2
a b ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
抛物线的解析式为y ＝211
x x 122-++；
（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得
2m ＝﹣1，
即m ＝﹣1
2； 故答案为﹣1
2；
②AB 的解析式为1
1
22y x =+
当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，
联立PA 与抛物线，得2111
2222
y x x y x ⎧
=++⎪⎨⎪=--⎩，
解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），6
14x y =⎧⎨=-⎩，
即P （6，﹣14）；
当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，
联立PB 与抛物线，得211122
23
y x x y x ⎧
=++⎪⎨⎪=-+⎩，
解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）4
5x y =⎧⎨=-⎩，
即P （4，﹣5），
综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣
14）（4，﹣5）；
（3）如图：
，
∵M （t ，﹣
12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12）， ∴MQ ＝﹣
12t 2+12 S △MAB ＝12
MQ|x B ﹣x A | ＝12（﹣12t 2+12
）×2 ＝﹣12t 2+12
， 当t ＝0时，S 取最大值
12，即M （0，1）． 由勾股定理，得
AB 2221+5
设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得
h 55． 点M 到直线AB 5． 【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
7．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
【答案】11126x y =⎧⎨
=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】
解：2263100x y x xy y -=⎧
⎨+-=⎩
由②得：()()250x y x y -+=
原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650
x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨
=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】
本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
8．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.
详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩
由②得：()2
21x y -=
即：21x y -=或21x y -=-
所以原方程组可化为两个二元一次方程组： 23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩
分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：沿x轴翻折后，与x轴交于点A，与y
轴交于点B，抛物线与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F（点F在点E的右侧）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；
（3）如图，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）（1，），（3，0）．
【解析】
【分析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出
直线AB的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：
，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB 的解析式即可求出h的值，即可得到答案；
（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和
△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把
M、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析
式，解由方程和的解即可得出P、Q的坐标．
【详解】
（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b
直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），沿x轴翻折，
∵直线，
直线AB与x轴交于同一点（-2，0）
∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称
∴B（0，），
∴
解得k＝，b＝，
∴直线AB的解析式为.
（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），
抛物线解析式为：
∴D（0，）．
∵DF∥x轴，
∴点F（2h，），
又点F在直线AB上，∴，
解得 h1=3，h2＝（舍去），
∴抛物线的解析式为.
（3）解：过M作MT⊥FH于T，
∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k，
则FN=AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF＝(AH+HF+AF)-FM=16-5k，
又∵S△MNF＝S△AFH．
∴＝24，
解得k＝=或k=2 （舍去），
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，
∴M（，））、N（6，-4），代入得：=k+b且-4=6k+b，解得：k=，b=4，
∴y＝x+4，
联立y＝x+4与y＝,
求得P（1，），Q（3，0）．
答：存在P的坐标是（1，），Q的坐标是（3，0）．
【点睛】
本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
10．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.
【答案】12cm 、16cm 、20cm.
【解析】
【分析】
设两直角边为a 、b 22a b +22++1=962
a b a b ab ⎧+⎪⎨⎪⎩求解即可．
【详解】
设该直角三角形的两条直角边为a 、b 22a b + 22+=481=962
a b a b ab ⎧+⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩
， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12
a b ⎧⎨⎩221216=20+cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.
【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962
ab 22a b +
11．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩
【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．
【详解】
222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩
①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④
，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨
=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
12．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩
． 【答案】121
2117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可
【详解】
2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，
2x ﹣3y ＝±4，
即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
， 即原方程组的解为：121
2117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】
本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组
13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩
①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.
【详解】
解：由②得()()310x y x y ---+=，
得30x y --=或10x y -+=，
原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51
x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨
=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.
14．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩
【答案】10x y =-⎧⎨
=⎩或23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．
【详解】
解：由①得：1y x =+③
把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,
整理得：220x x --=，
解得11x =-，22x =．
当11x =-时，1110y =-+=
当22x =时，2213y =+=
∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨
=⎩，2223
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．
15．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？
【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．
【解析】
【分析】
根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．
【详解】
设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2
x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩
80+12=92（万元），
答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，
故答案为：92，80，20%．
【点睛】
本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
16．解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．
【详解】
解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
①②， 由②得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，
原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【点睛】
本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．
17．解方程组：2256012
x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩ 【答案】1184x y =⎧⎨=⎩或22
93x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解法求22
560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.
【详解】
解：由（1）得20x y -=或30x y -=， 2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，22
93x y =⎧⎨=⎩ ，
则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨=⎩和 22
93x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
18．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.
【详解】
22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩
或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，
3322
x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm ，修好后又被风吹折，因
新断处比前次低5dm ，故杆顶着地处比前次远10dm ，求此杆的高度．
【答案】此竿高度为50dm
【解析】
【分析】
由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ，余下部分BC 长为y dm ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．
【详解】
解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm ，余下部分为BC 为ydm ．
由题意得22222220;(5)(5)30.y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩
解得 2129x y =⎧⎨=⎩
此杆的高度为x+y=21+19=50 dm
答：此竿高度为50dm
【点睛】
本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．
20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
334,2;x y =⎧⎨=⎩44
4,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．
【详解】 22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②
， 由①得
(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+2y=0或x-2y=0，
由②得
(x-y)2=4，
∴x-y=2或x-y=-2，
∴原方程组可化为
202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 分别解这四个方程组得
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。