电子动力衍射模拟计算的新方法

摘 要
当今，电子晶体学由于具有X射线晶体学所无法比拟的独特优势而变得日益活跃。

然而，由于电子与晶体之间强烈的动力学交互作用，使得用电子显微学方法分析结构复杂化。

为了解决其中的动力衍射问题，多年来电子晶体学家们已经发展了一些数值模拟方法以及近似解析方法。

但这些方法都还存在各自的不足之处。

本文中我们首先通过实空间方法和普遍使用的多层法进行计算对照，发现了实空间方法的独特优势；然后发展了几种数值模拟计算的新方法。

具体内容如下：
1）通过模拟计算比较实空间方法和传统的多层法。

发现当片层厚度在一定范围内改变时，用实空间方法计算的结果可以保持七位有效数字不变，而用传统多层法计算的结果不仅明显变化，而且表现出伪高阶劳埃带效应。

该现象是由于分层后在每一层中把晶体势投影到几何面上时人为引入了一个沿入射束方向，以片层厚度ε为周期的二维投影势。

从数学的观点看，由于实空间法同时考虑了散射和传播，所以它比传统的多层法的理论基础更严格，有时甚至计算速度也比传统多层法更快。

考虑到实空间法能满足日益增加的对计算精确度的要求，我们建议同行在进行精确计算时采用实空间法。

2）从薛定谔方程出发推导了一种波函数相位模拟方法。

当我们知道晶体的出射面波函数的振幅后，可以通过该方法重构出波函数的相位。

这在晶体结构测定方面具有十分重要的意义。

3）发展了一种进行像模拟计算的方法——快速倒易空间方法。

众所周知，散射矩阵P是由N个不同的结构因子和N个不同的激化矢量构成的具有N N
×个元的矩阵。

然而，由于绝大多数结构因子极小，以至于可以忽略不计，因此散射矩阵的阶数可以大大地减少。

另外，由于结构因子具有二维空间对称性，通过把对称相关的结构因子用对称独立的结构因子表示，散射矩阵的阶数可以进一步减小。

散射矩阵简化后，像模拟计算的速度相对于传统方法的计算速度提高了数百倍。

4）发展了两种用来模拟计算高阶劳埃带衍射的方法。

第一种为可以计算单斜或者三斜晶体高阶劳埃带衍射的半解析法，该方法允许相光栅平面垂直带轴方向而克服了相光栅无限大的这一问题。

第二种为泰勒级数方法，该方法比传统多层法更精确而且不依赖于片层的厚度。

最后，用电子动力衍射解析表达式计算了高阶劳埃带衍射，计算结果用与传统的数值方法计算的结果相符。

关键词：电子晶体学；电子动力衍射；出射面波函数；高阶劳埃带衍射
Abstract
Nowadays, electron crystallography is ever-increasingly active because it has incomparable and unique advantages over X-ray crystallography. However, compared with X-ray crystallography, electron crystallography confronts with a critical problem, i.e. dynamical diffraction problem which makes structure analysis very complicated. To solve the problem, crystallographers have developed several numerical methods and approximate analytical expressions for many years. However, there are still a lot of deficiencies in these theories. In this paper, we compared real space method with Multi-slice method and found some advantages for real space method. Then we developed a few new methods for dynamical simulation. The main results of our work are listed as following:
1) The simulation for the exit wavefunctions of a sample is carried out by both of the conventional multislice (C-MS) method and the real space multislice (RS-MS) method with a series of different slice thicknesses. It is surprised to find that the results calculated by the RS-MS method keep constant for seven significant figures when slice thicknesses change in a wide range, while those calculated by the C-MS method not only change obviously, but also behave as pseudo high order Laue zone (HOLZ) effects. This phenomenon is due to imposing an artificial factor on the model when the crystal potential is projected onto a geometrical plane within each slice, which makes two dimension projected potentials show periodicity with the period ε(the slice thickness) along the incident beam direction. From the mathematical point of view, it can be concluded that the RS-MS method has more rigorous theoretical foundation than the C-MS method since the RS-MS method considers the scattering and the propagation simultaneously so that the calculating accuracy of the RS-MS method is much higher than that calculated by C-MS method and sometimes the calculation speed of the former method is even faster than that of the later one. It is concluded that the RS-MS method can satisfy the increasingly accurate requirement and we recommend that the researchers use RS-MS method for accurate calculations.
2) A phase simulation method was derived based on Schrödinger equation. The phase of the exit wavefunction may be obtained only by using the amplitude. It is very important for the determination of the crystal structure.
3) We developed a fast reciprocal space method for image simulation. It is well known that the scattering matrix (SM) P with N×N elements consists of N different structure factors and N different excitation errors. However, most structure factors of the SM P are extremely small so that they can be neglected. Therefore the size of the SM P is reduced
drastically. On the other hand, the structure factors on the reciprocal lattice plane (uvw)* have two dimensional space group symmetries. By reducing the symmetry related structure factors to symmetrically independent structure factors, the size of the scattering matrix can be reduced further. The calculation speed based on the simplified SM will be several hundred times faster than that by other conventional methods.
4) We proposed two methods for simulating of the HOLZ diffraction. The first one is half analytical method, which may be used to calculate the HOLZ diffraction of monoclinic and triclinic crystals. This method allows the phase grating perpendicular to the zone axis without the difficulty of infinity. The second one is Taylor series (TS) method. The method is much more accurate than the CMS method and independent of the slice thicknesses. Finally, the HOLZ effects were simulated by using the electron dynamic diffraction analytical expression (AE) method. The calculated results are in good agreement with those calculated by numerical methods.
Key words: Electron crystallography; Dynamical electron diffraction; Exit wave function;
High order Laue zone diffraction
湘潭大学
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第1章 绪论
1.1 电子晶体学的简介
1.1.1 引言
自然界的物质，无论是宏观物体还是微观物体，无论是无机物还是有机生物或生物大分子，都具有各自的特性，而这些性能（包括物理性能和化学性能）都是由其内部的微观结构所决定的。

因此结构分析无论对于材料科学、有机分子及生物大分子等都是不可或缺的研究手段。

研究物质在原子水平的微观结构手段主要有X射线晶体学、核磁共振技术和电子晶体学三种。

与X射线晶体学相比，电子晶体学早期发展远远落后于X射线晶体学。

在较长的一段时间内，它只是X射线晶体学的一种继续与补充。

然而随着电子晶体学的飞速发展，当今电子晶体学在结构分析方面起着越来越重要的作用，因为它有着许多X射线晶体学无可比拟的优越性。

首先，电子与物质的相互作用比X射线强数万倍，因此可以用来研究微米和纳米尺度的无法靠单晶X射线衍射研究的晶体；其次，电或磁透镜可以聚焦电子成像，从而获得晶体的高分辨电子显微像，这是X射线方法无法做到的；再者，在某些条件下，人们可以直接从高分辨像中得到确定未知晶体结构时所需要的结构因子相位，而从X射线衍射及电子衍射图中获取这些相位是非常困难的。

1.1.2 电子晶体学的发展历史
X射线是1895年11月8日德国物理学家伦琴(W. C. Rontgen) 在研究真空管高压放电现象时偶然发现的[1]。

从1895年到1897年间，他搞清楚了X射线的产生、传播、穿透力等大部分特性。

伦琴的这一伟大发现使得他于1901年成为世界上第一位诺贝尔奖获得者。

1912年，W. Friedrich 和R. Knipping将X射线照射到硫酸铜晶体上研究其衍射效应，得到了晶体的第一张X射线衍射图[2]，试验结果表明X射线是一种波长很短的电磁波，而晶体可看作一种三维光栅，它具有三维周期性结构，且其周期和X射线波长相当。

根据波的衍射条件和晶体结构的周期性，1913年Laue 提出了著名的Laue 方程，从而开辟了X射线晶体学这一崭新的学科领域[3]。

早在1927年，Thompson、Davission 和Germer 就分别进行了著名的电子衍射实验证明了电子的波动性，给电子显微镜的发展指明了方向，并为建立电子衍射这一新
兴的学科开辟了道路[4]。

1937-1938年，由Pinsker 和V ainshtein领导的前苏联晶体学家就已经开始探索电子衍射晶体结构分析方法[5]。

但是当时用电子衍射确定晶体结构的理论、方法和试验技术都很不完善，他们的工作重点是设计和制造电子衍射仪，探索和发展用电子衍射确定晶体结构的方法。

经过十几年的努力，他们终于从BaCl2.H2O的电子衍射图中得到了第一张傅里叶图。

在以后的十年中，他们又用电子衍射方法研究了包括无机、有机及矿物在内的不同种类的晶体结构，其研究结果为电子衍射确定晶体结构的方法开辟了广阔的前景。

此后电子衍射作为一种研究未知晶体的结构的完备的方法已毋庸置疑[6]。

由Pinsker 和V ainshtein 领导的前苏联晶体学家发展的电子衍射晶体结构分析方法是基于电子衍射的运动学近似[7]。

1957年，Cowley和Moodie提出了动力学衍射理论[8]，这一理论为以后发展起来的电子衍射及高分辨电子显微像的模拟计算提供了理论基础和具体计算方法。

用衍射方法确定晶体结构需要两部分信息：晶体结构因子的振幅和相位，然而无论是X射线衍射还是电子衍射，结构因子的相位信息都丢失了。

1953年Hauptmann和Karle首先提出了解决这一问题的方法——直接法[9]，直接法的提出促使X射线晶体学得以飞速发展。

直到上世纪80年代，晶体学家们用直接法测定了五十万种以上的晶体结构。

为此Hauptmann和Karle获得了1985年的诺贝尔化学奖。

1976年Dorset和Hauptmann首次将直接法应用到电子衍射方法上证明了电子衍射同X射线衍射一样可以用来确定未知晶体的原子结构[10-13]。

早在1968年，英国剑桥大学MRC分子生物实验室的DeRosier和Klug首次利用电子显微镜对生物大分子进行三维重构[14]，他们首次提出电子衍射中失去的相位，可以从电子显微像中得到。

该方法的建立，是结构分子生物学发展史上的一次革命，极大的推动了分子生物学的发展，数以百计的包括膜蛋白、病毒分子等在内的生物大分子原子结构通过此方法得到了确定, Klug也因此获得了1982年的诺贝尔化学奖。

继Klug之后，同一实验室的Henderson和 Unwin进一步发展了用晶体学图像处理确定二维膜蛋白晶体的三维重构的方法[15-16]，首次得到了膜蛋白的内部结构，使人们对膜蛋白的认识提高了一大步。

近几十年，单颗粒（如病毒）及二维膜蛋白晶体的三维重构在分子生物学中一直占有重要地位[17-19]。

1978年Unwin 和Klug将晶体学图像处理用于研究无机晶体[20]，证明了用一系列欠焦法可以直接测定GeNb9O25的原子结构。

六年后，瑞典斯德哥尔摩大学的Hovmoller 等首次将这一方法应用于实验高分辨像中，确定了一系列铌酸盐的原子位置[21-23]。

几
年后，中科院物理所的李方华及范海福院士又进一步发展了晶体学图像处理方法，将高分辨像与电子衍射结合，通过对高分辨像解卷、电子衍射相位外推等方法确定了一系列无机晶体的结构，其中包括铌酸盐K 2Nb 14O 36[24]、准晶[25]及非公度调制结构[26,27]。

1.2 电子晶体学的基础理论
1.2.1 晶体结构、晶体内静电势分布及晶体结构因子
在电子显微镜中电子通过晶体时会受到晶体内原子产生的静电场的作用，这一静电场是由晶体不同位置的电势差产生的。

晶体内某一位置r =(x,y,z) 的静电势ϕ(r )可表示成
1()()N
j j j ϕϕ==−∑r r r （以伏特为单位） (1.1)
式中N 为晶体单胞内原子总数，j ϕ是原子j 的电势，j r 是原子j 的中心位置。

由于电势是由带正电的原子核及其周围带负电的电子产生的，因此电势最高的地方表示有原子所在位置。

原子散射电子的能力可用原子散射因子()j f u 来表示，其中u 代表电子散射的方向及波矢量。

所有中性原子和部分离子的原子散射因子，都可以从国际晶体学表C 卷中查得。

晶体对电子的散射能力可由晶体结构因子()F u 来表示，即
1()()exp 2()
N j j F f i π==⋅∑j u u u r （以埃为单位） (1.2)
晶体结构因子()F u 是复变量，包括两部分：振幅()F u 及相位()φu
()()exp[()]F F i φ=u u u (1.3) 晶体中静电势ϕ(r )与结构因子的关系是
()()exp[2()]u F i λϕπσ=−⋅Ω∑r u u r (1.4） 式中λ表示波长， ()Ω=⋅×a b c 表示单胞的体积，σ表示交互作用因子
22h me λπσ= （以11V A −−⋅D 为单位） (1.5)
与晶体结构因子的振幅不同，相位因子()φu 不是绝对值，而与原点选取有关。

如果晶体具有中心对称，并且原点在对称中心上，相位因子()φu 只能为0o 或180o 。

1.2.2 晶体原子位置与结构因子的关系
晶体的原子位置可以从晶体的静电势的分布图中得到，电势极大值的地方对应着原子位置，如式(1.4)所示，晶体中静电势分布与晶体结构因子有一一对应关系，因此只要能得到晶体结构因子（包括振幅与相位），就能确定晶体的原子结构。

为了进一步理解晶体结构因子振幅()F u 及相位()φu 在晶体结构分析中的作用，将它们代入式(1.4)可得
()()exp[()exp[2()]u F i i λϕφπσ=−⋅Ω∑r u u u r
()exp [()2()]u F i λφπσ=
−⋅Ω∑u u u r (1.6) 晶体总是成对发生衍射的，通常称u ，−u 这一衍射对称为Friedel 对，它们之间的振幅及相位有如下关系：
()()F F −=u u
()()φφ−=−u u (1.7) 将这一关系代入式（1.6）中可得： {}()(0)()exp [()2()]exp [()2()]2u r F F i i λϕφπφπσ⎧⎫=+−⋅+−−−⋅⎨⎬Ω⎩⎭∑u u u r u u r
(1.8） 合并后即为
()(0)2()cos[()2()]2u F F λϕφπσ⎧⎫=+−⋅⎨⎬Ω⎩⎭∑r u u u r (1.9) 由此看出，晶体中静电势可通过由不同衍射产生的沿不同方向的余弦函数叠加而得到。

结构因子振幅()F u 决定每一波函数的大小，而结构因子相位()φu 则决定每一波函数的峰位与其他余弦波函数的峰位的相对位置。

定性地说，晶体的原子位置由结构因
子的相位决定。

而晶体的原子位置处峰位值的大小，表示原子种类的不同，它们由结构因子的振幅决定。

图1.1举例说明结构因子的振幅和相位，以及强衍射和弱衍射是怎样影响电势分布的。

如果仅保留所有结构因子的相位，而将它们的振幅都设成同一值，得到的电势图如图1.1（b）所示，与原始电势投影图1.1（a）相比，两者相差不是太大，仍然可以辨认出原子的位置（电势的峰值处）。

相反，如果保留所有结构因子的振幅，仅将其中一个强衍射的相位改变180o，得到的电势图1.1（c）与原始图相差很大，这充分说明了结构因子的相位对电势图的明显影响，因此获得正确的结构因子相位对确定晶体结构极为重要。

如图1.1（d）所示，如果只用最强的一半衍射的结构因子的振幅和相位而忽略掉另一半弱衍射，所得到的电势图，与原始图相比，除分辨率稍低一点外，没有太大的变化。

这就说明要得到正确的晶体结构，获得正确的强衍射的结构因子非常重要，而弱衍射对确定晶体结构影响不大。

需要指出的是，原子位置是否准确还需通过结构修正才能最后确定，这时无论是强衍射还是弱衍射都同等重要。

图1.1 以沿最短的c 轴投影的K 7Nb 15W 13O 80[ 17]为例说明结构因子振幅和相位以及强衍射和弱衍射对电势分布的影响。

(a)原子电势投影图；(b)修改后的电势投影图（所有结构因子振幅设成同一值，相位不变）；(c)所有结构因子振幅不改变，其中一强衍射的相位改变1800
；(d)仅保留一半强衍射的振幅和相位，去掉一半弱衍射。

其中暗衬度对应高电势位置，黑点对应Nb/W 原子，灰点对应K 原子。

第2章 电子衍射的基本理论
在电子显微镜中，由于物体与电子束的交互作用，使透射物体的电子束或电子波携带了物体的结构信息，物波在电镜中经过物镜，中间镜和投影镜的作用，最后在像平面上形成像波，由于电镜不是理想的，这些结构信息在电子波的传播和记录中将被电镜的各种组件所歪曲，其中以物镜的作用最为显著，所以像形成理论主要是物镜传递函数问题，它包括相位与振幅两部分，限制物镜传递函数的主要参数有球差系数、欠焦量、像散及彗差等[28], 通过适当的欠焦可以在一定程度上补偿物镜球差的影响从而在传递函数中形成一定的通带，使物波的相位在传递到像波的时候在该频率范围内的所有变化几乎为一个常数[29,30]，这时的高分辨像直接反映了样品的势投影，我们称之为结构像。

然而由于电子波与原子势之间的作用比较强，只要经过几个原子层就会产生几十甚至几百束强的衍射，即电子通过样品时要遭受到多重散射，产生动力学衍射，电子的动力学衍射效应导致了用电子衍射分析晶体结构的复杂性。

2.1 电子衍射的运动学近似
为了解释高分辨像的成像机制，早在1946－1947年，Boersch 就讨论了电子与原子间的交互作用，并提出了相位物体近似[31]，其基本思想是假设电子波经过样品时，样品原子对电子波的作用相当于它们形成的势场影响电子波波阵面的形状，只改变波的相位，而不改变波的振幅，它的近似性体现在当电子经过样品时只考虑了散射而完全没有考虑传播。

在实际应用中有时尚嫌相位物体近似复杂故又发展了弱相位物体近似[32]及线性交互作用近似等近似理论[33]。

2.1.1 相位物体近似
电子束经过样品时，电子束与样品之间发生相互作用，在样品出射面形成出射面物波，它携带了样品中的势函数分布信息，通过电子显微镜的作用此信息被进一步传递到电子衍射图或高分辨电子显微像中，分析电子衍射图或高分辨像即可获得样品的结构信息。

电子速度在100KV 高压加速下已超过光速的一半，其相对论效应不可忽略，对于弹性散射电子能量守恒，按测不准关系，电子通过晶体的时间是不确定的，入射电子必然要以无限广延的波的形式，即平面波)(xy in Ψ的形式传播，令
)exp(),(φi A y x in =Ψ (2.1) 其中A 和φ分别表示波函数的振幅和相位，且都为常数，在真空中考虑相对论效应后电子的波长为
]21[2200c m eU eU m h
+=λ (2.2)
其中h 为Plank 常数，0m 和e 分别表示电子的静止质量与电荷，U 表示加速电压。

当入
射电子通过样品时电子的波长将由于样品势)(r K ϕ对电子的散射而变为
]21)][([2200c m eU r U e m h
++=ϕλ
U r )
(1ϕλ+=
(2.3)
一般说来电镜的加速电压为几百千伏，而电子的电势只有几十伏，即满足
()U ϕ<<r (2.4) 这样电势相对于加速电压可看成微扰，加速电压越大，入射电子波长改变越小；样品势越小，波长改变越小。

当一束电子波分别在真空或样品中传播一段距离d r 后，电子波的相位改变分别为2d πλr 、2c
d πλr ，将两相位相减，可得其相位移为 22()c xy d d π
πφλλΔ=−∫∫r r (2.5)
假设电子的能量很高，被散射的电子波方向与入射方向几乎平行，综合（2.2）、（2.3）和（2.5）式可得
0()()t
xy dz U πφϕλΔ=∫r (2.6)
其中t 是样品的厚度。

如果样品很薄，样品势场可以表示成电子束方向势投影()t V xy 的形式
0()()t
t V xy dz
ϕ=∫r (2.7)
这样电子束穿过样品后总的相位变化为
)()(xy V U xy t λπφ=Δ (2.8) 令U
λπσ= 考虑到2221h me U λ=，有2
2h me λπσ=， 所以 )()(xy V xy t σφ=Δ (2.9) 其中σ为相互作用系数。

假定电势只改变电子波的相位，而保持其振幅不变，样品的作用就是一个纯相位物体，其透射函数即出射面波函数可以写为
))(exp()(xy V i xy t ex σ−=Ψ (2.10) 它要求样品非常薄, 电子与样品间只能发生弹性散射，且电子的能量很高以致被散射电子波与入射电子波几乎平行，这时电子穿过样品后只有相位变化，而其振幅保持不变化，这就是所谓的相位物体近似。

2.1.2 弱相位物体近似
对（210）式进行Taylor 展开得
[][]...)(6)(2)(1)(33
22
++−−=Ψxy V i xy V xy V i xy t t t ex σσσ (2.11)
从（2.11）式可以看出，即使在相位物体近似下，不同散射波之间的相互干涉仍将导致多重弹性散射与非线性效应，使得显微像与样品投影势之间呈现复杂的关系。

对（2.11）式进一步近似，只考虑运动学散射而忽略由于多重散射带来的高阶项得 )(1)(xy V i xy t ex σ−=Ψ (2.12)
这就是所谓的弱相位物体近似。

这时的波函数与投影势成线性关系，将（2.12）进行傅里叶变换，可以得出其在倒空间的表达式
()exp(()2ex t i F λπΨ=−Ωu u (2.13)从（2.13）式可以看出，倒易空间的出射面波函数()ex Ψu 的振幅正比于晶体结构因子的振幅()F u ，而相位改变D 90。

弱相位物体近似只对轻原子组成的很薄的样品而言是有效的，它要求投影势1)(<<xy V t σ，这时从实验上获得的电子显微像就成为晶体结构在电子束方向的投影，并把这种能直观地显示晶体结构的高分辨像称为结构像。

2.1.3 线性交互作用近似
线性交互作用近似在高分辨像分析中也经常用到。

将高分辨像强度分布函数()im I r 进行傅里叶变换可得
()[()][()()]im im im im I F I F ∗==Ψ⋅Ψu r r r (2.14) 根据乘积原理和傅里叶变换有
()[()][()]()()im im im im im I F F ∗
∗=Ψ∗Ψ=Ψ∗Ψ−u r r u u (2.15)
根据卷积的定义有
()()()()
im im im im u →∗
∗Ψ∗Ψ−=Ψ−⋅Ψ−∑u u u U U (2.16)
将−U 用'u 代替, 则
()()()
im im im I ∗
=Ψ+⋅Ψ∑''u u u u u
'''0,[()(0)(0)()]()()im im im im im im ∗∗∗≠=Ψ∗Ψ+ΨΨ−+Ψ+⋅Ψ∑u u u u u u u (2.17)
其中)0(im Ψ代表晶体中未被散射的电子波，()im Ψu 表示某散射波。

方括号中各项的和代表了未被散射电子波与遭受到散射的电子波间的干涉，称之为一阶干涉项，它给出与波函数呈线性关系的结构像；方括号外的各项代表各不同散射波之间的干涉项，称之为二阶干涉。

二阶散射项使得所成的高分辨像与波函数间不再成线性关系，这就是所谓的非线性效应。

对薄晶体而言，未被散射的电子波的)0(im Ψ的振幅比各衍射波()im Ψu 的振幅要强
得多，因此与一阶干涉相比，二阶干涉要小得多而可以忽略。

这样像的强度变为
()im I u ()(0)(0)()im im im im ∗
∗=Ψ∗Ψ+ΨΨ−u u (2.18)
这就是线性交互作用近似。

2.2 电子衍射的动力学理论
由于运动学近似对样品的要求非常苛刻，当样品的厚度不满足弱相位物体近似或投影势近似的要求时，对于获得的高分辨像不能直接给予解释，这时必须考虑样品内透射束和衍射束以及衍射束之间的动力学交互作用[34]。

最简单的动力学衍射理论是Howie-Whelan 利用Bragg-Darwin 处理X 射线衍射的基础上提出来的[35]。

它假定电子在晶体中传播时只有透射束和一支衍射束之间存在强的交互作用，这就是双束动力学衍射。

相应的考虑透射束和两支衍射束之间的交互作用的情况，称为三束动力学衍射。

与运动学相比，它们都考虑了透射束和衍射束以及衍射束之间的动力学交互作用。

然而，实际情况要复杂得多。

当电子在晶体中传播时，有很多衍射束具有足够强度，它们在晶体中散射时对透射束和其他衍射束的交互作用不可忽略，为了能客观真实地描述动力学衍射过程，必须应用多束理论。

2.2.1 数值方法
自从1928年Bathe 的本征值法提出以后[36]，相继发展了几种多束理论。

然而，直到1955年最有效的多束衍射理论仍然是运动学近似[37]。

第一个能有效处理多束衍射的方法是由Cowley 和Moodie 于1957年在物理光学的基础上提出的多层法[8]。

20世纪70年代初，澳大利亚小组基于他们的假设开发出了高分辨像模拟计算的程序[38]，并得到与实验像相符的计算结果[39,40]，从而引起了人们对多层法的广泛关注。

Goodman 和Moodie 于1974年从薛定谔方程出发推导出了多层法[41]，奠定了多层法的理论基础。

Ishizuka 和Uyeda 于1977年将快速傅里叶变换引入到多层法中大大地节约了计算时间
[42]，推动了多层法在高分辨像模拟计算中的广泛应用。

随后的几十年高分辨像的数值模拟发展迅速，并日趋成熟。

目前广泛应用的像模拟计算方法有两类:
（1）矩阵算法
主要有本征值法和散射矩阵算法。

由于矩阵算法的计算时间与2N 成正比（N 为采样点数或衍射束的数目），所以常用于少量波束的计算。

例如计算电子的隧道效应和吸收效应等。