2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：2.3 幂函数

知识导图
学法指导
1.能正确区分幂函数与指数函数．
学会以五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和3．会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.
(0,0)(1,1)(1,1)
幂函数在区间＋∞)上，当α>0时，＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
)
(1,1)．(
m 的值为( )
A ．1
B ．－3
C ．－1
D ．3
(3)已知幂函数f (x )的图象经过点，则f (4)＝________.
(3，
19)
【解析】　(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，
；⑥y ＝0.3.其中是幂函数的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(2)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，2
3
m m ＋－(x )是增函数，求f (x )的解析式．
解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数
中，只有y ＝＝x －3和
y ＝＝x 符合幂函数的定义，是幂函数，1
x 33
x 55
3
，y＝x p，y＝x q的图象如图，则将
<”连接起来结果是
，没有幂函数的图象；对
，不符合题意；对C
，不符合题意；对D
0<a<1，g(x)＝log a x中0<a<1，符合题意．
(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以
p>1,0<m<1,0<q<1；x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p.
【答案】　(1)D　(2)n<q<m<p
(1)分0<a<1和a>1两种情况讨论, 同时应注意幂函数的图象必
C ．c >a >b
D ．b >c >a
(2)比较下列各组数中两个数的大小．①与　②3
与3.1
　③与.
(18)7
8
(19)78
52
-
52
-
(2
3)3
4
(3
4)23
【解析】　(1)因为y ＝x (x >0)为增函数，所以a >c .
25
因为y ＝x (x ∈R )为减函数，(25)
(2)与；(4)(3)(3)与.
(12)13
(32)14
解析：(1)函数y ＝x 1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.
(2)方法一　函数y ＝x －在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，32141
3
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在
－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．
x 的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选1
2
，b ＝4，c ＝25，则( )2513
B ．a ＜b ＜c 解析：因为a ＝2＝16，b ＝4＝16，c ＝25，且幂函数y ＝x 在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b <a <c .13
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知幂函数f (x )＝x (m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，2
1m －且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．
解析：∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，
则－5m －3＝1，解得m ＝－.
4
5此时m 2－m －1≠0，故m ＝－.
4
5(3)若f (x )是反比例函数，
则－5m －3＝－1，
2
解析：由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .
综上所述，可知c <b <a .
答案：A
12．已知幂函数f (x )＝x (m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞223m m －－＋上是增函数，则f (2)的值为________．
解析：因为幂函数f (x )＝x (m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞223m m －－＋是增函数，
∴<(3)3-(6)3-∴<.
(－23)23-(－π6)23
-(4)函数取中间值0.20.4，函数y ＝0.2x 在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4；
又函数y ＝x 0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4.∴0.20.6<0.30.4.。