思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)
一、知识点梳理
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)
3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2
，
当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成1
3
•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式
权方和不等式：
若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b
y 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2
y ≥
(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥
(a +b )2
x +y
即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0
当且仅当ya −xb =0时，等号成立
即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b
y
时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y
(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥
(a +b )2x +y
当
a x =b
y
时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z
时，等号成立．
2025届新高考数学一轮复习
推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2n
b n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n
，当a i =λb i 时，等号成立.
推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1
+a m +12b m 2
+⋯+a m +1
n
b m n
≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b n
m
，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练
1实数x 、
y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.
2设x ,y ,z ∈R ，
且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥
1
3
成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >
12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1
的最小值为()
A.1
B.
9
2
C.9
D.
12
【题型训练-刷模拟】
1.柯西不等式
一、单选题
4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有
a 2
1+a 2
2+a 2
3 b 2
1+b 2
2+b 2
3 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2
等号成立当且仅当
a 1
b 1=a 2b 2=a
3b 3
已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14
B.12
C.10
D.8
5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,1
2
，
OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.
2
B.
3
C.2
D.4
二、填空题
6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的一
个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a
=x 1,y 1 ，b =
x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为
.
7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为
.
8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为
.
9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2
=4，
M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，
则3a +4b 取值范围为．
10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b
的
最小值是
．
三、解答题
11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤
9
2
.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求
1a +1
100b
-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥16
41.
13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．
(1)若2a2+b2+c2=1
2，求证：0≤a≤2 5；
(2)若a，b，c∈0,+∞
，求证：a2
1-a +b2
1-b
+c2
1-c
≥1
2．
2.权方和不等式
一、填空题
14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则
1
x+1
+2
y的最小值为．
15已知x>0，y>0，且x+y=1则
x2
x+2
+
y2
y+1的最小值是．
16已知a>0，b>0，且
2
a+2
+1
a+2b
=1，则a+b的最小值是．
17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最
值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2
x
+b2
y
≥
(a+b)2
x+y，当且仅当
a
x
=b
y时等号成立.
根据权方和不等式，函数f x =2
x
+9
1-2x
0<x<1
2
的最小值．
18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则
x2
y+2z
+
y2
z+2x
+z2
x+2y的最
小值为
19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为
20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则
1
sinθ
+8
cosθ的最小值为.
21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1
x2
+8
y2
的最小值.
22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则
a2
b-1
+b2
a-1的最小值是．
23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=
3
x+2y
+1
2x-y的最
小值为.
24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1
x
+22
y
=1，则x2+y2的最小值是．
25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4
x
+9
y
=1，则4
2x2+x
+9
y2+y
的最小值为。