2019学年高中物理第二章匀速圆周运动2匀速圆周运动的向心力和向心加速度学案教科版必修2word版本

2 匀速圆周运动的向心力和向
心加速度
[学习目标] 1.理解向心力的概念及其表达式的含义.2.知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题．
一、向心力
1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．
2．方向：始终沿半径指向圆心．
3．作用效果：由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力只改变线速度的方向，不改变其大小．
4．来源：可以由弹力、摩擦力提供，也可以由其他性质的力提供；可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供．
二、向心力的大小
三、向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力作用下产生的指向圆心的加速度． 2．大小：(1)a ＝v2r
；(2)a ＝ω2
r .
3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速(填“匀加速”或“变加速”)曲线运动．
1．判断下列说法的正误．
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力．(×) (2)所有圆周运动的合力都等于向心力．(×)
(3)向心力的作用是改变物体速度的方向，产生向心加速度．(√) (4)匀速圆周运动的加速度大小不变，故此运动是匀变速运动．(×) (5)根据a ＝v2
r
知加速度与半径r 成反比．(×)
2．在长0.2 m 的细绳的一端系一个质量为0.1 kg 的小球，绳的另一端固定在光滑水平桌面上，使小球以0.6 m/s 的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________，绳拉小球的力大小为________． 答案 3 rad/s 1.8 m/s 2
0.18 N 解析 角速度ω＝v r ＝0.6
0.2 rad/s ＝3 rad/s
小球运动的向心加速度a ＝
v2r ＝0.620.2
m/s 2＝1.8 m/s 2
绳的拉力提供向心力，故F ＝m v2
r
＝0.18 N.
一、向心力
1．分析图1甲、乙、丙中小球、地球和“旋转秋千”(模型)做匀速圆周运动时的受力情况，合力的方向如何？合力的方向与线速度方向有什么关系？合力的作用效果是什么？
图1
答案 甲图中小球受绳的拉力、水平地面的支持力和重力的作用，合力等于绳对小球的拉力；乙图中地球受太阳的引力作用；丙图中秋千受重力和拉力共同作用．三图中合力的方向都沿半径指向圆心且与线速度的方向垂直，合力的作用效果是改变线速度的方向．
2.如图2所示，用手拉细绳使小球在光滑水平地面上做匀速圆周运动，在半径不变的的条件下，减小旋转的角速度，感觉手拉绳的力怎样变化？在角速度不变的条件下增大旋转半径，手拉绳的力怎样变化？在旋转半径、角速度相同的情况下，换用不同质量的球，手拉绳的力有什么不同？
图2
答案 变小；变大；手对质量大的球的拉力比对质量小的球的拉力大．
1．向心力的大小：F ＝m v2r ＝m ω2
r ＝m 4π2T2
r ＝m 4π2f 2r ＝m ωv .
2．向心力的方向：沿半径指向圆心，方向时刻改变，始终和质点的运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直．
3．向心力是根据效果命名的力，不是物体实际受到的力．
4．向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．
例1如图3所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘做匀速圆周运动且始终相对圆盘静止，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
图3
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
答案 C
解析由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C.
针对训练1 如图4所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，则小球受到的向心力是( )
图4
A．绳子的拉力
B．重力、绳的拉力的合力
C．重力
D．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
答案 B
解析 小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析：小球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做匀速圆周运动，这个合力就叫做向心力，向心力是按照力的效果来命名的，这里是重力和拉力的合力，故B 正确，A 、C 、D 错误．
二、向心加速度
当质量为m 的物体，沿半径为r 的圆以速率v 做匀速圆周运动，则物体需要的向心力为多大？向心加速度为多大？ 答案 F ＝mv2r a ＝F m ＝v2r
1．向心加速度的大小：a ＝
v2r ＝ω2
r ＝4π2T2
r ＝ωv . 方向：总是指向圆心，方向时刻改变． 2．向心加速度与半径的关系(如图5)
图5
3．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的大小无影响．
4．圆周运动的性质：不论向心加速度a 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动． 5．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动
(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a ＝v2r
＝ω2
r .
(2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度都指向圆心．
例2 如图6所示，一球体绕轴O 1O 2以角速度ω匀速旋转，A 、B 为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )
图6
A ．A 、
B 两点具有相同的角速度 B ．A 、B 两点具有相同的线速度
C ．A 、B 两点的向心加速度的方向都指向球心
D ．A 、B 两点的向心加速度之比为2∶1 答案 A
解析 A 、B 为球体上两点，因此，A 、B 两点的角速度与球体绕轴O 1O 2旋转的角速度相同，A 对；如图所示，A 以P 为圆心做圆周运动，B 以Q 为圆心做圆周运动，因此，A 、B 两点的向心加速度方向分别指向P 、Q ，C 错；设球的半径为R ，则A 运动的半径r A ＝R sin 60°，
B 运动的半径r B ＝R sin 30°，vA
vB ＝
ωrA ωrB ＝sin 60°sin 30°＝3，B 错；aA aB ＝ω2rA
ω2rB
＝3，D 错．
【考点】向心加速度公式的有关计算 【题点】向心加速度有关的比值问题
例3 如图7所示，O 1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r 1，O 2为从动轮的轴心，从动轮半径为r 2，r 3为固定在从动轮上的小轮的半径．已知r 2＝2r 1，r 3＝1.5r 1.A 、B 、C 分别是三个轮边缘上的点，则点A 、B 、C 的向心加速度之比是(皮带不打滑)( )
图7
A ．1∶2∶3
B ．2∶4∶3
C ．8∶4∶3
D ．3∶6∶2
答案 C
解析 因为皮带不打滑，A 点与B 点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率．根据向心加速度公式a ＝v2
r ，可得a A ∶a B ＝r 2∶r 1＝2∶1.由于B 、C 是固定在一起的轮上的两点，
所以它们的角速度相同．根据向心加速度公式a n ＝r ω2
，可得a B ∶a C ＝r 2∶r 3＝4∶3.由此得a A ∶a B ∶a C ＝8∶4∶3，故选C.
【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的综合传动问题
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．
针对训练2 如图8所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S 与转动轴的距离是半径的1
3，当大轮边上P 点的
向心加速度是12 m/s 2
时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度分别为多大？
图8
答案 4 m/s 2
24 m/s 2
解析 设S 和P 到大轮轴心的距离分别为r S 和r P ，由向心加速度公式a ＝r ω2
，且ωS ＝ωP 可知，S 与P 两点的向心加速度之比aS aP ＝rS rP
解得a S ＝rS rP
a P ＝4 m/s 2
设小轮半径为r Q ，由向心加速度公式a ＝v2r ，且v P ＝v Q 可得Q 与P 两点的向心加速度之比
aQ
aP ＝rP
rQ
解得a Q ＝rP rQ
a P ＝24 m/s 2
.
【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的综合传动问题
1．(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( ) A ．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B ．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C ．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D ．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小 答案 ACD
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力．向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，A 、C 、D 正确． 2．(向心加速度的理解)(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( ) A ．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B ．向心加速度的方向保持不变
C ．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D ．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 答案 AD
解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选A 、D.
3.(传动装置中的向心加速度)如图9所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E 为大轮半径的中点，C 、D 分别是大轮和小轮边缘上的一点，则
E 、C 、D 三点向心加速度大小关系正确的是( )
图9
A ．a C ＝a D ＝2a E
B ．a
C ＝2a
D ＝2a
E C ．a C ＝aD
2＝2a E
D ．a C ＝aD
2
＝a E
答案 C
解析 同轴转动，C 、E 两点的角速度相等，由a ＝ω2
r ，有aC aE ＝2，即a C ＝2a E ；两轮边缘
点的线速度大小相等，由a ＝v2r ，有aC aD ＝12，即a C ＝1
2
a D ，故选C.
4.(向心力的计算)如图10所示，质量为1 kg 的小球用细绳悬挂于O 点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s ，已知球心到悬点的距离为1 m ，取重力加速度g ＝10 m/s 2
，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
图10
答案 14 N
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg 和绳的拉力T 提供(如图所示)，
即T －mg ＝mv2
r
所以T ＝mg ＋mv2r ＝(1×10＋1×22
1
) N ＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的
拉力大小为14 N.
5．(向心力的计算)A 、B 两球都做匀速圆周运动，A 球质量为B 球的3倍，A 球在半径为25 cm 的圆周上运动，B 球在半径为16 cm 的圆周上运动，A 球转速为30 r/min ，B 球转速为75 r/min ，求A 球所受向心力与B 球所受向心力的比值． 答案 34
解析 因ω＝2πn ，所以ωA ωB ＝nA nB ＝3075＝25，由向心力公式F ＝m ω2
r 得FA FB ＝mA ωA2rA mB ωB2rB ＝
mA mB ·(ωA ωB )2·rA rB ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×2516＝3
4
.
一、选择题 考点一 向心加速度
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( ) A ．由a ＝v2
r 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B ．匀速圆周运动不属于匀速运动
C ．向心加速度越大，物体速率变化越快
D ．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心 答案 B
解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A 错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B 正确；向心加速度不改变速率，C 错；只有做匀速圆周运动的物体的加速度才时刻指向圆心，D 错．
【考点】对向心加速度的理解 【题点】向心加速度的意义
2．如图1所示是A 、B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A 为双曲线的一支，由图可知( )
图1
A ．A 物体运动的线速度大小不变
B ．A 物体运动的角速度大小不变
C ．B 物体运动的角速度大小是变化的
D ．B 物体运动的线速度大小不变 答案 A
解析 根据a ＝v2
r 知，当线速度v 大小为定值时，a 与r 成反比，其图像为双曲线的一支；
根据a ＝r ω2
知，当角速度ω大小为定值时，a 与r 成正比，其图像为过原点的倾斜直线，所以A 正确．
【考点】对向心加速度的理解
【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解
3.如图2所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块( )
图2
A ．加速度为零
B ．加速度恒定
C ．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D ．加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案 D
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A 、B 、C 错误． 【考点】对向心加速度的理解 【题点】向心加速度的方向
4．(多选)如图3所示，一个球绕中心轴线OO ′以角速度ω做匀速圆周运动，θ＝30°，则( )
图3
A ．a 、b 两点的线速度相同
B ．a 、b 两点的角速度相同
C ．a 、b 两点的线速度之比v a ∶v b ＝2∶ 3
D ．a 、b 两点的向心加速度之比a a ∶a b ＝3∶2 答案 BD
解析 球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa ＝ωb ，B 对；因为a 、b 两点做圆周运动的半径不同，r b ＞r a ，根据v ＝ωr 知v b ＞v a ，A 错；θ＝30°，设球半径为R ，则r b ＝R ，r a ＝R cos 30°＝32R ，故va vb ＝ωara ωbrb ＝32
，C 错；又根据a ＝ω2r 知aa ab ＝ωa2ra ωb2rb ＝32
，D 对． 【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的同轴传动问题
5．(多选)如图4所示的靠轮传动装置中右轮半径为2r ，a 为它边缘上的一点，b 为轮上的一点，b 距轴的距离为r .左侧为一轮轴，大轮的半径为4r ，d 为它边缘上的一点，小轮的半径为r ，c 为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则( )
图4
A ．b 点与d 点的线速度大小相等
B ．a 点与c 点的线速度大小相等
C ．c 点与b 点的角速度大小相等
D ．a 点与d 点的向心加速度大小之比为1∶8 答案 BD
解析 c 、d 轮同轴转动，角速度相等，根据v ＝r ω知，d 点的线速度大于c 点的线速度，而a 、c 的线速度大小相等，a 、b 两点的角速度相等，则a 点的线速度大于b 点的线速度，
d 点的线速度大于b 点的线速度，A 错误，B 正确．a 、c 两点的线速度相等，半径之比为
2∶1，根据ω＝v
r
，知a 、c 两点的角速度之比为1∶2，a 、b 两点的角速度相等，所以b 、
c 两点的角速度大小不等，C 错误．a 、c 两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据
a ＝v2r
知a 、c 两点的向心加速度之比为1∶2，c 、d 轮同轴转动，角速度相等，半径之比
为1∶4，根据a ＝ω2
r 知c 、d 两点的向心加速度之比为1∶4，所以a 、d 两点的向心加速度之比为1∶8，D 正确．
【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的综合传动问题
考点二向心力
6.如图5所示，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)．某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
图5
答案 C
解析橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.
【考点】变速圆周运动问题
【题点】变速圆周运动问题
7.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图6所示，则此时( )
图6
A．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小
D．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大
答案 A
解析衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力三个力的作用，其中筒壁的弹力提供其做圆周运动的向心力，A正确，B错误；由于重力与静摩擦力保持平衡，所以摩擦力不随转速的变化而变化，C、D错误．
【考点】对向心力的理解
【题点】对向心力的理解
8.如图7所示，水平圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
图7
A．物块A不受摩擦力作用
B．物块B受5个力作用
C．当转速增大时，A所受摩擦力增大，B所受摩擦力减小
D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
答案 B
解析物块A受到的摩擦力充当向心力，A错误；物块B受到重力、支持力、A对物块B 的压力、A对物块B沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B沿半径指向转轴的静摩擦力，共5个力的作用，B正确，D错误；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大，C错误．【考点】向心力来源的分析
【题点】水平面内匀速圆周运动的向心力来源分析
9.(多选)如图8所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动．若两球质量之比m A∶m B＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是( )
图8
A．A、B两球受到的向心力之比为2∶1
B．A、B两球角速度之比为1∶1
C．A、B两球运动半径之比为1∶2
D ．A 、B 两球向心加速度之比为1∶2 答案 BCD
解析 两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A 错，B 对．设两球的运动半径分别为r A 、r B ，转动角速度为ω，则m A r A ω2
＝m B r B ω2
，所以运动半径之比为r A ∶r B ＝1∶2，C 正确．由牛顿第二定律F ＝ma 可知a A ∶a B ＝1∶2，D 正确．
10．(多选)如图9所示，长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方L
2处有一钉子C ，把悬
线另一端的小球m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
图9
A ．线速度突然增大为原来的2倍
B ．角速度突然增大为原来的2倍
C ．向心加速度突然增大为原来的2倍
D ．悬线拉力突然增大为原来的2倍 答案 BC
解析 当悬线碰到钉子时，由于惯性球的线速度大小是不变的，以后以C 圆心，L
2为半径
做圆周运动．由ω＝v r 知，小球的角速度增大为原来的2倍，A 错，B 对；由a ＝v2
r 可知，
它的向心加速度a 应加倍，C 项正确；由F －mg ＝mv2
r 可知，D 错误．
二、非选择题
11．(向心力公式的应用)如图10所示，有一质量为m 1的小球A 与质量为m 2的物块B 通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O .当小球A 在水平板上绕O 点做半径为r 的匀速圆周运动时，物块B 刚好保持静止．求：(重力加速度为g )
图10
(1)轻绳的拉力大小． (2)小球A 运动的线速度大小． 答案 (1)m 2g (2)
m2gr
m1
解析 (1)物块B 受力平衡，故轻绳拉力T ＝m 2g
(2)小球A 做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力，根据牛顿第二定律
m 2g ＝m 1v2r
解得v ＝
m2gr
m1
. 12．(向心力的计算)如图11所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R ；乙做自由落体运动，当乙下落至A 点时，甲恰好第一次运动到最高点B ，已知甲、乙两物体的质量分别为m 1、m 2.求甲物体做匀速圆周运动的向心力的大小．(重力加速度为g )
图11
答案 98
π2
m 1g
解析 设乙下落到A 点所用时间为t ， 则对乙，满足R ＝12gt 2
，得t ＝
2R g
， 这段时间内甲运动了3
4T ，即
34
T ＝2R g
① 又由于a ＝ω2
R ＝4π2T2R ②
由①②得a ＝98
π2
g .
所以甲所受向心力为F ＝m 1a ＝98π2
m 1g .
【考点】向心力公式的应用
【题点】向心力公式的应用
13.(向心力公式的应用)如图12所示，水平转盘上放有一质量为m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g )
图12
(1)绳子对物体的拉力为零时转盘的最大角速度． (2)当角速度为3μg
2r
时，绳子对物体拉力的大小． 答案 (1)
μg r (2)1
2
μmg 解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0， 则μmg ＝m ω02
r ，得ω0＝μg
r
. (2)当ω＝
3μg
2r
时，ω>ω0，所以绳子的拉力F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F ＋μmg ＝m ω2r
即F ＋μmg ＝m ·3μg 2r ·r ，得F ＝1
2μmg .
【考点】水平面内的圆周运动的动力学分析 【题点】水平面内的圆周运动的动力学分析。