丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习(二)高三数学文科

丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（二）
高三数学（文科） 2019.05
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题（共6
小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9．
3
π
10．3
5 11．4
12．满足12,0a a >,0d <(答案不唯一) 13．( 14．6； 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）
解：（Ⅰ）因为11a =，1e n n a a +=⋅()n *∈N ，
所以数列{}n a 是1为首项，e 为公比的等比数列，
所以1
n n a e -=. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1
ln ln e 1n n a n -==-， ………………5分
所以 (1)
012(1)2
n n n T n -=+++
+-=
， ………………7分 所以
23
111n
T T T +++
2222
122334
(1)
n n =
++++
⨯⨯⨯-
1111111
2[(1)()()()]
223341n n =-+-+-++-- ………………10分 1
2(1)n =-.
………………11分 因为10n >，所以111n -<.所以12(1)2
n -<
即
23
111
2n
T T T +++
< ………………13分
16．（共13分）
解:（Ⅰ）由已知)(x f 图象得 2.A =
3342
T π
=，则 2T =π. 因为
22T ω
π==π，0ω> 所以1ω=. …………2分 因为02
ϕπ<<， 所以3
ϕπ
=
. …………4分 所以()2sin(+)3f x x π
=． …………6分
（Ⅱ）由题可得：()2cos2g x x =． …………8分
故()2sin 2y g x x =+
2cos22sin2x x =+
+)4x π
=． …………10分
因为3+22+2242k x k πππ
π+π≤≤， …………11分
所以
5++88
k x k ππ
ππ≤≤. 所以()g x 的单调递减区间为5+,+,88k k k ππ⎡⎤
ππ∈⎢⎥⎣⎦
Z . …………13分
17．（共13分） 解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
10.0350.85-⨯=. ………………4分
（Ⅱ）高一年级成绩为[95,100]的有0.025404⨯⨯=名，记为1A ，2A ，3A ，4A ，
高二年级成绩为[95,100]的有2名，记为1B ，2B . ………………6分 选取2名学生的所有可能为：
12A A ，13A A ，14A A ，11A B ，12A B ，23A A ，24A A ，21A B ，22A B ，34A A ，31A B ，32A B ，41A B ，42A B ，12B B ，共15种；
其中2名学生来自于同一年级的有12A A ，13A A ，14A A ，23A A ，24A A ，34A A ，12B B ，共7种； ………………8分 设2名学生来自于同一年级为事件A ， 所7
()15
P A =
. ………………10分
（Ⅲ）12X X <． ………………13分
18．（共14分）
解：（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3
ADC π
∠=
，O 为线段CD 的中点， 所以'OD AO ⊥． ………………1分
因为平面⊥'AOD 平面ABCO ， 平面 'AOD 平面AO ABCO =，
'OD ⊂平面'AOD ，
所以'OD ⊥平面ABCO ． ………………4分 因为BC ⊂平面ABCO ，
所以'OD BC ⊥． ………………5分
（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP ，PM ；
因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，
所以AB PM //，AB PM 2
1
=
． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，DC AB //，
所以122
a
OC CD ==．
所以AB OC //，AB OC 2
1=． ………………6分 所以OC PM //，OC PM =．
所以四边形OCMP 为平行四边形， ………………7分 所以OP CM //，
因为⊄CM 平面'AOD ，⊂OP 平面'AOD ，
所以//CM 平面'AOD ； ………………10分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．
所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高． ………………11分
因为1'3V S OD =⨯⨯==底，
所以2a =． ………………14分
解：（Ⅰ）由题知22224,
1,2.
a c a a
b
c =⎧⎪⎪
=⎨⎪⎪=+⎩
解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………3分 所以求椭圆E 的方程为22
143x y +=．
…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,0A -,()2,0B
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =．
由2
21 1.43x x y
=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得1,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得1213,22k k =
=或1213,22k k =-=-；均有121
3
k k =． 猜测存在1
3λ=．
…………………6分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ．
由()2211.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()
2222
4384120k x k x k +-+-=．
则21222
1228,43412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
…………………8分
故1212121
323(2)y y k k x x -=-+-
…………………9分
2112
123(2)(2)3(2)(2)
x y x y x x --+=
+-
()1212122583(2)(2)
k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦
=
+- 2222128(3)40843433(2)(2)
k k k k k x x ⎡⎤--+⎢⎥++⎣
⎦=+- 0.= …………………13分
所以存在常数13λ=使得121
3
k k =恒成立 …………………14分
解：（Ⅰ）当3a =时， 32()3f x x x =-，
2'()363(2)f x x x x x =-=-． …………………2分
当[0,2]x ∈时，'()0f x ≤，
所以()f x 在区间[0,2]上单调递减． …………………4分 所以()f x 在区间[0,2]上的最小值为(2)4f =-． …………………5分
（Ⅱ）设过点(1,(1))P f 的曲线()y f x =的切线切点为00(,)x y ，
2'()32f x x ax =-，(1)1f a =-， 所以320002
000,(1)(32)(1).y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩ 所以320002(3)210x a x ax a -+++-=．
令32()2(3)21g x x a x ax a =-+++-， 则2()62(3)2g x x a x a '=-++
(1)(62)x x a =--，
令()0g x '=得1x =或3
a x =， 因为3a >，所以
1
a
>． ()g x 的极小值为()(1)03a
g g <=，
所以()g x 在(,)3a
-∞上有且只有一个零点1x =．
因为3222
()2(3)21(1)(1)0g a a a a a a a a =-+++-=-+>，
所以()g x 在(,)3
a
+∞上有且只有一个零点．
所以()g x 在R 上有且只有两个零点．
即方程320002(3)210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，
所以过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． …………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。