七中育才学校20142015年八年级下期末数学模拟试卷含解析.docx

七中育才学校 2014-2015 年八年级下期末数学
模拟试卷含解析
一、选择题
1．不等式2x+5＞0的解集是（）
A．x＜B．x＞C． x＞﹣ D ．x＜﹣
2．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（）
A．x2+1 B．x2+2x+4 C．x2﹣2x+1 D．x2+x+1
3．若分式的值为 0，则（）
A．x=±1B．x=1C．x=﹣1 D ．x=0
4．要使分式有意义，则 x 应满足的条件是（）
A．x≠﹣ 1B．x≠0C．x≠1 D ．x＞1
5．运算：的结果是（）
A．a B． b C．﹣ b D．1
6．如图，已知直线 y1=ax+b 与 y2=mx+n 相交于点 A（2，﹣1），若 y 1＞ y2，则 x 的取值范畴是（）
A．x＜2 B．x＞2 7．如图，在△ ABC C． x＜﹣ 1
中， D、E
D ．x＞﹣ 1
分不是 BC、AC边的中点．若DE=3，
则AB的长度是（）
A．9 B． 5C．6D．4
8．下列一元二次方程中，无实根的是（）
A．x2﹣4x+4=0 B．（x﹣2）2=1C． x2=﹣x D．x2﹣2x+2=0
9．解关于x 的方程产生增根，则常数m 的值等于（）A．﹣ 1B．﹣ 2C． 1D．2
10．如图，在△ ABC 中，∠ CAB=75 °，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△ AB ′C′位置，且 CC′∥ AB ，则∠ CAB 的度数是（）
A．30° B．45°C． 40°D．50°
二、填空题：
11．已知关于 x 的方程 2x+a=x﹣7 的解为正数，则实数 a 的取值范畴是．
12．若 x﹣2y=3，则 2x﹣4y﹣7=．
13．函数的自变量x的取值范畴是．
14．已知 x2﹣（ m﹣2）x+49 是完全平方式，则m=
．15．关于 x 的不等式组无解，那么m的取值范畴是
．
三、解答题：
16．运算题：
（1）解不等式 3（x﹣1）＜ 5x+2，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并在数轴上表示解集；
（3）解方程：；
（4）解方程： 3x2﹣6x﹣2=0．
17．已知 a 是一元二次方程x2+3x﹣2=0 的实数根，求代数式
的值．
18．如图，在△ ABC 中，∠ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P，过点 P 分不作 PN⊥AB 于 N，PM⊥ AC 于点 M ，求证： BN=C
M．
19．在 2013 年春运期间，我国南方发生大范畴冻雨灾难，导致某地电
路显现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15 千米，抢修车装载着所需材料先从供电局动身，15 分钟后，电工乘吉普车从同一
地点动身，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的 1. 5倍，求这两种车每小时分不行驶多少千米．
20．如图，在△ ABC 中，∠ ABC=45 °， CD⊥AB ，BE⊥AC ，垂足分不为 D，E，F 为 BC 中点， BE 与 DF，DC 分不交于点 G，H，∠ABE= ∠C BE．
（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请讲明理由；
（2）求证： BG2﹣GE2=EA2．
一、填空题：
21．已知关于x 的方程的解是正数，则m 的取值范畴是．
22．已知23．已知a2﹣3a+1=0，则
（a1=x，an+1=1﹣
a2﹣
（n
）（a﹣）=为
正整数），则a2013=
．
．
24．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ ABC=90 °， AD ∥BC，AD=6 ，AB=8 ，BC=9，点 P 是 AB 上一个动点，当 PC+PD 的和最小时， PB 的长为．
25．已知 a 是 x2﹣2005x+1=0 的一个不为 0 的根，则 a2﹣2004a+=．
二、解答题：（共 30 分）
26．如图所示，已知 E 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，点 E 从 B 点向 D 点运动（与 B、D 不重合），过点 E 作直线 GH 平行
于BC，交 AB 于点 G，交 CD 于点 H，EF⊥ AE 于点 E，交 CD（或 CD 的
延长线）于点 F．
（1）如图（ 1），求证：△ AGE≌△ EHF；
（2）点 E 在运动的过程中（图（ 1）、图（ 2）），四边形 AFHG 的面
积是否发生变化？请讲明理由．
27．某私营服装厂按照2011 年市场分析，决定2012 年调整服装制作
方案，预备每周（按120 工时运算）制作西服、休闲服、衬衣共360 件，且衬衣至少 60 件．已知每件服装的收入和所需工时如下表：
服装名称西服休闲服衬衣
工时 /件
收入（百元） /件321
设每周制作西服x 件，休闲服 y 件，衬衣 z 件．
（1）请你分不从件数和工时数两个方面用含有x，y 的代数式表示衬
衣的件数 z．
（2）求 y 与 x 之间的函数关系式．
（3）咨询每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入
最高？最高总收入是多少？
28．如图，直线 l 的解析式为 y=﹣x+4，它与 x 轴、y 轴分不相交于 A、 B 两点，平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 动身，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、y 轴分不相交于 M 、N 两点，运动时刻
为t 秒（ 0＜t≤4）
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）用含 t 的代数式表示△ MON 的面积 S1；
（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记△ MPN 和△ OAB 重合部分的
面积为 S2；
①当 2＜t≤ 4 时，试探究 S2 与之间的函数关系；
②在直线 m 的运动过程中，当 t 为何值时， S2 为△ OAB 的面积的？
三.【补充题】
29．在直角梯形 OABC 中， CB∥OA，∠ COA=90°， CB=3，OA=6，BA= ．分不以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点 B 的坐标；
（2）已知 D、E 分不为线段 OC、OB 上的点， OD=5，OE=2EB，直线DE 交 x 轴于点 F，求直线 DE 的解析式；
（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、D、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，要求出点 N 的坐标；若不存在，请讲明理由．
2014-2015 学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期末数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．不等式 2x+5＞0 A．x＜B．x＞的解集是
（C． x＞﹣
）
D ．x＜﹣
【考点】解一元一次不等式．
【分析】先移项，再不等式的两边都除以 2 即可．
【解答】解： 2x+5＞0，
2x＞﹣ 5，
x＞﹣，
故选 C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能按照不等式的性质求出不等式的解集．
2．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是
（A．x2+1 B．x2+2x+4 C．x2﹣2x+1 D．x2+x+1
）
【考点】因式分解
【专题】运算题．
-运用公式法．
【分析】利用完全平方公式的结构特点判定即可得到结果．
【解答】解： x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
故选 C．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练把握完全平方公式是解本题的关键．
3．若分式A．x=±1
的值为
B．x=1
0，则（）
C．x=﹣1 D ．x=0
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式值为零的条件是分式的分子等于0，分母不等于0．【解答】解：∵分式的值为 0，
∴|x|﹣1=0，x+1≠ 0．
∴x=±1，且 x≠﹣1．
∴x=1．
故选： B．
【点评】本题要紧考查的是分式值为零的条件，明确分式值为零时，分式的分子等于 0，分母不等于 0 是解题的关键．
4．要使分式A．x≠﹣ 1
有意义，则 x 应满足的条件是
（B．x≠0 C．x≠1 D ．x＞1
）
【考点】分式有意义的条件．
【分析】按照分式有意义，分母不等于0 列式运算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得 x≠﹣ 1．
故选 A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻明白得分式的概念：
（1）分式无意义 ? 分母为零；
（2）分式有意义 ? 分母不为零；
（3）分式值为零 ? 分子为零且分母不为零．
5．运算：的结果是（）
A．a B． b C．﹣ b D．1
【考点】约分．
【分析】将分式分子先去括号，再约分，即可求解．
【解答】解：==b．
故选 B．
【点评】本题要紧考查了分式的约分，按运算顺序，先做积的乘方，
再约分是解答此题的关键．
6．如图，已知直线y1=ax+b 与 y2=mx+n 相交于点 A（2，﹣1），若 y
1＞ y2，则 x 的取值范畴是（）
A．x＜2 B．x＞2 C． x＜﹣ 1 D ．x＞﹣ 1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】数形结合．
【分析】观看函数图象得到当 x＞2 时，直线 y1=ax+b 都在直线 y2=mx
+n 的上方，即有 y1＞y2．
【解答】解：按照题意当x＞2 时，若 y1＞y2．
故选 B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，
确实是寻求使一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范畴；从函数图象的角度看，确实是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．如图，在△ ABC 中， D、E 分不是 BC、AC 边的中点．若 DE=3，
则 AB 的长度是（）
A．9 B． 5 C．6 D．4
【考点】三角形中位线定理．
【分析】按照三角形的中位线定理得出 AB=2DE ，把 DE 的值代入即
可．【解答】解：∵ D、E 分不是 BC、AC 边的中点，
∴D E 是△ CAB 的中位线，
∴A B=2DE=6 ．
故选 C．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的
一半，熟记定理是解题的关键．
8．下列一元二次方程中，无实根的是（）
A．x2﹣4x+4=0 B．（x﹣2）2=1C． x2=﹣x D．x2﹣2x+2=0
【考点】根的判不式．
【专题】运算题．
【分析】按照一元二次方程的根的判不式△=b2﹣4ac＜0 作出选择．【解答】解： A 、∵△ =16﹣16=0，∴本方程有两个相等的实数根；故本选项错误；
B、由原方程，得到x2﹣4x+3=0，∵△ =16﹣12=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；故本选项错误；
C、由原方程，得到 x2+x=0，∵△ =1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；故本选项错误；
D、∵△ =4﹣8=﹣4＜0，∴本方程无实数根；故本选项正确．
故选 D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判不式．解题的关键是了解
根的判不式如何决定一元二次方程根的情形．
9．解关于 x 的方程A．﹣ 1B．﹣ 2C． 1
产生增根，则常数
D．2
m 的值等于（）
【考点】分式方程的增根．
【专题】运算题．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是 x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字
母的值．
【解答】解；方程两边都乘（x﹣1），得
x﹣3=m，
∵方程有增根，
∴最简公分母 x﹣1=0，即增根是 x=1，
把x=1 代入整式方程，得 m=﹣
2．故选： B．
【点评】增根咨询题可按如下步骤进行：①确定
增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根
代入整式方程即可求得有关字母的值．
10．如图，在△ ABC 中，∠ CAB=75 °，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△ AB ′C′位置，且 CC′∥ AB ，则∠ CAB 的度数是（）
A．30° B．45°C． 40°D．50°
【考点】旋转的性质．
【专题】运算题．
【分析】先按照平行线的性质得∠ C′CA= ∠CAB=75 °，再按照旋转的性质得 AC=AC ′，∠C′AB ′=∠CAB=75 °，接着按照等腰三角形的性质有∠ CC′A= ∠C′CA=75 °，因此按照三角形内角和可运算出∠ CAC′ = 30°，然后利用∠ CAB ′=∠C′AB ′﹣∠ C′AC 进行运算即可．【解答】解：∵ CC′∥ AB ，
∴∠ C′CA= ∠CAB=75 °，
∵△ ABC 绕点 A 旋转得到△ AB ′C′，
∴A C=AC ′，∠ C′AB ′=∠CAB=75 °，
∴∠ CC′A= ∠C′CA=75°，
∴∠ CAC′=180°﹣ 75°﹣ 75° =30°，
∴∠ CAB ′=∠C′AB ′﹣∠ C′AC=75 °﹣ 30°=45°．
故选 B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对
应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、填空题：
11．已知关于 x 的方程 2x+a=x﹣7 的解为正数，则实数 a 的取值范畴是a＜﹣ 7 ．
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】先求出方程的解，按照方程的解得出关于 a 的不等式，求出即可．
【解答】解： 2x+a=x﹣7，
2x﹣x=﹣a﹣7，
x=﹣a﹣7，
∵方程的解是正数，
∴﹣ a﹣7＞0，
a＜﹣ 7，
故答案为： a＜﹣ 7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，一元一次
方程的解的应用，解此题的关键是能得出关于 a 的不等式．
12．若 x﹣2y=3，则 2x﹣4y﹣7=﹣1．
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想．
【分析】把（ x﹣2y）看作一个整体并把所求代数式整理成已知条件的形式，然后代入进行运算即可得解．
【解答】解：∵ x﹣2y=3，
∴2x﹣4y﹣7 =2
（x﹣2y）﹣ 7
=2×3﹣7
=6﹣7
=﹣1．
故答案为：﹣ 1．
【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
13．函数的自变量x的取值范畴是x＞2．
【考点】函数自变量的取值范畴．
【分析】按照被开方数大于等于0，分母不等于 0 列式运算即可得解．【解答】解：按照题意得，x﹣2＞0，
解得 x＞2．
故答案为： x＞2．
【点评】本题考查了函数自变量的范畴，一样从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．已知 x2﹣（ m﹣2）x+49 是完全平方式，则m= 16 或﹣ 12．【考点】完全平方式．
【分析】先按照两平方项确定出这两个数，再按照完全平方公式的乘
积二倍项即可确定 m 的值．
【解答】解：∵ x2﹣（ m﹣2）x+49=x2﹣（ m﹣2）x+72，
∴﹣（ m﹣2）x=±2x? 7，
解得 m=16 或 m=﹣12．
故答案为： 16 或﹣ 12．
【点评】本题要紧考查了完全平方式，按照平方项确定出这两个数是
解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题专门重要．
15．关于 x 的不等式组无解，那么m的取值范畴是m＜﹣ 4．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，按照已知得出关于m 的不等式，求出即可．
【解答】解：∵解不等式x﹣1≤m 得： x≤m+1，
，
解不等式 3x+1≥2m 得： x≥
又∵不等式组无解，∴m+1
＜，
解得： m＜﹣ 4，
故答案为： m＜﹣ 4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，
解此题的关键是能按照题意得出关于 m 的不等式．
三、解答题：
16．运算题：
（1）解不等式 3（x﹣1）＜ 5x+2，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并在数轴上表示解集；
（3）解方程：；
（4）解方程： 3x2﹣6x﹣2=0．
【考点】解一元一次不等式组；解一元二次方程 -公式法；解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化成 1 即可求解；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可；
（3）去分母化成整式方程，解整式方程求得 x 的值，然后进行检验即可；
（4）利用分解因式法即可求解．
【解答】解：（1）去括号，得 3x﹣3＜5x+2，
移项，得 3x﹣5x＜2+3，合并同类项，得﹣ 2x
＜5，
系数化为 1 得 x＞﹣，
；
（2），
解①得：x≤2，
解②得： x＞﹣ 1．
，
则不等式组的解集是﹣1＜x≤2；
（3）去分母，得 x（x+1）﹣ 3（x﹣1）=（x+1）（x﹣1），
即x2+x﹣3x+3=x2﹣1，
移项、合并同类项，得﹣ 2x=﹣4，
系数化为 1 得 x=2．
当x=2 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
则 x=2 是方程的解；
（4）原式即（ 3x+1）（x﹣2）=0，
则3x+1=0 或x﹣2=0，
解得： x1=﹣，x2=2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判定．要注意 x 是否取得到，若取得到则 x 在该点是实心的．反之x 在该点是空心的．
17．已知 a 是一元二次方程x2+3x﹣2=0 的实数根，求代数式
的值．
【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．
【专题】运算题；整体思想．
【分析】先把括号内通分，再把各分式的分子、分母因式分解得到原
式=?，约分得到原式=方程的解的定义得到a2+3a﹣2=0，然后变形得到再利用整体代入进行运算即可．
【解答】解：原式 =÷
；按照一元二次a2+3a=2，
=?
=
=，
∵a 是一元二次方程x2+3x﹣2=0 的实数根，
∴a2+3a﹣2=0，
∴a2+3a=2，
∴原式 == ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母分解
因式，若有括号，先把括号内通分，然后约分，得到最简分式或整式，再
把满足条件的字母的值代入运算得到对应的分式的值．也考查了一元二次
方程的解的定义以及整体思想的运用．
18．如图，在△ ABC 中，∠ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P，过点 P 分不作 PN⊥AB 于 N，PM⊥ AC 于点 M ，求证： BN=C M．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分
线的性质．
【专题】证明题．
【分析】连接PB，PC，按照角平分线性质求出PM=PN，按照线段垂直平分线求出 PB=PC，按照 HL 证 Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．【解答】证明：连接PB，PC，
∵A P 是∠ BAC 的平分线， PN⊥ AB ，PM ⊥AC，
∴PM=PN，∠ PMC=∠PNB=90°，
∵P在 BC 的垂直平分线上，
∴P C=PB，
在Rt△PMC 和 Rt△PNB 中
，
∴R t△PMC≌Rt△PNB（HL ），
∴B N=CM ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，
角平分线性质等知识点，要紧考查学生运用定理进行推理的能力．
19．在 2013 年春运期间，我国南方发生大范畴冻雨灾难，导致某地电
路显现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地 15 千米，抢修车装载着所需材料先从供电局动身， 15 分钟后，电工乘吉普车从同一地点动身，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的 1.
5倍，求这两种车每小时分不行驶多少千
米．【考点】分式方程的应用．
【分析】按照抢修车装载着所需材料先从供电局动身， 15 分钟后，电
工乘吉普车从同一地点动身，结果他们同时到达抢修工地，得出等式求出
即可．
【解答】解：设抢修车每小时行驶 x 千米，则吉普车每小时行驶 1.5x 千米，
，
解得： x=20，
经检验， x=20 是原方程的解，同时符合题意，
∴1.5x=30，
答：抢修车每小时行驶 20 千米，吉普车每小时行驶 30 千米．【点
评】此题要紧考查了分式方程的应用，难度中等，做此类题要紧
是要抓住关键条件列出方程解答即可．
20．如图，在△ ABC 中，∠ ABC=45 °， CD⊥AB ，BE⊥AC ，垂足分不为 D，E，F 为 BC 中点， BE 与 DF，DC 分不交于点 G，H，∠ABE= ∠C BE．
（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请讲明理由；
（2）求证： BG2﹣GE2=EA2．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定
理．
【专题】证明题；几何综合题．
【分析】（1）按照三角形的内角和定理求出∠BCD= ∠ABC ，∠ ABE=∠D CA ，推出 DB=CD ，按照 ASA 证出△ DBH ≌△ DCA 即可；
（2）按照 DB=DC 和 F 为 BC 中点，得出 DF 垂直平分 BC，推出 BG =CG，按照 BE⊥ AC 和∠ ABE= ∠CBE 得出 AE=CE ，在 Rt△CGE 中，由勾股定理即可推出答案．
【解答】（1）BH=AC ，理由如下：
∵C D⊥AB ，BE⊥AC，
∴∠ BDH= ∠BEC=∠CDA=90 °，
∵∠ ABC=45 °，
∴∠ BCD=180°﹣ 90°﹣ 45°=45°=∠ABC
∴D B=DC ，
∵∠ BDH= ∠BEC=∠CDA=90 °，
∴∠ A+ ∠ACD=90°，∠ A+ ∠HBD=90°，
∴∠ HBD= ∠ACD ，
∵在△ DBH 和△ DCA 中
，
∴△ DBH ≌△ DCA （ASA ），
∴B H=AC ．
（2）连接 CG，
由（1）知，DB=CD ，
∵F 为 BC 的中点，
∴DF 垂直平分 BC，
∴BG=CG，
∵∠ ABE= ∠CBE，BE⊥ AC，
∴E C=EA ，
在Rt△CGE 中，由勾股定理得： CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE ，BG=CG，
∴BG2﹣GE2=EA2．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，要紧考查学生运用定理进行推理的能力．
6 且一、填空题：
21．已知关于
m≠﹣ 4．
x 的方程的解是正数，则m 的取值范畴是m＞﹣
【考点】分式方程的解．
【分析】第一求出关于x 的方程的解，然后按照解是正数，再解
不等式求出 m 的取值范畴．
【解答】解：解关于x 的方程得x=m+6，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0 且 m+6≠2，
解那个不等式得 m＞﹣ 6 且 m≠﹣
4．故答案为： m＞﹣ 6 且 m≠﹣ 4．
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于 x 的方程是关键，解关于x 的不等式是本题的一个难点．
22．已知 a2﹣3a+1=0，则（ a2﹣）（a﹣）=15．
【考点】分式的混合运算．
【专题】运算题．
【分析】已知等式两边除以 a 变形后求出 a+ =3，两边平方求出 a2+的值，原式第一个因式利用平方差公式化简，变形后将各自的值代入运算
即可求出值．
【解答】解：∵ a2﹣3a+1=0，
∴a+ =3，
两平方得：（a+ ）2=a2+ +2=9，即 a2+ =7，
原式 =（a+ ）（a）2=3（a2+2）=15．
故答案： 15．
【点】此考了分式的混合运算，熟把握运算法是解本的
关．
23．已知 a1=x，an+1=1（n正整数），a2013=．
【考点】律型：数字的化．
【分析】利用数列推式，确定数列an，一步找出律，利用律，
即可求出 a2013 的．
【解答】解：∵ a1=x，
a2=1=，
a3=1=，
a4=1（ x+1）=x，
⋯
∴数列 {an} 是周期 3 的数列，
∵2013÷3=671
∴a2013=a3=．
故答案：．
【点】此考数字的排列律，找出数字之的系，律，解决咨．
24．如，在直角梯形 ABCD 中，∠ ABC=90 °， AD ∥BC，AD=6 ， AB=8 ，BC=9，点 P 是 AB 上一个点，当 PC+PD 的和最小， PB 的
．
【考点】称 -最短路咨；直角梯形．
【分析】先确定点 P 的位置，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连接 DE 交 A B 于 P．则 DE 确实是 PC+PD 的和的最小值．再利用△ ADP∽△ BEP，求
出PB 即
可．【解
答】
解：如图，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连接 DE 交 AB 于 P．则 DE 确实是 PC+PD 的和的最小值．
∵A D ∥BE，
∴∠ A= ∠PBE，∠ ADP= ∠E，
∴△ ADP∽△ BEP，
∴A P：BP=AD ：BE=6：9=2：3，
∴A P= BP，
又∵ PA+PB=AB=8 ，
∴P B= ．
故答案为：．
【点评】本题考查直角梯形，相似三角形的判定及性质和轴对称等知
识的综合应用．解题的关键是正确的找出点P 的位置．
25．已知 a 是 x2﹣2005x+1=0 的一个不为 0 的根，则 a2﹣2004a+= 2004．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把 x=a 代入方程，可得a2﹣2005a+1=0，进而可得 a2﹣200 4a=a﹣1，a2+1=2005a，然后把 a2﹣2004a 与 a2+1 的值整体代入所求代数式求值即可．
【解答】解：∵把x=a 代入方程，可得
a2﹣2005a+1=0，
∴a2﹣2004a=a﹣1，a2+1=2005a，
∴a2﹣2004a+=a﹣1+=a﹣1+ ===2004．
故答案为： 2004．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是注意解与方程
的关系，以及整体代入．
二、解答题：（共 30 分）
26．如图所示，已知 E 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，点 E 从 B 点向 D 点运动（与 B、D 不重合），过点 E 作直线 GH 平行
于BC，交 AB 于点 G，交 CD 于点 H，EF⊥ AE 于点 E，交 CD（或 CD 的
延长线）于点 F．
（1）如图（ 1），求证：△ AGE≌△ EHF；
（2）点 E 在运动的过程中（图（ 1）、图（ 2）），四边形 AFHG 的面
积是否发生变化？请讲明理由．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何动点咨询题；证明题．
【分析】（1）按照四边形 ABCD 是正方形， BD 是对角线，且 GH∥B C，求证△ GEB 和△ HDE 差不多上等腰直角三角形．又利用 EF⊥AE ，可得∠ EFH=∠ AEG，然后即可求证△ AGE≌△ EHF．
（2）分两种情形进行讨论：（i ）当点 E 运动到 BD 的中点时，利用四
边形 AFHG 是矩形，可得 S 四边形 AFHG=
（i i ）当点 E 不在 BD 的中点时，点 E 在运动（与点 B、D 不重合）的过程中，四边形AFHG 是直角梯形．由（1）知，△AGE≌△EHF，同理，图（ 2），△ AGE≌△ EHF 可得， S 四边形 AFHG= （FH+AG ）? GH= ，然后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， BD 是对角线，且 GH∥BC，
∴四边形 AGHD 和四边形 GHCB 差不多上矩形，
△GEB 和△ HDE 差不多上等腰直角三角形．∴∠
AGE= ∠EHF=90°， GH=BC=AB ，EG=BG
∴G H﹣EG=AB ﹣BG
即EH=AG
∴∠ EFH+∠ FEH=90°
又∵ EF⊥ AE，
∴∠ AEG+ ∠FEH=90°．
∴∠ EFH=∠ AEG
∴△ AGE≌△ EHF
（2）四边形 AFHG 的面积没有发生变化．
（i）当点 E 运动到 BD 的中点时，
四边形 AFHG 是矩形， S 四边形 AFHG=
（i i ）当点 E 不在 BD 的中点时，点 E 在运动（与点 B、D 不重合）的过程中，四边形 AFHG 是直角梯形．
由（ 1）知，△ AGE≌△ EHF
同理，图（ 2），△ AGE≌△ EHF
∴F H=EG=BG ．
∴F H+AG=BG+AG=AB=1
这时， S 四边形 AFHG= （FH+AG ）? GH=
综合（ i）、（ii ）可知四边形 AFHG 的面积没有发生改变，差不多
上．【点评】此题要紧考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点的明白得和把握，此题有一定的拔高难度，属于难题．
27．某私营服装厂按照2011 年市场分析，决定2012 年调整服装制作方案，预备每周（按120 工时运算）制作西服、休闲服、衬衣共360 件，且衬衣至少 60 件．已知每件服装的收入和所需工时如下表：
服装名称西服休闲服衬衣
工时 /件
收入（百元） /件321
设每周制作西服x 件，休闲服 y 件，衬衣 z 件．
（1）请你分不从件数和工时数两个方面用含有x，y 的代数式表示衬
衣的件数 z．
（2）求 y 与 x 之间的函数关系式．
（3）咨询每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入
最高？最高总收入是多少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应
用．【专题】压轴题．
【分析】（1）按照制作西服、休闲服、衬衣共 360 件，即可列出第一个式子，按照制作西服每件工时，休闲服每件需工时，衬衣每件需工时，即可列出第二个式子；
（2）按照题意得出方程组 x+y+z=360 和 x+ y+ z=120，用消元法把 z
消去，即可得出y 与 x 的函数关系式；
（3）按照制作一件西服收入3 百元，制作一件休闲服收入2 百元，制作一件衬衣收入 1 百元，得出 a=3x+2y+1×z，把 y=360﹣3x 代入求出即可．【解答】（1）解：含有 x，y 的代数式表示衬衣的件数z 为：① z=360﹣x﹣ y，② z=（120﹣ x﹣ y）÷ ，即 z=480﹣2x﹣ y；
（2）解：按照题意得：
，
∵①× 3 得： 3x+3y+3z=1080③，
②× 12 得： 6x+4y+3z=1440④，
④﹣③得： 3x+y=360
即 y=360﹣3x，
∴y 与 x 之间的函数关系式是y=360﹣3x；
（3）解：设总收入是 a 百元，
则a=3x+2y+1× z=3x+2（360﹣3x）+1×（ 120﹣ x﹣ y）÷ ，
把 y=360﹣3x 代入后整理得：
a=720﹣x，
∵k=﹣1＜0，a 随 x 的增大而减少，
∴当 x 取最小值时， a 的值最大，
由题意得：，
解得： 120≥x≥30，
即 x 的最小值时 30，
当x=30 时， y=360﹣3x=270，z=360﹣30﹣270=60，
最高总收入是： a=720﹣30=690，
答：每周制作西服、休闲服、衬衣分不制 30 件、 270 件、60 件时，才能使总收入最高，最高总收入是 690 百元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解此题的关键是能把语言转化
成数学式子来表达，题目比较好，但有一定的难度．
28．如图，直线 l 的解析式为 y=﹣x+4，它与 x 轴、y 轴分不相交于 A、 B 两点，平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 动身，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、y 轴分不相交于 M 、N 两点，运动时刻
为t 秒（ 0＜t≤4）
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）用含 t 的代数式表示△ MON 的面积 S1；
（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记△ MPN 和△ OAB 重合部分的
面积为 S2；
①当 2＜t≤ 4 时，试探究 S2 与之间的函数关系；
②在直线 m 的运动过程中，当 t 为何值时， S2 为△ OAB 的面积的？
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）在解析式 y=﹣x+4 中，分不令 y=0，x=0 就能够求出与 x，y轴的交点坐标；
（2）按照 MN ∥ AB ，得到△ OMB ∽△ OAB ，按照相似三角形的对
应边的比相等，就能够求出，用 OM 表示出来；
（3）按照 t 的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分
2＜t≤4 和当 0＜t≤2 两种个情形进行讨论．
【解答】解：（1）当 x=0 时， y=4；当 y=0 时， x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵ MN ∥AB ，，
∴O M=ON=t ，
∴S1= OM? ON= t2；
（3）①当 2＜t≤4 时，易知点 P 在△ OAB 的不处，则点 P 的坐标为（t，t）．
理由：当 t=2 时， OM=2 ，ON=2，OP=MN==2 ，
直角三角形 AOB 中，设 AB 边上的高为 h，
易得 AB=4，则×4h=4×4×，
解得 h=2，
故 t=2 时，点 P 在 l 上，
2＜t≤4 时，点 P 在△ OAB 的不处．
F 点的坐标满足，即 F（t，4﹣t），
同理 E（4﹣ t，t），则 PF=PE=|t﹣（ 4﹣t）|=2t﹣4，
因此 S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN ﹣S△PEF，
= t2﹣ PE? PF= t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4） =﹣ t2+8t﹣8；
②当 0＜t≤ 2 时， S2= t2，t2=，
解得 t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；
当2＜t≤4 时， S2=﹣ t2+8t﹣8= ，
解得 t3=3，t4= ，
综上得，当 t= 或 t=3 时， S2 为△ OAB 的面积的．
【点评】本题要紧考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用
三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．
三.【补充题】
29．在直角梯形 OABC 中， CB∥OA，∠ COA=90°， CB=3，OA=6，BA=．分不以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点 B 的坐标；
（2）已知 D、E 分不为线段 OC、OB 上的点， OD=5，OE=2EB，直线
（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、D、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，要求出点 N 的坐标；若不存在，请讲明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；
勾股定理；菱形的判定；直角梯形．
【专题】综合题；压轴题；存在型；分类讨论．
【分析】（1）过 B 作 BH⊥x 轴于 H，则 OH=BC=3，进而可求得 AH 的长，在 Rt△ABH 中，按照勾股定理即可求出 BH 的长，由此可得 B 点坐标；
（2）过 E 作 EG⊥x 轴于 G，易得△ OGE∽△ OHB，按照相似三角形的对应边成比例可求出 EG、OG 的长，即可得到 E 点的坐标，进而可用待定系数法求出直线 DE 的解析式；
（3）此题应分情形讨论：
①以 OD、ON 为边的菱形 ODMN ，按照直线 DE 的解析式可求出 F 点的坐标，即可得到 OF 的长；过 M 作 MP ⊥y 轴于 P，通过构建的相似三角形可求出 M 点的坐标，将 M 点向下平移 OD 个单位即可得到 N 点的坐标；
②以 OD、OM 为边的菱形 ODNM ，现在 MN ∥y 轴，延长 NM 交 x 轴于P，可按照直线 DE 的解析式用未知数设出 M 点的坐标，进而可在 Rt△ OMP 中，由勾股定理求出 M 点的坐标，将 M 点向上平移 OD 个单位即可得到 N 点的坐标；
③以 OD 为对角线的菱形 OMCN ，按照菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得 M 、N 的纵坐标，将 M 点纵坐标代入直线 DE 的解析式中即可求出M 点坐标，而 M 、N 关于 y 轴对称，由此可得到 N 点的坐标．
【解答】解：（1）作 BH ⊥x 轴于点 H，则四边形 OHBC 为矩形，∴OH=CB=3 ，
∴AH=OA ﹣ OH=6﹣3=3，
在 Rt△ABH 中， BH===6，
∴点 B 的坐标为（ 3，6）；
（2）作 EG⊥x 轴于点 G，则 EG∥BH，
∴△ OEG∽△ OBH，
∴，
又∵ OE=2EB，
∴，
∴ =，
∴O G=2，EG=4，
∴点 E 的坐标为（ 2，4），
又∵点 D 的坐标为（ 0，5），
设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，
则，
解得 k=﹣，b=5，
∴直线 DE 的解析式为： y=﹣ x+5；
⊥y （3）答：存在；
①如图 1，当 OD=DM=MN=NO=5时，四边形
轴于点 P，则 MP∥x 轴，∴△ MPD ∽△ FOD
∴，
又∵当 y=0 时，﹣x+5=0，
解得 x=10，
ODMN为菱形．作MP。