江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期中考试数学理

江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷
数学（理工类）试卷 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin15cos15︒+︒的值为（ ）
A B ．C D ． 2.已知向量(2,3)a =，(,1)b x =，若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
3.已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =（ ）
A B C ．5
D ．25
4.已知cos()6
3
π
α+
=
，则sin(2)6πα-的值为（ ）
A ．
3 B ．
13
C ．13
-
D ．3
-
5.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两分之和，则最小的1份为（ ）
A ．
56
B ．
103
C ．
53
D ．
116
6.等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.已知函数3
2
()f x x ax bx =-++（a ，b R ∈）的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且
x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为
1
12
，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2-
8.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且1
(1)()
f x f x +=
，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记0.5(log 2)a f =，2(log 4)b f =，0.5
(2)c f =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
9.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,48ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．,32ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
C ．,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．,62ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
10.已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+（2n ≥），11a =，且2410a a +=，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
218
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．
264
D ．
133
11.已知函数1
()21
x f x e x =
--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的大致图象为（ ）
12.定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x =-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞
B ．(3,)+∞
C ．(,0)
(1,)-∞+∞D ．(,0)(3,)-∞+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a =，2b =，6
A π
=
，则
tan B = ．
14.已知x ，y 满足0,20,,x y x y x a -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
且2z x y =-的最大值与最小值的比值为2-，则a 的值
是 ．
15.一艘海轮从A 出发，以每小时40海里的速度沿东骗西50︒方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，则B ，C 两点间的距离是 海里．
16.数列{}n a 满足11n n n a a a +-=+（*n N ∈，2n ≥），n S 是{}n a 的前n 项和，若51a =，则
6S = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，4
CAD π
∠=
，72AC =
，cos 10
ADB ∠=-．
（1）求sin C ∠的值；
（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长． 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13
2
a =，2(1)1n n S n a =++（2n ≥）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
1
(1)n n b a =
+（*n N ∈），数列{}n
b 的前n 项和为n T ，证明：3350n T <（*n N ∈）． 19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，
c ，8AB AC ⋅=，BAC θ∠=，
4a =．
（1）求bc 的最大值；
（2
）求函数()2cos21f θθθ+-的值域．
20.已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =，11
1
n n n n b b a a ++-=
⋅．
①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数m ，n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.
21.已知a 为常数，a R ∈，函数2
()ln f x x ax x =+-，()x
g x e =（其中e 是自然对数的底数）.
（1）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求证：01x =； （2）令()
()()
f x F x
g x =
，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )3ρρθθ=+-．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．
23.选修4-5：不等式选讲
已知m ，n 都是实数，0m ≠，()|21||2|f x x x =-+-． （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；
（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有m ，n 都成立，求实数x 的取值范围．
江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷数学（理工类）试卷答案
一、选择题
1-5:CBCBC 6-10:BCABD 11、12：DA 二、填空题
12
15. 16.4
三、解答题
17.解：（1
）因为cos 10ADB ∠=-
，所以sin 10
ADB ∠=， 又因为4
CAD π
∠=，所4
C ADB π
∠=∠-
，
所以
sin sin()4C ADB π∠=∠-sin cos cos sin
44
ADB ADB ππ
=∠-
∠4
5
=
=． （2）在ADC ∆中，由正弦定理
sin sin AD AC
C ADC
=∠∠，
故74sin sin sin sin sin()sin 10
AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π⨯
⋅∠⋅∠⋅∠====
∠-∠
∠=
又11sin 722ABD S AD AB ADB BD ∆=
⋅⋅⋅∠=⋅=，解得5BD =． 在ADB ∆中，由余弦定理得
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅
∠82525()10
=+-⨯⨯-
= 18.解：（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =； 当3n ≥时，2(1)1n n S n a =++，1121n n S na --=+，
以上两式相减，得12(1)n n n a n a na -=+-，∴
11
n n a n
a n -=
-， ∴132122132122
n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=
⋅⋅=⋅⋅=--……， ∴3
,1,2, 2.
n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩
（2）22
4
,1,125
1
(1),2,(1)n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨
+⎪≥+⎪⎩
当1n =时，114332550
T b ==<； 当2n ≥时，21111
(1)(1)1
n b n n n n n =<=-+++，
∴411111133133()()()252334150150n T n n n =
+-+-++-=-<++…， ∴3350
n T <（*n N ∈）．
19.解：（1）cos 8bc θ=，2222cos 4b c bc θ+-=，即22
32b c +=，
又22
2b c bc +≥，所以16bc ≤，即bc 的最大值为16， 当且仅当4b c ==，3
π
θ=时取得最大值．
（2）结合（1）得，
816cos θ≤，所以1
cos 2
θ≥， 又0θπ<<，所以03
π
θ<≤
，
()2cos 212sin(2)16
f π
θθθθ=+-=+-，
因为03πθ<≤，所以52666πππ
θ<+≤，
当5266ππθ+=，即3πθ=时，min 1
()2102
f θ=⨯-=，
当26
2
π
π
θ+
=
，即6
π
θ=
时，max ()2111f θ=⨯-=，
所以，函数()2cos21f θθθ=+-的值域为[]0,1．
20.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． 由2315a a =，416S =，得111()(2)15,4616,
a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩或17,
2,a d =⎧⎨=-⎩（舍去）．
所以21n a n =-．
（2）①因为11b a =，11
1
n n n n b b a a ++-=⋅，
所以111b a ==，
1111111
()(21)(21)22121
n n n n b b a a n n n n ++-=
==--+-+， 即2111(1)23b b -=
-，32111()235b b -=-，…，1111()22321
n n b b n n --=---，（2n ≥） 累加得1111
(1)22121n n b b n n --=-=--，
所以11132
1212121
n n n n b b n n n ---=+=+=---， 11b =也符合上式，
故32
21
n n b n -=
-，*n N ∈． ②假设存在正整数m 、n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列，则22n m b b b +=．
又243b =
，323121242n n b n n -==---，31
242m b m =--，
所以431()3242n +--312()242m =--，即111
21642
m n =+--，
化简得：7221n m n -=+9
71
n =-+， 当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =符合题意．
所以存在正整数3m =，8n =，使得2b ，m b ，n b 成等差数列． 21.解：（1）1
'()2f x x a x
=+-
（0x >）， 所以切线的斜率2000
000
ln 12x ax x k x a x x +-=+-=
， 整理得2
00ln 10x x +-=，显然，01x =是这个方程的解，
又因为2ln 1y x x =+-在(0,)+∞上是增函数， 所以方程2
ln 10x x +-=有唯一实数解， 故01x =．
（2）2
()ln ()()x f x x ax x F x g x e +-==，21
(2)ln '()x x a x a x
x F x e
-+-+-+=， 设2
1()(2)ln h x x a x a x x =-+-+-
+，则211
'()22h x x a x x
=-+++-， 易知'()h x 在(0,1]上是减函数，从而'()'(1)2h x h a ≥=-．
①当20a -≥，即2a ≤时，'()0h x ≥，()h x 在区间(0,1)上是增函数， ∵(1)0h =，∴()0h x ≤在(0,1]上恒成立，即'()0F x ≤在(0,1]上恒成立． ∴()F x 在区间(0,1]上是减函数， 所以2a ≤满足题意．
②当20a -<，即2a >时，设函数'()h x 的唯一零点为0x ， 则()h x 在0(0,)x 上递增，在0(,1)x 上递减， 又∵(1)0h =，∴0()0h x >， 又∵2()(2)ln 0a
a
a a a h e e
a e a e e ----=-+-+-+<，
∴()h x 在(0,1)内有唯一一个零点'x ，
当(0,')x x ∈时，()0h x <，当(',1)x x ∈时，()0h x >.
从而()F x 在(0,')x 递减，在(',1)x 递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意． 综上①②得，2a ≤．
22.解：（1）因为2
4(cos sin )3ρρθθ=+-，所以2
2
4430x y x y +--+=， 即2
2(2)(2)5x y -+-=为圆C 的普通方程，
所以所求的圆C
的参数方程为
2,
2
x
y
θ
θ
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
（θ为参数）．
（2）由（1
）可得，设点(2,2)
Pθθ，
266)
55
x yθθθθ
+=+=++，
设sinα=
，则cosα=，所以265sin()
x yθα
+=++，
当sin()1
θα
+=时，
max
(2)11
x y
+=，此时2
2
k
π
θαπ
+=+，k Z
∈，即2
2
k
π
θαπ
=-+，k Z
∈，
所以sin cos
θα
==
，cos sin
θα
==，点P的直角坐标为(3,4)时．
23.解：（1）
1
33,,
2
1
()1,2,
2
33, 2.
x x
f x x x
x x
⎧
-≤
⎪
⎪
⎪
=+<≤
⎨
⎪
->
⎪
⎪⎩
由()2
f x>得
332,
1
,
2
x
x
->
⎧
⎪
⎨
≤
⎪⎩
或
12,
1
2,
2
x
x
+>
⎧
⎪
⎨
<≤
⎪⎩
解得
1
3
x<或1
x>，
故所求实数x的取值范围为
1
(,)(1,)
3
-∞+∞．
（2）由||||||()
m n m n m f x
++-≥且0
m≠，得
||||
()
||
m n m n
f x
m
++-
≥，
又∵
||||||
2
||||
m n m n m n m n
m m
++-++-
≥=，
∴()2
f x≤，
∵()2
f x>的解集为
1
(,)(1,)
3
-∞+∞，
∴()2f x ≤的解集为1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， ∴所求实数x 的取值范围为1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．。