【原创】人教A版选修2-3：第三章 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

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题点二：非线性回归分析 2．为了研究某种细菌随时间 x 变化繁殖个数 y 的变化，收集数据
如下 时间 x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 y 6 12 25 49 95 190
(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的 散点图； (2)求 y 与 x 之间的回归方程．
在 y 轴上．
(× )
(3)R2 越小， 线性回归模型的拟合效果越好．
(× )
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2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种相关关系称为________． 答案：正相关
3．在残差分析中， 残差图的纵坐标为________． 答案：残差
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预习课本 P80～89，思考并完成以下问题
1．什么是回归分析？
2．什么是线性回归模型？
3．求线性回归方程的步骤是什么？
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[新知初探]
1．回归分析 (1)回归分析 回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一 种常用方法．
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用已知向量表示未知向量 题点一：线性回归分析 1．为研究质量 x(单位：g)对弹簧长度 y(单位：cm)的影响，
对不同质量的 6 个物体进行测量，数据如表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求回归直线方程； (2)求出 R2 并说明回归模型拟合的程度； (3)进行残差分析．
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4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A，B 两变量的线性相关性做 试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如表： 甲乙丙丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103
则_____同学的试验结果体现 A，B 两变量更强的线性相关性． 答案：丁
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(2)列出残差表为 yi－^yi 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 yi－ y －2.237 －1.367 －0.537 0.413 1.413 2.313
6
6
所以 (yi－^yi)2≈0.013 18， (yi－ y )2＝14.678 3.
i＝1
i＝1
^a＝ y －^b x .
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(3)线性回归模型 线性回归模型的完整表达式为yE＝eb＝x＋0，a＋Dee，＝σ2， 其中 a， b 为模型的未知参数，通常 e 为 随机变量 ，称为 随机误差 ．x 称 为 解释 变量，y 称为 预报 变量．
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[点睛] (1)非确定性关系：线性回归模型 y＝bx＋a＋e 与确定性 函数 y＝a＋bx 相比，它表示 y 与 x 之间是统计相关关系(非确 定性关系)，其中的随机误差 e 提供了选择模型的准则以及在 模型合理的情况下探求最佳估计值 a，b 的工具． (2)线性回归方程^y＝^bx＋^a中^a，^b的意义是：以^a为基数， x 每增加 1 个单位，y 相应地平均增加^b个单位．
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求线性回归方程 [典例] 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行 统计分析，得下表数据
x 6 8 10 12 y23 5 6
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线 性回归方程 ^y＝^bx＋^a； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 7 的同学的判 断力．
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解：(1) x ＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5. y ＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. ^a＝ y ＋20 x ＝80＋20×8.5＝250， 所以回归直线方程为^y＝－20x＋250. (2)工厂获得的利润 z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000， 由二次函数知识可知当 x＝343时，zmax＝361.25(元)． 故该产品的单价应定为 8.25 元．
n
yi－^yi2
i＝1
(3)R2＝1－
越接近 1，表示回归的效果越好．
n
yi－ y 2
i＝1
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[小试身手]
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)残差平方和越小， 线性回归模型的拟合效果越好． ( √ )
(2)在画两个变量的散点图时， 预报变量在 x 轴上，解释变量
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2．线性回归分析 (1)残差：对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，n…，n)的随机误差的估计值
^ei＝yi－^yi 称为相应于点(xi，yi)的残差，i＝1 (yi－^yi)2称为残差平方和．
(2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作 出的图形称为残差图．
单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量 y(件) 90 84 83 80 75 68
(1)求回归直线方程^y＝^bx＋^a，其中^b＝－20，^a＝ y －^b x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且 该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单 价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
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(1)当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点 图，就可直接求回归直线方程，否则要先判定相关性再求回归 方程．判断拟合效果的好坏需要利用 R2 确定，R2 越接近 1， 说明拟合效果越好．
(2)非线性回归方程的求法 ①根据原始数据(x，y)作出散点图； ②根据散点图，选择恰当的拟合函数； ③作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程； ④在③的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方 程．
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解：(1)散点图如图所示：
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(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y1＝c1ec2x 的周围，于 是令 z＝ln y，则
x1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
由计算器算得，^z ＝0.69x＋1.115，则有^y＝e0.69x＋1.115.
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(2)回归方程的相关计算
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对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
yn)．设其回归直线方程为^y＝^bx＋^a，其中^a，^b是待定参数，由最
小二乘法得
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－nx y
i＝1
i＝1
^b＝
＝
，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
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解：(1)散点图如图．
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x ＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， y ＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487， 计算得^b≈0.183，^a≈6.285. 故所求回归直线方程为^y＝6.285＋0.183x.
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求线性回归方程的三个步骤 (1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是 否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数． (3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进 行预测说明．
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[活学活用]
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事 先拟定的价格进行试销，得到如表数据：
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[解] (1)散点图如图所示．
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(2) x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，
4
xi－ x yi－ y
i＝1
^b＝
4
xi－ x 2
＝1240＝0.7，
i＝1
^a＝ y －^b x ＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为^y ＝0.7x－2.3. (3)由(2)中线性回归方程知，当 x＝7 时， ^y＝0.7×7－2.3＝2.6， 故预测记忆力为 7 的同学的判断力约为 2.6.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16378138≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．
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(3)由残差表中的数值可以看出第 3 个样本点的残差比 较大，需要确认在采集这个样本点的时候是否有人为的 错误，如果有的话，需要纠正，重新建立回归模型；由 表中数据可以看出残差点比较均匀地落在狭窄的水平 带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由 以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关 系．