人教a版数学高一单元测试卷第20课时向量的数乘运算及其几何意义含解析

1.2
1．向量数乘的运算律 (1)λ(μ)a ＝μ(λa )； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 2．共线向量定理
向量a (a ≠0)与b
一、选择题
1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |>0 答案：C
解析：当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，所以B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C.
2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线 答案：A
解析：BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →
，∴A ，B ，D 三点共线．
3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →
＝( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12
BA →
C.BC →－12BA →
D.BC →＋12BA →
答案：A
解析：CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12
BA →.
4．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( )
A.r R B ．－r R
C ．－R r D.R r
答案：C
解析：∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ||a |.又a 与b 反向，∴λ＝－R r
.
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →
＝( )
A.13a ＋b
B.1
2
a ＋
b C ．a ＋13b D ．a ＋12b
答案：A
解析：由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝1
3
a ＋
b .
6．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →
＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案：C
解析：∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴F 是△ABC 的重心，则DF →＝13DC →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13
(AC →
－
AD →)＝23AD →＋13AC →＝13AB →＋13AC →＝1
3a ＋13b ，∴x ＝13，y ＝13.
二、填空题 7．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.
答案：12 12
解析：由已知得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y －1＝0x －y ＝0
，解得x ＝y ＝1
2
.
8．下面三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②向量a 与b 共线，则存在唯一实数λ，使a ＝λb ；③若a ＝λb ，则a 与b 共线．
正确命题的序号为：________. 答案：③
解析：①a 与b 所在直线有可能在一条直线上；②若b ＝0，λb ＝0，∴λ可取任意实数；③正确．
9．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足PA →＋PC →＝0,2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|PQ →|＝λ|BC →
|，则正实数λ＝________.
答案：12
解析：由条件PA →＋PC →＝0，知PA →＝－PC →＝CP →，所以点P 是边AC 的中点．又2QA →＋QB →＋QC →＝BC →
，所以
2QA →＝BC →－QB →－QC →＝BC →＋CQ →＋BQ →＝2BQ →，从而有QA →＝BQ →
，故点Q 是边AB 的中点，所以PQ 是△ABC 的中位
线，所以|PQ →|＝12|BC →
|，故λ＝12
.
三、解答题
10．设两个非零向量e 1与e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →
＝3(e 1－e 2)． (1)求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k 的值，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线．
解：(1)证明：BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2＝5AB →
， ∴BD →∥AB →
，又AB 、BD 有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．
(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝λ1＝kλ，∴k 2＝1，∴k ＝±1. 11.
如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →
＝mAB →
＋211
AC →，求实数m 的值．
解：AP →＝AN →＋NP →＝14AC →＋NP →＝mAB →＋211
AC →，
∴NP →＝mAB →－344
AC →.
又NB →＝NC →＋CB →＝34AC →＋(AB →－AC →)＝AB →－14
AC →，
设NP →＝λNB →，则λAB →－14λAC →＝mAB →－344AC →
，∴m ＝λ＝311
.
12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →
，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 答案：B
解析：由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，∴CP →＝λPA →，则CP →与PA →
为共线向量又有一个公共点P ， ∴C 、P 、A 三点共线即P 点在直线AC 上．
13．如图，G 是△OAB 的重心，OG 的延长线交AB 于点M ，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．
(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →
表示；
(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →
，证明：1x ＋1y
是定值．
解：(1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →
.
(2)由(1)及OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →
.① ∵G 是△OAB 的重心，
∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13
OB →
.②
由①②得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－λx －13OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－λy OB
→， 而OA →，OB →
不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－λx ＝
1
3
λy ＝1
3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＝3－3λ1
y ＝3λ
，
∴1x ＋1y
＝3，即1x ＋1
y
是定值．。