七桥问题与一笔画

这 就 是 数 学 史 上 著 名 的 七 桥 问 题 ， 你 愿 意 试 一 试 吗 ？
每一个到此游玩或散心的人都 想试一试，可是，对于这一看 似简单的 问题，没有一个人能 符合要求地从七座桥上走一遍。 这个问题后来竟变得神乎其神， 说 是有一支队伍，奉命要炸毁 这七座桥，并且命令要他们按 照七桥问题的要求去炸。 七桥 问题也困扰着哥尼斯堡大学的 学生们，在屡遭失败之后，他 们给当时著名数学家欧 拉写了 一封信，请他帮助解决这个问 题。
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？
C
A
D
B
● 点A、B表示岛 点C。D表示岸 ▎线表示桥
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ● ●
十八世纪，东普鲁士 的首府哥尼斯堡是一 座景色迷人的城市， 普莱格尔河横贯城区， 使这 座城市锦上添 花，显得更加风光旖 旋。这条河有两条支 流，在城中心汇成大 河，在河的 中央有 一座美丽的小岛。河 上有七座各具特色的 桥把岛和河岸连接起 来。
问题情景
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一 条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两 岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的 居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不 重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
图⑶
图⑷
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没 有奇点的（奇点个数为0 ），可选任一个点做 起点，且一笔画后可以回到出发点。 ②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。 ③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。 用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
● ●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
活动探究
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪 些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
奇点个数
●
偶点个数
能否一笔画
B
图⑴
A
●
●
A
●
图⑵
B● D
C
E● A
● ●
●
课堂小结
1、 在探究七桥问题中，我们运用了哪些 数学思想和方法去研究问题？谈谈你活动 后的感受。 2、 在探究过程中，你遇到了哪些困惑， 是如何解决的？还有哪些问题没有解决？
课后作业
请你观察生活，设计一个运 用“一笔画”的数学知识来解 决的实际问题。并与同伴交流。
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可 以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说 根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
欧拉首先考虑到，由于关心的是能否不重复地走完七 座桥而对于桥的长短，岛的大小等因素都不重要，因此可 进行简化假设，不考虑陆地的地形，不考虑桥的形状及长 短，把四块陆地用4 个点A、B、C、D 来表示，七座桥用 相应的点之间的连线（曲线段或直线段）表示。 问题转换成从某个点出发能否不重复地把图形一笔画 出来。这样便简化了原问题而突出了问题实质。七桥问题 就抽象成通常所说的一笔画问题，即下笔后再不能离开纸， 每一条不能重复，只画一次，画时任两条线允许交叉而过。
下列图形能不能用一笔画出来？
对于图形的结构作些分析可以看出， 除去起点或终点外，凡途径的点都应有进 有出，即连接点的曲线必须是偶数条，我 们可以把这类型的点叫偶点，因为只有起 点或终点才可能有进无出或有出无进，这 时可能有奇数条曲线与这样的点连接，这 样的点叫做奇点，这说明，要想一笔不重 复地画出图形， 奇点的个数要么0 个，要 么2 个，而在图中4 个点都是奇点，因而图 形不可能一笔画出，欧拉就是用“一笔画” 作为七桥问题的一个模型，而解决了这个哥尼斯堡七桥猜想哥尼斯堡七桥问题
故事发生在18 世纪欧洲东 普鲁士（现为俄罗斯的加 里宁格勒）有个名叫哥尼 斯堡的城市近郊。这里的 普雷盖尔河穿城而过，河 中有两个岛，两岸与两岛 之间架有七座桥（如图）。 当时城中居民热烈地讨论 着这样一个问题：一个散 步者怎样走才能不重复地 走遍所有的七座桥而回到 原出发点？
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥 尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研 究。用多种方法证明了费马小定理。以 欧拉的名字命名的数学公式、定理等在 数学书籍中随处可见 ， 与此同时，他 还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学 方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了 许多数学符号，例如π（ 1736 年）， e （ 1748 年）， sin 和 cos （ 1748 年）， △ x （ 1755 年），f（x） （ 1734 年）等等。