2017版高考数学(文 全国乙卷)大二轮总复习与增分策略三轮增分练 高考小题分项练10 含解析

高考小题分项练10 圆锥曲线
1．△ABC 的两个顶点分别为A (－4,0）,B (4，0)，△ABC 的周长为18,则C 点的轨迹为( ）
A.错误!＋错误!＝1 （y ≠0）
B.错误!＋错误!＝1 （y ≠0）
C.错误!＋错误!＝1 (y ≠0) D 。

错误!＋错误!＝1 （y ≠0）
答案 D
解析 由题意可知｜AB ｜＝8，|AC |＋｜BC ｜＝10，10>8，点C 到两个定点A ，B 的距离之和等于定值，故点C 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆（除去长轴两个顶点)．
∵2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3，
∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1 (y ≠0）．
2．已知圆x 2＋y 2
＋mx －14＝0与抛物线x 2＝4y 的准线相切，则实数m 等于( ）
A ．±2 2
B ．±错误! C.错误!
D 。

错误! 答案 B
解析 因为圆x 2＋y 2＋mx －错误!＝0,即(x ＋错误!）2＋y 2＝错误!与抛物线x 2＝4y 的准线相切，所以 错误!＝1，
m＝±错误!，故选B.
3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1 (a〉0,b>0）的焦距为10，点P（1,2）在C的渐近线上,则C的方程为( ）
A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1
C。

错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1
答案B
解析由题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且c＝5。

因为点P(1,2)在C的渐近线上，所以b＝2a，
所以a2＝5，b2＝20，故选B.
4．如图，抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A（3，y）向准线l作垂线，垂足为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是( ）
A．y2＝错误!x B．y2＝x
C．y2＝2x D．y2＝4x
答案D
解析设抛物线方程为y2＝2px，则F(错误!，0)，将A（3，y)代入抛
物线方程得y2＝6p,y＝错误!，由于△ABF为等边三角形，故k AF＝错误!，即错误!＝错误!，解得p＝2。

5．过双曲线x2－错误!＝1右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2:（x－4）2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为（)
A．10 B．13
C．16 D．19
答案B
解析|PM｜2－｜PN｜2＝(|PC1｜2－4)－（｜PC2|2－1)＝｜PC1|2－|PC2|2－3
＝（｜PC1|－｜PC2｜)(|PC1|＋｜PC2|)－3
＝2(|PC1｜＋｜PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，
故选B.
6．双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）与抛物线y2＝2px（p〉0)相交于A,B两点，直线AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C 的离心率为( )
A. 2 B．1＋错误!
C．2错误!D．2＋错误!
答案B
解析由题意，得x A＝x B＝错误!＝c，
|y A｜＝错误!＝p＝2c，
因此错误!－错误!＝1⇒错误!＝错误!⇒b2＝2ac⇒c2－a2＝2ac
⇒e2－2e－1＝0⇒e＝1＋错误!（负值舍去），
故选B.
7．已知a〉b〉0，椭圆C1的方程为错误!＋错误!＝1，双曲线C2的方程为错误!－错误!＝1，C1与C2的离心率之积为错误!，则C2的渐近线方程为( ）
A.2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．2x±y＝0 D．x±2y＝0
答案B
解析a〉b〉0，椭圆C1的方程为错误!＋错误!＝1，离心率为错误!；双曲线C2的方程为错误!－错误!＝1，离心率为错误!.
∵C1与C2的离心率之积为错误!，
∴ 错误!·错误!＝错误!，
∴(错误!)2＝错误!,错误!＝错误!，
C2的渐近线方程为:y＝±错误!x，
即x±2y＝0。

故选B。

8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对
“相关曲线”．已知点F1、F2是一对相关曲线的焦点,点P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )
A．7－4 3 B．2－错误!
C.错误!－1 D．4－2错误!
答案B
解析由题意设椭圆方程为错误!＋错误!＝1，
双曲线方程为错误!－错误!＝1，且c＝c1。

由题意错误!·错误!＝1，（*）
又∠F1PF2＝30°,由余弦定理得：
在椭圆中,4c2＝4a2－（2＋3)｜PF1｜|PF2|，
在双曲线中，4c2＝4a错误!＋(2－错误!)｜PF1｜｜PF2｜，
可得b21＝(7－4错误!)b2，代入(*)得
c4＝a21a2＝(c2－b2，1)a2＝（8－43）c2a2－(7－4错误!）a4，
即e4－(8－4错误!)e2＋（7－4错误!)＝0，
得e2＝7－4错误!,即e＝2－错误!,故选B.
9．在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x2－2y2＝1的右支上的一个动点，若点P到直线2x－2y＋2＝0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（）
A．2 B.错误!
C。

错误! D. 错误!
答案C
解析设点P(x，y)，由题意得[错误!］min>m，而直线错误!x－2y＋2＝0
与渐近线错误!x－2y＝0的距离为
错误!＝错误!，因此［错误!］min>错误!，即m≤错误!，实数m的最大值为错误!，故选C.
10．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 (a〉b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，右顶点为A,上顶点为B。

若椭圆C的中心到直线AB的距离为F2|，则椭圆C的离心率e等于( ）
错误!｜F1
A。

错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
答案A
解析设椭圆C的焦距为2c（c〈a)，由于直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，所以错误!＝错误!c。

因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍)，所以e＝错误!，故选A.
11．双曲线C:错误!－错误!＝1 （a>0，b>0)的离心率为错误!，抛物线y2
＝2px（p>0)的准线与双曲线C的渐近线交于A,B两点，△OAB(O
为坐标原点）的面积为4错误!，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y＝4错误!x
答案A
解析∵e＝错误!＝错误!⇒c＝错误!a,∴b＝错误!＝错误!a，
∴y＝±错误!x＝±错误!x,
∴S△AOB＝错误!·错误!·错误!p＝4错误!，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x，故选A.
12．已知F1,F2是双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A．4＋2错误!B。

错误!－1
C.错误!D。

错误!＋1
答案D
解析因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1｜＝2a,
△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以错误!c－c＝2a,
所以e＝错误!＝错误!＝错误!＋1，故选D.
13．已知点P在抛物线y2＝4x上，当点P到直线y＝x＋4的距离最短时，点P的坐标是________．
答案（1,2）
解析设P（错误!，y)，则点P到直线y＝x＋4的距离d＝错误!＝错误!,当y＝2时，d取得最小值．把y＝2代入y2＝4x，得x＝1,所以点P 的坐标为（1,2）．
14．已知点F1、F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且错误!⊥错误!.若△PF1F2的面积为9，则b＝________。

答案3
解析由错误!⊥错误!知∠F1PF2＝90°，
则由题意，得错误!
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，
所以b＝3。

15．已知点F1、F2分别为椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，点M为椭圆上一点，且△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a2＝________.
答案25
解析由椭圆的对称性，知满足题意的点M是椭圆短轴的端点, ｜MF1|＝|MF2|＝a。

设内切圆半径为r，
则2πr＝3π,r＝错误!，又错误!×(2a＋2c)r＝错误!×2c×4,所以(a＋错误!）×
错误!＝4错误!，解得a2＝25.
16．方程错误!＋错误!＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1<k<4，则曲线C为椭圆;
③若曲线C为双曲线，则k〈1或k〉4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1〈k〈5 2 .
其中正确的是________．
答案③④
解析①错误!＋错误!＝1,当4－k＝k－1，k＝错误!时为圆，错误．②若曲线C为椭圆，则错误!
解得｛k|1〈k<4,且k≠错误!},错误．
③若C为双曲线，则（4－k）（k－1）<0，
解得k<1或k>4,正确．
④C表示焦点在x轴上的椭圆，得错误!
解得：1〈k〈错误!，正确．
综上，正确的是③④。