求解线性方程组的几种方法

§1 消元法
引例 求解线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++288338
219432321321321x x x x x x x x x （1.1）
解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程，采用消元法求解此线性方程组：
方程组（1.1）−−−→−↔21r r ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2883319
43282321321321x x x x x x x x x
⎪⎩
⎪⎨⎧==+=++−−−−−−→−--423
0823,23323211312x x x x x x r r r r （1.2） ⎪⎩⎪⎨⎧===−−−−−−−→−÷+-23
12),(3213321x x x r r r r （1.3）
由于方程组(1.1)与(1.3)同解，从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义 以下变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。

1． 将某一方程乘以一个非零的倍数；
2． 将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去；
3． 对调两方程的位置。

命题 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。

用消元法求解线性方程组的过程：首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。

如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。

在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。

定理 在齐次线性方程组
111122121122221122000
n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L
L 中，如果s<n ，那么它必有非零解
利用矩阵来求解线性方程组
贵州盘县数学（1）班曹仁和学号：5202220117
矩阵原是大学的内容，现在的高中数学新课程中将矩阵引了进去，成为高中数学教学的一部分。

利用矩阵可以解决的问题很多，比如可以用矩阵来求向量组的秩，求向量组的线性关系，求向量组的极大线性无关组，求解线性方程组等。

这里我就讲讲矩阵作为一个工具如何用它来求解线性方程组。

以前我们已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。

一次方程又称为线性方程。

在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n个未知量和m个方程的线性方程组上去。

矩阵是解决这类问题的重要工具之一。

线性方程组的一般形式为
（*）
从上式可看出二元一次方程组是它的一种最简单的形式。

方程组（*）中有m个方程、n个未知量。

ij代表第i个方程中未知量x j的系数，b i是第i 个方程的常数项。

当常数项b1，b2，…，b m全为零时，上面（*）式称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，上面（*）式称为非齐次线性方程组。

当m、n较大时，方程组（*）式的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理就很麻烦，因此，我们将方程组（*）式中未知量的系数简化成如下的m行n列矩形数表
如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得到m行n+1列矩形数表
对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。

下面我就举几个例子说明矩阵作为一个工具在线性方程中的运用。

例1、求解下列齐次线性方程组
即得方程组的解为
解：方程组可表示为，因此，即可求得方程的解为
x 1=1 x
2
=0x
3
=0
以上是矩阵在线性方程组中的一些简单的应用,当然它的应用很广泛,在这里就不一一例举了。