高二数学教案：直线和平面所成角与二面角(3)

直线和平面所成的角与二面角（3）——面面垂直
一、课题：直线和平面所成角与二面角（3）——面面垂直 二、教学目标：1．进一步巩固二面角的概念；
2．掌握两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用．
三、教学重点、难点：两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用． 四、教学过程： （一）复习：
1．二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法； 2．求二面角的步骤：作——证——算——答； （二）新课讲解：
1．两个平面垂直的定义：
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平 面．
2．两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ，求证：αβ⊥．
证明：如图所示，令CD αβ=I ，则B CD ∈，
在β内过B 作BE CD ⊥，
∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，
所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．
实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直． 3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥I 于点B ，求证：AB β⊥． 证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角，
E
D C
B
A
β
α
∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB CD ⊥，∴AB β⊥．
4．例题分析：
例1．如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的
任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．
分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，
只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。

解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，
又∵PA 垂直于O e 所在的平面，∴PA BC ⊥，
∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中， 所以，平面PAC ⊥平面PBC ．
说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面
PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。

例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥I ，求证：a γ⊥．
证明：设,AB AC αγβγ==I I ，
在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥，又∵a αβ=I ， ∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥，∴a γ⊥．
例3．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的
正弦值。

分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角。

解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ，
则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角，
∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥， ∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，
∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==，
在Rt BCD ∆中，11
22
BCD S BC DF BD CD ∆=
⋅=⋅，∴32DF a =， N
M P
C
B
A a
γ
β
α
A
B C
D
E F
P
A
B
C
同理，Rt ACD ∆
中，DE =
，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --
的正弦值为
5
． 五、小结：1．面面垂直的判定和性质定理；
2．面面垂直性质和判定定理的应用．
六、作业：课本第47页习题9.7 第6、7、8题． 补充：
1．过点P 引三条长度相等但不共面的线段,,PA PB PC ，且60APB APC ∠=∠=o ，
90BPC ∠=o ，求证：平面ABC ⊥平面BPC ．
2．如图，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o ，,E F 分别是,PB PC 上的点，且AE PB ⊥，
求证：AEF ∆是直角三角形。

B
A
C
P
A
B
C
P
E
F
（第1题图）
（第2题图）。