湖南省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(六)

湖南省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（六）
（文科）
（考试时间120分钟满分150分）
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列是全称命题且是真命题的是（）
A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x0∈Z，x02＞1 D．∀x，y∈R，x2+y2＞0
3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4
4．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d 中至少有一个负数”时的假设为（）
A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数
5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
A．B．6 C． D．12
6．k＞5是方程=1的曲线为椭圆时的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．非充分非必要条件
7．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为、，则双曲线方程为（）
A．B．C．D．
8．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为
3，则|AB|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则b的值为（）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
10．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
11．函数的最大值为（）
A．e﹣1B．e C．e2D．
12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．[，1）B．[，1）C．（0，] D．（0，]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．双曲线的实轴长等于．
14．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=．
15．已知a为实数，f（x）=x2（x﹣a），且f′（﹣1）=0，则a=．
16．已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k
﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真命题，则实数k的取值范围是．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
18．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患20
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
参考公式：K2=，n=a+b+c+d
19．已知函数f（x）=x2+xlnx
（1）求这个函数的导数f′（x）；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．
22．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．
参考答案
一、单项选择题
1．C．2．B 3．A．4．C．5．C 6．B．7．D．8．D．9．A 10．D．11．A．12．B．
二、填空题
13．解：双曲线的a=，
可得实轴长为2a=2，
故答案为：2．
14．解：复数z====1+i，则|z|=．
故答案为：．
15．解：∵f（x）=x2（x﹣a）=x3﹣ax2，
∴f′（x）=3x2﹣2ax，
∵f′（﹣1）=0，
∴3+2a=0，
∴a=﹣，
故答案为：﹣．
16．解：命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k＞4﹣k＞0，解得2＜k＜4．
命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线，则（k﹣1）（k﹣3）＜0，解得1＜k＜3．
∵p∨q为真命题，
∴实数k的取值范围是（2，4）∪（1，3）=（1，4）．
故答案为：（1，4）．
三、解答题
17．解：椭圆的焦点为（±5，0），
设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），
可得c=5，即a2+b2=25，
又e==，
解得a=3，b=4，
即有双曲线的方程为﹣=1．
18．解：（1）根据服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本，没有服药且没有患病的有20个，
（2）假设检验问题H0：服药与家禽得禽流感没有关系，
K2=≈2.778，
由P（K2≥2.706）=0.10
∴大概有90%的把握认为药物有效．
19．解：（1）函数f（x）=x2+xlnx的导数为f′（x）=2x+lnx+x•
=2x+lnx+1；
（2）由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是k=f'（1）=2×1+ln1+1=3，
切点纵坐标为f（1）=1+1×ln1=1，故切点的坐标是（1，1），
所以切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
20．解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
21．解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b
由题意；，解得，
∴所求的解析式为
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）
令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，
∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，
当x=2时，f（x）有极小值，
∴函数的图象大致如图．
由图可知：．
22．解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，化简得y2=2x+2|x|．
当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．
由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1．
∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．
设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．
故==
==（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）
=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1
1+2++1+1+2+4k2+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16，
当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．。