图论——染色、二部图匹配问题
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染色、二部图匹配与指派问题
1
四色问题(Four Color Problem)
2
着色(coloring)
着色: 给图的某类元素(点,边,面)中每个 指定1种颜色,使得相邻元素有不同颜色 点着色,边着色,面着色
3
着色(例)
边着色
点着色
面着色
4
色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色 对G的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶
Def 设G = (V, E)是任意简单无向图. 若 M E且中任何两条边都不相邻, 则称M为G 的一个匹配(matching)或边独立集, M中每条 边的两个节点在M中匹配.
{ab, h c d
{ab, fi, cd, hj} {af, bg, ch, di, ej}
k-色图: 可k-着色,但不可(k-1)-着色 色数: 着色所需最少颜色数 点色数(G), 边色数’(G), 面色数*(G) 例: (G)=2, ’(G)=4, *(G)=3
7
色数
[特殊图的色数]
① 零图：(G)=1
② 完全图 Kn：(G)=n 若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连则称为完全图。
③ G是一条回路：(G)=2 若|V|是偶数
(G)=3 若|V|是奇数 ④ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为 奇数的回路。（此时G为二部图） ⑤ 若G1、G2为G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}
色数
[Hajó s猜想] 若G是 k 色图, 则G包含 Kk 的一个同胚图
V1和V2称为互补节点集合, 一般不唯一:
V1 {v1 , v6 , v3 , v4 , v5 },
v1 v2
v3
V2 {v2 , v7 , v8 }.
v4
v5
v6
v7
v8 V2 {v6 , v7 , v8 }.
V1 {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 },
匹配
。(1961)
[四色定理] 任何平面图都是 4-可着色的。
如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色 来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一 样；
另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染
色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两 个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共
a f b
e
d
c
[解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶
点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜
色。
二部图
Definition 对于简单无向图G = (V, E), V划分为V1 和V2, 任意边关联的两个节点中一个在V1中, 一个 在V2中, 则称G为二部图.
完全二部图： V1中的每个顶点均与V2中的所有顶 点相邻。
点的颜色都不同，则称该着色正常，或称G存在一
个正常的 k 顶点着色（或称一个 k 着色）。此时
称G为 k-可着色的。
[色数] 使 G=(V, E) k-可着色的最小 k 值称为G的色数 ，记为 (G)。若 (G)=k，称G为 k 色图。
色数
[例] 三色图
色数(chromatic number)
(a) 边数最多的匹配称为最大匹配(maximum matching), 其中的边数称为匹配数. (b) 所有节点都与M中的某边关联的匹配称为完美 匹配(perfect matching). (c) 在二部图G = (V, E)中, V1和V2为互补节点集. 若 M为G的一个最大匹配且 |M| = min{| V1 |, | V2|}, 则 称M为G的一个完备匹配(complete matching). 当| V1 | ≤ | V2|, M也称为G的一个从V1到V2的完备匹配 .
放在同一仓库。 问：最少需要几个仓库？
a 0 1 0 1 b 0 1 1 c 0 1 d 0 e f a b c d
0 1 0 1 0 e
1 0 1 1 1 0 f
图的着色
a 0 1 0 1 b 0 1 1 c 0 1 d 0 e f a b c d 0 1 0 1 0 e 1 0 1 1 1 0 f
匹配与指派问题-完备匹配
某公司准备安排n个职员x1,x2,…, xn从事 n 项工作 y1,…,yn, 每个职员能胜任其中一项或 几项工作 试问: 能否把所有职员都安排一项他所胜任的工作? 这个问题称为人员安排问题
19
匹配与指派问题-完备匹配
20
匹配与指派问题-最大权完备匹配
如果那种安排方案不止一种或者说每个职员 都能胜任每项工作，这时的人员安排就要考虑每 个人员对各项工作的效率，比如熟练程度等.怎样 给出一个安排方案使总效率注最大? 求这种安排问题称为最优安排问题
的交点。
色数
[例] 如图， 求 (G)。
色数
K5
K4
K4
K3
(G) = min{(K5), (K4), (K3)} = (K3) =3
图的着色
图的着色包括对边、顶点和平面区域的着色。本 章主要讨论简单图的顶点着色。
[例] 6种化学制品，某些不能放在 同一仓库。用矩阵表示,例如
(a , b)=1表示a和b不能
21
谢谢！
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四色问题(Four Color Problem)
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着色(coloring)
着色: 给图的某类元素(点,边,面)中每个 指定1种颜色,使得相邻元素有不同颜色 点着色,边着色,面着色
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着色(例)
边着色
点着色
面着色
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色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色 对G的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶
Def 设G = (V, E)是任意简单无向图. 若 M E且中任何两条边都不相邻, 则称M为G 的一个匹配(matching)或边独立集, M中每条 边的两个节点在M中匹配.
{ab, h c d
{ab, fi, cd, hj} {af, bg, ch, di, ej}
k-色图: 可k-着色,但不可(k-1)-着色 色数: 着色所需最少颜色数 点色数(G), 边色数’(G), 面色数*(G) 例: (G)=2, ’(G)=4, *(G)=3
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色数
[特殊图的色数]
① 零图：(G)=1
② 完全图 Kn：(G)=n 若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连则称为完全图。
③ G是一条回路：(G)=2 若|V|是偶数
(G)=3 若|V|是奇数 ④ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为 奇数的回路。（此时G为二部图） ⑤ 若G1、G2为G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}
色数
[Hajó s猜想] 若G是 k 色图, 则G包含 Kk 的一个同胚图
V1和V2称为互补节点集合, 一般不唯一:
V1 {v1 , v6 , v3 , v4 , v5 },
v1 v2
v3
V2 {v2 , v7 , v8 }.
v4
v5
v6
v7
v8 V2 {v6 , v7 , v8 }.
V1 {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 },
匹配
。(1961)
[四色定理] 任何平面图都是 4-可着色的。
如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色 来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一 样；
另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染
色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两 个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共
a f b
e
d
c
[解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶
点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜
色。
二部图
Definition 对于简单无向图G = (V, E), V划分为V1 和V2, 任意边关联的两个节点中一个在V1中, 一个 在V2中, 则称G为二部图.
完全二部图： V1中的每个顶点均与V2中的所有顶 点相邻。
点的颜色都不同，则称该着色正常，或称G存在一
个正常的 k 顶点着色（或称一个 k 着色）。此时
称G为 k-可着色的。
[色数] 使 G=(V, E) k-可着色的最小 k 值称为G的色数 ，记为 (G)。若 (G)=k，称G为 k 色图。
色数
[例] 三色图
色数(chromatic number)
(a) 边数最多的匹配称为最大匹配(maximum matching), 其中的边数称为匹配数. (b) 所有节点都与M中的某边关联的匹配称为完美 匹配(perfect matching). (c) 在二部图G = (V, E)中, V1和V2为互补节点集. 若 M为G的一个最大匹配且 |M| = min{| V1 |, | V2|}, 则 称M为G的一个完备匹配(complete matching). 当| V1 | ≤ | V2|, M也称为G的一个从V1到V2的完备匹配 .
放在同一仓库。 问：最少需要几个仓库？
a 0 1 0 1 b 0 1 1 c 0 1 d 0 e f a b c d
0 1 0 1 0 e
1 0 1 1 1 0 f
图的着色
a 0 1 0 1 b 0 1 1 c 0 1 d 0 e f a b c d 0 1 0 1 0 e 1 0 1 1 1 0 f
匹配与指派问题-完备匹配
某公司准备安排n个职员x1,x2,…, xn从事 n 项工作 y1,…,yn, 每个职员能胜任其中一项或 几项工作 试问: 能否把所有职员都安排一项他所胜任的工作? 这个问题称为人员安排问题
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匹配与指派问题-完备匹配
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匹配与指派问题-最大权完备匹配
如果那种安排方案不止一种或者说每个职员 都能胜任每项工作，这时的人员安排就要考虑每 个人员对各项工作的效率，比如熟练程度等.怎样 给出一个安排方案使总效率注最大? 求这种安排问题称为最优安排问题
的交点。
色数
[例] 如图， 求 (G)。
色数
K5
K4
K4
K3
(G) = min{(K5), (K4), (K3)} = (K3) =3
图的着色
图的着色包括对边、顶点和平面区域的着色。本 章主要讨论简单图的顶点着色。
[例] 6种化学制品，某些不能放在 同一仓库。用矩阵表示,例如
(a , b)=1表示a和b不能
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谢谢！
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