南通市2016届高三全真模拟数学试题3(完整资料).doc

（第4题）
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2016年数学全真模拟试卷三
试题Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
. 1．已知集合A ={-1，0，2}，B ={x |x =2n -1，n ∈Z }，则A ∩B = ▲ ．
【答案】{-1}
2． 设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，123 ()x x =-∈R a e e ，
122=+b e e ．若//a b ，则x 的值
为 ▲ ． 【答案】-6
3． 从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，
4}中随机取一个元素，记为b ， 则a ≤b 的概率为 ▲ ． 【答案】89
4． 行李的费用c （单位：元）与行李重量w 之间的流程图．假定某旅客的托运费为托运的行李重量为 ▲ 千克． 【答案】20
5． 函数
0 0 ()1 0x f x x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩
，，，的零点个数为 ▲ ．
【答案】3
6． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线
ln y x x =在
e x =处的切线与两坐标轴围成
的三角形的面
积是 ▲ ． 【答案】2
e 4
7． 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，
利用组中值可估计其的平均分为 ▲ ． 【答案】62
8． 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0 0 )A ωϕπ>><2
，
，的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右侧
的第一个极值点为x π=3
，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ． 【答案】4
3
π 9． 关于定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个命题： ①若(1)(1)f f =-，则()f x 不是奇函数；
②若(1)(1)f f >-，则()f x 在R 上不是单调减函数；
③若(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 是周期函数． 其中所有正确的命题序号是 ▲ ．
（第7题）
【答案】②③
10．已知数列{}n a 的前n 项和 1 ()n n S k k =-∈R ，且{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，则k 的 取值集合是 ▲ ． 【答案】{}0． 【解析】．
11．如果将直线l ：20x y c ++=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线l '与圆C ：
22240x y x y ++-=相切，则实数c 的值构成的集合为
▲ ．
【答案】{3-，13-}
【解析】易得直线l '：(1)2(2)0x y c ++++=，即250x y c +++=，圆C ：
22(1)(2)5x y ++-=
的圆心
(1 2)-，到直线l '：250x y c +++==解得3c =-或13c =-．
12．已知正数x ，y 满足3x y xy x y
-=+，则y 的最大值为 ▲ ． 【答案】13
【解析】由2223x y xy x y -=+，得211
2322x y x y xy y x
-+==-
，
所以113222y x y x -=+≥，从而23210y y +-≤，解得13
y ≤． 13．考察下列等式：
11ππcos isin i 44
a b +=+， ()2
2
2
ππ
cos isin i 44a b +=+，
(
)3
3
3
ππcos isin i 44
a b +=+，
……
(
)ππcos isin i 44
n
n
n
a b +=+，
其中i 为虚数单位，a n ，b n (n *∈N )均为实数．由归纳可得，
a 2015+
b 2015的值为 ▲ ．
【答案】0
【解析】通过归纳可得，
(
)ππ
ππcos isin cos isin 44
44
n
n n +=+，从而a 2015+b 20152015
πcos 4
=
2015πsin 4
+=0． 14．在△ABC 中，1
3AE AB =，23
AF AC =．设BF ，CE 交于点P ，且EP EC λ=，FP FB μ=
(λ,μ∈R ),则λμ+的值为 ▲ ．
【答案】57
【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC ，设AB 3=，3AC =， 以AB ，AC 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系
xOy ，
则A (0 0)，，(3 0)B ，，(0 3)C ，，(1 0)E ，，(0 2)F ，，
直线BF 的方程为：13
2
y x +=，①
直线CE 的方程为：13
y
x +=，② 由①②得，37x =，127
y =，所以()312 77P ，， 代入EP EC λ=，FP FB μ=得，31(01)7λ-=-，30(30)7μ-=-， 解得47
λ=，17μ=，故λμ+=57
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
已知△ABC 内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且
(1tan )(1tan )2A B ++=．
（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值．
（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-，
所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B
++==-，（4分） 故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4
（6分） （2）由正弦定理得
2sin c =3π4
，即c =（8分）
由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4
，即222a b =+，（10
分）
由2222a b ab =+≥
得2ab -≤（当且仅当a b =时取
A B
C
P
（第16题）
D
等号）
（12分）
所以1
3sin 2S ab π=4
（14
分）
16．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，锐角三角形
PAB 所
在的平面与底面
ABCD
垂直，PBC BAD ∠=∠90
=．
（1）求证：BC ⊥平面PAB ；
（2）求证：//AD 平面PBC ．
证明：（1）在平面PAB 内过点P 作PH AB ⊥于H ，
因为平面
PAB ⊥
平面
ABCD
，平面
PAB
平面
ABCD AB =，PH ⊂平面PAB ，
所以PH ⊥平面ABCD ，（4分) 而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC ，
由90PBC ∠=得PB ⊥BC ， 又PH
PB P =， PH ，
PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，（8分) （2）因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB ， 由90BAD ∠=得AD AB ⊥，
故在平面ABCD 中，//
AD BC ，（11分)
A B
C
D
又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ．（14分)
17．（本题满分14分）
某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈．．由两条平行线段（图中的AB ，DC ）
和两个半圆构成，设AB
x m ，且80x ≥．
（1）若内圈周长为400 m ，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？
（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为22500π m 2，则x 取
何值时，内圈周长最小？
【解】设题中半圆形半径为r （m ），
矩形ABCD 的面积为S
（m 2），
内圈周长为c （m ）． （1）由题意知：2S rx =，且
22π400x r +=，即π200x r +=，
于是()2
2000022π2(π)π
π2
πx r S rx x r +==⋅⋅=≤（m 2
）
当且仅当π100x r ==（m ）时，等号成立． 答：当x 100（m ）时，矩形ABCD 的面积最
大．（6分)
（2）由题意知：2
225002ππrx r
+=
，于是22500π
2π2
x r r =-⋅， 从而 ()22500π22π2
2π2π2
c x r r r r =+=-⋅+22500
ππr r =+．（8
分)
因为
80
x ≥，所以
22500π
802π2
r r -⋅≥，即
()
2
π160π225000r r +⋅-≤，
解得250π90r -≤≤，所以900π
r <≤，（10分)
故2
21π8100r
≥． 因为2
222500225001π16πππ<0ππ81009c r
'=-⋅+-⋅+=-≤，（12分)
所以关于r 的函数22500
ππc r r =+在(900π⎤⎥⎦
，上是单调减函数．
故当90π
r =即22500π90
802902πx =-⋅=⨯（m ）时，内圈周长c 取得最小值，
且最小值为22500
9034090+=（m ）．（14分)
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：22221(0)y x a b a b
+=>>的焦距
为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点P 是椭圆C 上横坐标大于2的一点，过点P 作圆
22(1)1x y -+=的两条切线分别与y
轴交于点A ，B ，试确定点P 的坐标，使得△PAB 的面积最大．
解：（1
）由题意得，2c =22251a b
+=，
（2分）
又222c a b =-， 故212a =，26b =， 所以椭圆C 的方程为221126y x +=；（5
分）
（2）设点00( )P x y ，
，其中(
02x ∈，且22
001126
x y +=，又设(0 )A m ，，(0 )B n ，，不妨m n >，
则直线PA 的方程为：000()0y m x x y x m --+=， 则圆心(1 0)，到直线PA
的距离为
1=，
化简得2000(2)20x m y m x -+-=，（8分） 同理，2000(2)20x n y n x -+-=，
所以m ，n 为方程2000(2)20x x y y x -+-=的两根， 则()
()
2
2
0002
024(2)
(2)y x x m n x +--=
-，（10分）
又△PAB 的面积为S 01
()2
m n x =-，
所以22
200002
0(2)(2)y x x S x x +-=-22
0020(2)82(2)x x x -+=-，（12
分）
令(0202t x ⎤=-∈⎦，记
222
(8)(2)()2t t f t t ++=
，
则
32
4
(2)(16)()0t t t f t t +-'=>在(
02⎤-⎦恒成立， 所以
()f t 在(02⎤⎦
上单调递增， 故
2t =，即0x =时，()f t 最大，
此时△PAB 的面积最大．（16分）
19．（本题满分16分）
已知函数1()ln f x a x x
=+，a ∈R ． （1）若()f x 有极值，求a 的取值范围；
（2）若()f x 有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．
解：（1）易得22
11()(0)a
ax f x x x x x -'=-=>，(2分) 若0a ≤，则()0f x '<，从而()f x 无极值；
若a > 0，则当1x a <时，()0f x '<；1x a
>时，()0f x '>，此时()f x 有极小值()
1f a ． 综上，a 的取值范围是(0)+∞，．(4分)
（2）设P (x 0，y 0) 是经过原点的切线与函数()f x 图象的切点，
则切线方程为()
02000
11ln ()a y a x
x x x x x --=--，（6分） 因为切线过点(0，0)，于是0
00
11
ln a x
a x x --=-+，即
()00
21ln a x x =-，
因为0a ≠，所以000
2ln x x x a =-， 设()ln g x x x x =-，则()1ln 10g x x '=--=，得1x =，(8分)
21a
>02a << 当21a
=或20a
<，即2a =或a <0时，有且仅有一条切线，
当201a <<，即2a >时，存在两条切线，（12分）
下证：对任意的(01)m ∈，，ln x x x m -=在(0，1)内一定
有一解，其中2m a
=． ⇔证明11ln m
x x
+=在(0，1) 内有一解，
⇔证明1ln t mt +=在(1)t ∈+∞，内有一解．
令()1ln h t mt t =--， 则h (1) =m – 1<0，
(2)21ln 2n n h m n =⋅--⋅
21n m n >⋅--
(11)1n m n =⋅+--
(1)112n n m n n +⎡⎤
>++--⎢⎥⎣⎦
， 这是关于n 的二次函数，所以当n 充分大时，
一定取得正值，
由介值定理知，()h t 在(1)+∞，内有唯一解，即证．（16分）
20．（本题满分16分） 已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n
a =--，*n ∈N ．设1n a ，2n a ，…，t
n a （其中1n <2n <…t n <，
*t ∈N ）成等差数列．
（1）若3t =．
①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值． 解：（1）①依题意，1
n a ，11
n a
+，12
n a
+成等差数列，即1111
22n n n a
a a ++=+，
从而1
1
1
111112222(1)2
(1)2(1)n n n
n n n ++++⎡⎤--=--+--⎣⎦，
当1n 为奇数时，解得1
24n
=-，
不存在这样的正整数1n ；
当1n 为偶数时，解得1
24n
=，所以12n =．(3分)
②依题意，1a ，2
n a ，3
n a 成等差数列，即2
312n
n a a a =+，
从而33
2
222
(1)32(1)n n n n ⎡⎤--=+--⎣⎦，
当2n 3n 均为奇数时，321221n n --=，左边为偶数，故
矛盾；
当2n 3n 均为偶数时，3221221n n ---=，左边为偶数，
故矛盾；
当2n 为偶数，3n 奇数时，3
2
1225n
n +-=，左边为偶数，
故矛盾；
当2n 为奇数，3n 偶数时，3
2
1220n
n +-=，即321n n -=．(8
分)
（2）设s a ，r a ，t a （s r t <<）成等差数列，则2r s t a a a =+，
即22(1)2(1)2(1)r r s s t t
⎡⎤--=--+--⎣⎦，
整理得，1222(1)(1)2(1)s
t r s t r ++-=-+---，
若
1
t r =+，则
2(1)3(1)s s r
=-+--，因为
22
s ≥，所以
(1)3(1)s r -+--只能为
2或4，
所以s 只能为1或2；(12分) 若
2
t r +≥，则
1214322222222210
s t r s r r ++++-+-+-=≥≥，
(1)(1)s t -+-2(1)r --4≤，
故矛盾，
综上，只能1a ，r a ，1r a +成等差数列或2a ，r a ，1r a +成等差数列，其中r 为奇数，
从而t 的最大值为3．(16分)
试题Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．
．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）
如图，已知△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点D ，
交其外接圆于点E ． 求证：AB ⋅AC =AD ⋅AE ．
证明：连结EC ，易得∠B =∠E ，（2分） 由题意，∠BAD =∠CAE ， 所以△ABD ∽△AEC ，（6分）
从而AB AD AE
AC
=， 所以AB ⋅AC =AD ⋅AE ．（10分）
B ．（矩阵与变换） 求矩阵M 0001⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的特征值和特征向量．
解：矩阵M 的特征多项式为0
()(1)01
f λ
λλλλ==--，（2分）
令()0f λ=，解得M 的特征值10λ=，21λ=．（4分） 将10λ=代入二元一次方程组00
0(1)0 x y x y λλ-⋅=⎧⎨
-⋅+-=⎩
，，
A
B
C
D E
(第21—A 题)
解得 0
0 x x y ∈≠⎧⎨
=⎩R ，且，，
所以矩阵M 的属于特征值0的一个特征向量为1
0⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（
7分） 同理，将21λ=代入①解得0
0 x y x =⎧⎨
∈≠⎩R ，，
且，
所以矩阵M 的属于特征值1的一个特征向量为0
1⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
（10分）
C ．（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，已知A ( 1，π3 )，B ( 9，π
3 )，线段AB 的垂直
平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及△ABC 的面积． 解：易得线段AB 的中点坐标为(5，π
3)，（2分）
设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点，
在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π
3)＝5，
所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3)＝5，（6分）
令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)．（8分）
所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3
＝203．（10
分）
D ．（不等式选讲）
已知x ，0y >，求证：22
x y x y ++≥
证明：因为x ，0y >，且2()0x y -≥，（当且仅当x y =时“=”成立） 所以222
x y x y
x y +++≥
， ① （4
分）
又2
x y
+，（当且仅当x y =时“=”成立）② （8
分）
由①②得22
x y x y ++x y =时“=”成立）．（10
分）
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．
内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，
1AA h =．
（1）若2h =，求1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值；
（2）若二面角1A BD C --的大小为3
4
π，求h 的值．
A C
B
D
1A
1B
1D
1C
（第22题）
解：如图，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， （1）当2h =时，(1 0 0)B ，，，(0 1 0)D ，，，1(0 0 2)A ，，，1(1 1 2)C ，，， 则1
(1 1 2)AC
=，，，1(1 0 2)A B =-，，，1(0 1 2)A D =-，，，
设平面1A BD 的法向量( )a b c =，，n ，
则由110 0
A B A D ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，n n 得，20 20 a c b c -=⎧⎨-=⎩，
， 不妨取1c =，则2a b ==，此时(2 2 1)=，，n ，
（3分）
故11
1cos AC AC AC ⋅<==
=⋅，
n n
>n
，
所以1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值；（5分）
（2）由
1(0 0 )
A h ，，得，
1(1 0 )
A B h =-，，，
1(0 1 )A D h =-，，，
设平面1A BD 的法向量( )x y z =，，m ， 则由110 0
A B A D ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，m m 得，0
0 x zh y zh -=⎧⎨
-=⎩
，，
不妨取1z =，则x y h ==， 此时( 1)h h =，，m ，（7分） 又平面CBD 的法向量1
(0 0 )
AA
h =，，，
故11
1cos AA AA AA ⋅<==
=⋅
，
m m >m
，
解得h =
．（10分）
（第22题）
23．设n 为给定的不小于3的正整数．数集P ={}x
x n x ∈*
N ≤，，记数
集P 的所有(1 )k k n k ∈*N ≤≤，
元子集的所有元素的和为k P ． （1）求1P ，2P ； （2）求12n P P P ++⋅⋅⋅+．
解：（1）易得数集P ={}1 2 3 n ⋅⋅⋅，，，
，， 则1
(1)1232n n P n +=+++⋅⋅⋅+=，（2分）
数集P 的2元子集中，每个元素均出现1n -次，
故2(1)(1)
(1)(123)2
n n n P n n +-=-+++⋅⋅⋅+=，（4分） （2）易得数集P 的k (1 )k n k ∈*N ≤≤，
元子集中，每个元素均出现1
1C k n --次，
故1
111(1)C (123)C 2
k k k n n n n P n ----+=⋅+++⋅⋅⋅+=，（6分） 所以12n P P P ++⋅⋅⋅+=0121
1111(1)(C C C C )2n n n n n n n -----++++⋅⋅⋅+ 1(1)22
n n n -+=
⋅ 2(1)2n n n -=+⋅．（10分）。