九年级上册临沂数学期末试卷练习(Word版 含答案)

九年级上册临沂数学期末试卷练习（Word 版 含答案）
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，O 的直径为10，若圆心O 为坐标原点，则点()8,6P -与O
的位置关系是（ ） A ．点P 在
O 上
B ．点P 在
O 外
C ．点P 在
O 内 D ．无法确定
2．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）
A ．团队平均日工资不变
B ．团队日工资的方差不变
C ．团队日工资的中位数不变
D ．团队日工资的极差不变
3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A ．
34
B ．
14
C ．
13
D ．
12
4．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）
A ．18°
B ．24°
C ．30°
D ．26°
5．将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =-- 6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝
12
x B ．y ＝2x 2-1
C ．y 23x +
D ．y ＝x 2＋
1x
＋1
8．关于x 的一元二次方程x 2+bx-6=0的一个根为2，则b 的值为( ) A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
9．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm ，
则它的宽约为（ ） A ．12.36cm
B ．13.6cm
C ．32.386cm
D ．7.64cm
10．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1
3
，那么sin A 的值是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
1010
D ．
310
11．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．12×108 B ．1.2×108 C ．1.2×109 D ．0.12×109 12．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（ ）
A ．11
B ．12
C ．9
D ．10
二、填空题
13．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
14．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.
15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．
16．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____．
17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝____°．
18．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
19．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.
20．在平面直角坐标系中，抛物线2y
x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点
A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作
23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行
下去，则点2019A 的坐标为_____．
21．某一时刻，测得身高1.6m 的同学在阳光下的影长为2.8m ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m ，则教学楼的高为__________m .
22．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两
点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).
23．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点
D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ，则DP =__________．
24．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．
三、解答题
25．如图1，AB 、CD 是圆O 的两条弦，交点为P .连接AD 、BC ．OM ⊥ AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N.连接PM 、PN.
图1 图2 （1）求证：△ADP ∽△CBP ；
（2）当AB ⊥CD 时，探究∠PMO 与∠PNO 的数量关系，并说明理由； （3）当AB ⊥CD 时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON 的面积. 26．（1）解方程：2670x x +-=
（2）计算：(
)
4sin 45831tan 30︒-+
--︒
27．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG ∶BG ＝3∶2．设BG 的长为2x 米．
（1）用含x 的代数式表示DF ＝ ；
（2）x 为何值时，区域③的面积为180平方米； （3）x 为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
28．如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=
14
x 2
相交于点A （x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，与x 轴正半轴相交于点D ，于y 轴相交于点C ，设∆OCD 的面积为S ，且kS+8=0.
（1）求b 的值.
（2）求证：点（y 1,y 2)在反比例函数y=
16
x
的图像上. 29．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
30．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
31．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝AB•AC．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，求直线AB对应的函数表达式．
32．（1）如图①，AB为⊙O的直径，点P在⊙O上，过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q．说明△APQ∽△ABP；
（2）如图②，⊙O的半径为7，点P在⊙O上，点Q在⊙O内，且PQ＝4，过点Q作PQ 的垂线交⊙O于点A、B．设PA＝x，PB＝y，求y与x的函数表达式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B 【解析】 【分析】
求出P 点到圆心的距离，即OP 长，与半径长度5作比较即可作出判断. 【详解】
解：∵()8,6P -，
∴10= ， ∵
O 的直径为10，
∴r=5, ∵OP>5, ∴点P 在O 外.
故选：B. 【点睛】
本题考查点和直线的位置关系，当d>r 时点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内,解题关键是根据点到圆心的距离和半径的关系判断.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】
解：调整前的平均数是：260428043004
43
⨯+⨯+⨯⨯=280；
调整后的平均数是：
260528023005
525
⨯+⨯+⨯++=280； 故A 正确；
调整前的方差是：()()()222
142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣
⎦=8003；
调整后的方差是：()()()222
152602802280280530028012
⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003； 故B 错误；
调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；
最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，
调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；
最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280， 故C 正确；
调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变，
故D正确.
故选B.
【点睛】
此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键. 3．B
解析：B
【解析】
试题解析：可能出现的结果
小明打扫社区卫生打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查小华打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查打扫社区卫生的结果有1种，
则所求概率
1
.
4 P
故选B.
点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接CO,
∵CE＝OB＝CO=OD，
∴∠E＝∠1，∠2＝∠D
∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为2
3(2)3y x =++，故答案选A ．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】
已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 、2
只有选项B 的各边为1B ． 【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A. y ＝
1
2
x 是正比例函数，不符合题意； B. y ＝2x 2-1是二次函数，符合题意；
C. y
D. y ＝x 2＋
1
x
＋1不是二次函数，不符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】
解：把x=2代入程x 2+bx-6=0得4+2b-6=0， 解得b=1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解． 【详解】
解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm ， ∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】 tan A ＝
BC
AC ＝13
，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得
AB x ，
sin A ＝
BC AB 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．
解析：B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
120 000 000＝1.2×108，
故选：B．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用平均数的求法求解即可．
【详解】
这组数据10，9，10，12，9的平均数是1
(10910129)10 5
++++=
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．
二、填空题
13．不能
【解析】
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、
解析：不能
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B （0，-3）、C （2，-3），
∴BC ∥x 轴，
而点A （1，-3）与C 、B 共线，
∴点A 、B 、C 共线，
∴三个点A （1，-3）、B （0，-3）、C （2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
14．【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】
解：∵AC、BD 相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x ，则BD=8-
解析：【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 602︒=得出
()1 S 82x x =-. 【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =
⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x
所以，())21S 842x x x =-=-+
∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值
故答案为：
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
15．1，，
【解析】
【分析】
分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC 时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】
BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图
解析：1，8
3，
3
2
【解析】
【分析】
分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】
BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，
∴PD CD
AB BC
=,∴
2
36
DP
=,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．
∴PD BD
AC BC
=,∴
4
46
DP
=,∴DP=8
3
;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，
∴DP DC
AB AC
=,∴
2
34
DP
=,∴DP=
3
2
;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

综上所述，满足条件的DP的值为1，8
3
，
3
2
.
【点睛】
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．16．【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】
解：根据题意得x1+x2═
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1
解析：
1 2 -
【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．【详解】
解：根据题意得x1+x2═
1
2 b
a
-=-
故答案为
1
2 -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则
x1+x2=
b
a
-，x1•x2=
c
a
．
17．46°【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得
∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆
解析：46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.
【详解】
解：连接OB，OC，
∵直线EF是⊙O的切线，B是切点
∴∠OBF=90°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB＝54°
又∵∠D CB＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=1
(18092)44 2
-=
∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
18．【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴
影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
19．2
【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边
成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求
解析：2
【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】
如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=1
2
CK，BF=
1
2
BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=1
2
CF=
1
2
BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=BF
OF
=2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
20．【解析】
【分析】
根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】
解：∵
解析：2(1010,1010)-
【解析】
【分析】
根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．
【详解】
解：∵A 点坐标为()1,1，
∴直线OA 为y x =，()11,1A -，
∵12A A OA ∕∕，
∴直线12A A 为2y x =+，
解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24
x y =⎧⎨=⎩， ∴()22,4A ，
∴()32,4A -，
∵34A A OA ∕∕，
∴直线34A A 为6y x =+，
解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩
， ∴()43,9A ，
∴()53,9A -
…，
∴(
)220191010,1010A -，
故答案为()21010,1010-． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
21．4
【解析】
【分析】
根据题意可知，，代入数据可得出答案．
【详解】
解：由题意得出：，
即，
解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平
解析：4
【解析】
【分析】 根据题意可知，
1.6
2.8=身高教学楼高影长教学楼影长，代入数据可得出答案． 【详解】 解：由题意得出：
1.6
2.8=身高教学楼高影长教学楼影长， 即，1.62.825.2
=教学楼高 解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．
22．>
【解析】
【分析】
利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，
∴点，都在对称轴右侧的抛物线
解析：>
【解析】
【分析】
利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，
∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，
∴1y ＞2y ．
故答案为＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．
23．1，，
【解析】
【分析】
根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】
解：如图：当DP∥AB 时
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=1
如图：当P 在AB 上，即DP∥AC
∴△DC
解析：1，83，
32
【解析】
【分析】
根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】
解：如图：当DP ∥AB 时
∴△DCP ∽△BCA
∴
DC DP BC AB =即263
DP =，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC
∴△DCP∽△BCA
∴BD DP
BC AC
=即
62
64
DP
-
=，解得DP=8
3
如图，当∠CPD=∠B，且∠C=∠C时,
∴△DCP∽△ACB
∴PD CD
AB AC
=即
2
43
DP
=，解得DP=
3
2
故答案为1，
8
3
，
3
2
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．
24．【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，
△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据解析：
2
3
【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据A2B3=A2B2，得到PB1和QB1的比值.【详解】
解：∵△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，
∴∠BB1P=∠B3，∠A1B1 B2=∠A2B2B3，
∴PB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，
∴△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，
∴11
233
1
==
3
PB BB
A B BB,
11
222
1
==
2
QB BB
A B BB,
∴1231=3PB A B ，1221=2QB A B ， ∵2322=A B A B ， ∴PB 1∶QB 1=
13A 2B 3∶12A 2 B 2=2：3. 故答案为：
23
. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题
25．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO ，理由见解析；（3）S 平行四边形PMON =63
【解析】
【分析】
（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM ⊥ AD ，ON ⊥BC 得到M 、N 为AB 、CD 的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP 为平行四边形即可解题.
【详解】
（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP ∽△CBP .
（2）∠PMO=∠PNO
因为OM ⊥ AD ，ON ⊥BC ，
所以点M 、N 为AB 、CD 的中点，
又AB ⊥CD ，
所以PM=12AD,PN=12
BC ， 所以，∠A=∠APM ，∠C=∠CPN ，
所以∠AMP=∠CNP ,得到∠PMO 与∠PNO.
（3）连接CO 并延长交圆O 于点Q ，连接BD.
因为AB ⊥CD ，AM=12AD,CN=12
BC ，
所以PM=12AD,PN=12
BC. 由三角形中位线性质得，ON=
1BQ 2. 因为CQ 为圆O 直径，所以∠QBC=90°，
则∠Q+∠QCB=90°，
由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q ，
所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD ，
所以PM=ON.
同理可得，PN=OM.所以四边形MONP 为平行四边形.
S 平行四边形
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP 为平行四边形是求解（3）的关键.
26．（1）17x =-，21x =；（2）13
-
【解析】
【分析】
(1)利用求根公式法解方程即可
(2)第一、四项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，
【详解】
解：(1)()2641764=-⨯⨯-=
∴68x 342
-±===-± ∴17x =-，21x =
(2)原式411==【点睛】
本题考查的知识点有解一元二次方程和实数的运算，熟记求根公式和特殊角的三角函数值是解此题的关键.
27．（1）48－12x ；（2）x 为1或3；（3）x 为2时，区域③的面积最大，为240平方米
【解析】
【分析】
（1）将DF 、EC 以外的线段用x 表示出来，再用96减去所有线段的长再除以2可得DF 的长度；
（2）将区域③图形的面积用关于x 的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即
可；
（3）令区域③的面积为S ，得出x 关于S 的表达式，得到关于S 的二次函数，求出二次函数在x 取值范围内的最大值即可.
【详解】
（1）48－12x
（2）根据题意，得5x (48－12x )＝180，
解得x 1＝1，x 2＝3
答：x 为1或3时，区域③的面积为180平方米
（3）设区域③的面积为S ，则S ＝5x (48－12x )＝－60x 2＋240x ＝－60(x －2)2＋240 ∵－60＜0，∴当x ＝2时，S 有最大值，最大值为240
答：x 为2时，区域③的面积最大，为240平方米
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式.
28．（1）b=4(b>0) ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直线解析式求OC 和OD 长，依据面积公式代入即可得；
（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.
【详解】
（1）∵D(0,b),C(-b k
,0) ∴由题意得OD=b,OC= -b k
∴S=2
2b k
- ∴k•(2
2b k
-)+8=0 ∴b=4(b>0) （2）∵
2144x kx =+ ∴21404
x kx --= ∴1216x x ⋅=- ∴()222121************
y y x x x x ⋅=⋅=⋅= ∴点（y 1,y 2)在反比例函数y=
16x 的图像上. 【点睛】
本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题
的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键.
29．（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（3，
1），（﹣7，6），（﹣1，6），（3，6）；（2）2 9 .
【解析】
【分析】
列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率．
（1）直接利用表格或树状图列举即可解答．
（2）利用（1）中的表格，根据第三象限点（－，－）的特征求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
【详解】
解：（1）列表如下：
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2）两种情况，
∴点A落在第三象限的概率是2
9
．
30．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝1
2AD＝
1
2
AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．
31．（1）见解析；（2）
323 y x
=+
【解析】
【分析】
，
（1）连接OB，根据题意可证明△OAB∽△CAO，继而可推出OB⊥AB，根据切线定理即可求证结论；
（2）根据勾股定理可求得OA＝2及A点坐标，根据相似三角形的性质可得OB AB CO AO
=，
进而可求CO的长及C点坐标，利用待定系数法，设直线AB对应的函数表达式为y＝
kx+b，再把点A、C的坐标代入求得k、b的值即可．【详解】
（1）证明：连接OB．
∵OA2＝AB•AC
∴
OA AB
AC OA
=,
又∵∠OAB＝∠CAO，
∴△OAB∽△CAO，
∴∠ABO＝∠AOC，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB；
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABO＝90°，3
AB=OB＝1，∴()2
222
312
OA AB OB
=+=+=，
∴点A坐标为（2，0），
∵△OAB∽△CAO，
∴
OB AB
CO AO
=，
即
13
CO
=，
∴
23
CO=，
∴点C坐标为
23
⎛
⎝⎭
；
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，
则
02
23
k b
b
=+
⎧
⎪
⎨
=
⎪
，
∴
3
3
23
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴
323
33
y x
=-+．
即直线AB对应的函数表达式为
323
y x
=-+．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质、圆的切线定理、勾股定理、一次函数解析式等知识，解题的关键是正确理解题意，求出线段的长及各点的坐标．
32．（1）见解析；（2）
56
y
x
=
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可证∠APB＝90°,再根据相似三角形的判定方法：两角对应相等，两个三角形相似即可求证结论；
（2）连接PO，并延长PO交⊙O于点C，连接AC，根据圆周角定理可得∠PAC＝90°，∠C ＝∠B，求得∠PAC＝∠PQB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图①所示：
∵AB为⊙O的直径
∴∠APB＝90°
又∵PQ⊥AB
∴∠AQP＝90°
∴∠AQP＝∠APB
又∵∠PAQ＝∠BAP
∴△APQ∽△ABP．
（2）如图②，连接PO，并延长PO交⊙O于点C，连接AC．
∵PC 为⊙O 的直径
∴∠PAC ＝90°
又∵PQ ⊥AB
∴∠PQB ＝90°
∴∠PAC ＝∠PQB
又∵∠C ＝∠B （同弧所对的圆周角相等）
∴△PAC ∽△PQB ∴=PA PC PQ PB
又∵⊙O 的半径为7，即PC ＝14，且PQ ＝4，PA ＝x ，PB ＝y ∴
144x y = ∴56y x
=
． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定及其性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是综合运用所学知识．。