七年级秋季班-第13讲：分式的运算

通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键．
1、分式的乘法法则
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示
A C AC
B D BD
⋅=．2、分式的除法法则
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
用公式表示为
A C A D AD
B D B
C BC
÷=⋅=．
3、分式的乘方法则
分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即
n n
n
A A
B B
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
．
分式的运算
内容分析
知识结构
模块一：分式的乘除
知识精讲
2 / 25
4、分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
【注意】（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算；
（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．
例如：211a a
a b b b b b ÷⋅=⋅=．
【例1】 下列式子中，化简正确的有（ ）．
A ．a x a b x b +=+
B ．0x y x y +=+
C ．22
a b a b a b +=++ D ．1x y
x y
-+-
=- 【难度】★ 【答案】D
【解析】A 错误，考察分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个不为零的数，分式值
不变；B 错误，正确答案应为1；C 错误，化简不了．
【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简． 【例2】 下列计算正确的是（
）． A ．233y
xy x x
÷= B ．231
3y x x y x ÷= C ．1
x y x y
÷⋅=
D ．
211
11
a a a a a -⋅=-+ 【难度】★ 【答案】D
【解析】A 错误，正确应为：2331133y y xy x x xy x
÷=⋅=； B 错误，正确应为：2
22333393y x y y y x y x x x
÷
=⋅=；
C 错误，正确应为：2111x
x y x y y y y
÷⋅
=⋅⋅=． 【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简．
【例3】 若a b s r 、、、都是正数，则式子a b b
r s
-=可变形为（ ）． A ．rb s
a s
+= B ．as
b r s
=
+ C ．r s
a as
+=
D ．as r
b r
-=
【难度】★
例题解析
【答案】B
【解析】两边同时乘以rs ，可得：()br s b a =-，整理可得：()s r b as +=，则选B 【总结】考察分式的化简．
【例4】 计算()22
2x y x x y x x y
++÷⋅+的结果是（ ）． A ．2
2x x y
+
B ．2x y +
C ．
1y
D ．
1
1y
+ 【难度】★ 【答案】A
【解析】()22
2x y x x y x x y ++÷⋅+()22
222x x x x y x y x y x y =+⋅⋅=+++．
【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除． 【例5】 化简
224252ab b
ab a b
÷⨯，结果是（ ）．
A ．215a b
B ．22
45
a b
C ．
2
5b a
D ．
45b
【难度】★
【答案】A
【解析】224252ab b ab a b ÷⨯222411
5225ab b ab a b a b =⋅⨯=． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除． 【例6】 计算： （1）2
238_______32x yz y z x
⋅=；
（2）2
412_______9a
ab b -⋅=； （3）
43_______3xy
z z
÷=； （4）2
33_______105y y
x x
-
÷=-． 【难度】★
【答案】（1）243z x y ；（2）2
163a b
-；（3）249xy z ；（4）2x ．
【解析】（1）223284323x yz z
y z x x y
⋅=；
（2）2
24161293a a ab b b -⋅=-；
（3）2
441433339xy xy xy
z z z z z ÷=⋅=； （4）2233351051032y y y x x x x x y --
÷=-⋅=-． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．
【例7】 计算：
（1）211
_______x x x ÷
=-； （2）()224
2_______44a a a a
--⋅=+-．
【难度】★
【答案】（1）x -1；（2）2--a ．
【解析】（1）()()211111
111x x x x x x x x x x
÷
=÷=⋅-=---； （2）()()()()()
22
2224
222442a a a a a a a a a +---⋅=-⋅=--+--． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．
【例8】 计算2222
26
62x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是___________． 【难度】★★
【答案】9
1
22--x x ．
【解析】22222662x x x x x x x x --+-÷
--+-()()()()()()()()21323221x x x x x x x x -++-=÷-++-
()()()()()()()()21213232x x x x x x x x -++-=⋅-++-()()()()
1133x x x x +-=-+22
1
9x x -=-．
【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分． 【例9】 计算：
（1）22_______11a a
a a ⋅=
-+； （2）22
3
_______212
x x x x x +÷
=++--． 【难度】★★
【答案】（1）a a 1-；（2）2
3
42-++x x x ．
【解析】（1）()()222221111
_______1111a a a a a a a a a a a a a a a
+---=÷=⋅=⋅=
+-++；
（2）()()()()()()22
2
2313343_______21121222x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=++⋅=+⋅==--+---．
【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．
【例10】 先化简，再求值：
（1）()232xy x x y
x y y x y
--÷-⋅+，其中 1.5x =-，2y =； （2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+，其中12
a =，1
3b =．
【难度】★★ 【答案】（1）
4
3
；（2）5． 【解析】（1）()232xy x x y
x y y x y --÷-⋅+()()()2
1x y x y x x y x y x y y x y +--=⋅⋅=-+-， 当 1.5x =-，2y =时，原式=4
3
25.1=--
； （2）22322
32(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+()()222322322a b ab b a ab ab b b -++=+--+(
)(
)
(
)(
)
22232223
2a b ab b a ab b ab b
-++=-++-
()()()()()
22
2a b a b b a b a b b a b +-++=-+-()()()()
22a b a b b a b a b b +-+=
--+a b
a b
+=
-， 当12a =，13b =，原式=56
16531213121==-
+
．
【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．
【例11】 若1
x x
=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值． 【难度】★★ 【答案】1±．
【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭()3431
34x x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅-= ⎪+-⎝⎭，
因为x
x 1
=
，所以1±=x ，所以原式=1±． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．
【例12】 已知0132=+-a a ，则322
3
2531
a a a --++的值是________ 【难度】★★ 【答案】1-．
【解析】已知0132=+-a a ，则132-=a a 或a a 312=+，
31=+a
a （方程两边同时除以a ）． 32
232531a a a --+
+22232531a a a a =⋅--++()2
23312531
a a a a =---++ 222362531a a a a =---++2
23231a a a =--++2331231
a a a =---++
2341a a =-+
+343a a =-+14a a
=-+341=-=-． 【总结】本题主要考查分式的变形以及整体代入思想和降次思想的运用．
【例13】 已知6a b +=，2ab =-，求代数式()()2244
66a b a b a b ab +-÷÷-的值．
【难度】★★★ 【答案】-2．
【解析】()()22
4
4
66a b a b a b ab
+-÷÷-
()()()()22221
6ab a b a b a b a b a b =++-⋅
⋅+-()6
a b ab +=
， 已知6a b +=，2ab =-，所以原式=
()26
26-=-⨯．
【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．
【例14】 已知22
44450x y x y +-++=，求2
442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭的值．
【难度】★★★
【答案】2
17
-．
【解析】已知2244450x y x y +-++=，则()()22
2210x y -++=，所以2=x ，12
y =-．
2
442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫
--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭
()()()
()()
()()2
222
2222x y x y x y x y y x y x y y x y x y ++--=
⋅⋅-+-+
22
y
x y =
+，
当2=x ，12y =-时，原式=22
1122217171242-
=-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
． 【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值． 【例15】 已知2
310x x --=，求：（1）2
21x x +；（2）2
421
x x x ++的值．
【难度】★★★ 【答案】（1）11；（2）
12
1
． 【解析】已知2310x x --=，则31
=-
x
x （等式两边同时除以x ）， （1）2
2
221123211x x x x ⎛⎫
+=-+=+= ⎪⎝
⎭，
（2）24222
111
11111121x x x x x ===
+++++．
【总结】考察分式的变形，这种变形经常用到，因此要彻底理解．
1、同分母的分式加减法法则
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 2、异分母的分式加减法法则
（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．
（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
模块二：分式的加减
知识精讲
8 / 25
3、分式的综合运算
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
【例16】 计算：39_______33a b a b
ab ab
++-=--． 【难度】★
【答案】a 2
．
【解析】
3962
333a b a b b ab ab ab a ++--==---．
【总结】考察同分母分式的加减法． 【例17】 下列各式计算错误的是（
）． A ．325x y x y y
a b a b a b
+--=+++ B ．322x y x y x y
a b a b a b +-++=+++
C ．
32x y x y y
a b a b a b
+++=+++
D ．
32x y x y y
a b a b a b ++-=+++
【难度】★ 【答案】C
【解析】C 错误，正确答案为
3225x y x y x y
a b a b a b ++++=+++．
【总结】考察同分母分式的加减法． 【例18】 计算：
（1）
51________1212x x
+=； （2）2_______22
x x x -=--； （3）22
______a b a b a b -=--；
（4）
33________a b a b
a b a b
++-=++． 【难度】★ 【答案】（1）12x
；（2）1；（3）b a +；（4）b a b
a +-22．
【解析】（1）
5161
1212122x x x x
+==； （2）
221222
x x x x x --==---； （3）()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b +---===+----；
（4）3322a b a b a b
a b a b a b
++--=+++． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．
例题解析
【例19】 已知2x =，3y =，则
22
_______x y x y y x
+=--． 【难度】★ 【答案】5．
【解析】()()2222235x y x y x y x y x y x y y x x y x y +--+===+=+=----． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．
【例20】 化简：2
22m m m ---的结果是_____________．
【难度】★
【答案】2
4
-m ．
【解析】()()22222244
2222222m m m m m m m m m m m m m -+---=-=-=
------．
【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要化成最简分式，另外注意符号的变化． 【例21】 求下列分式的最简公分母 （1）22325
a b ab abc -，，；
（2）()2231
11
x x x x +-，，；
（3）
2
263
562
x x x x -+--，；
（4）
2
211
211a a a a a a a a
-+-++-，，．
【难度】★
【答案】（1）c b a 22；（2）()()11-+x x x ；（3）()()()132+--x x x ；（4）()()2
11a a a +-．
【解析】单项式取字母的最高次数，多项式先进行因式分解彻底，再取各因式的最高次数． 【总结】本题主要考查最简公分母的概念．
【例22】 通分：
（1）238x y -，3512x yz ，33
20xy z
-；
（2）1(1)
x x x +-，21x x -，22
21x x -+； （3）
2m n mn -，2n m mn -，22
1m n -；
（4）()()1a b a c --，()()1b c b a --，()()
1
c a c b --．
【难度】★ 【答案】见解析．
【解析】（1）22333458120xy z x y x y z -=-，233355012120y x yz x y z =，2
33331820120x xy z x y z
--=；
（2）221(1)(1)
(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=--+，()()()222
1111x x x x x x x -=--+，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-+-+； （3）()()()22m m n m n mn mn m n m n -+=-+-，()()()
22n m n n
m mn mn m n m n +=-+-，
()()
221mn
m n mn m n m n =-+-；
（4）
()()
()()()1
b c a b a c a b a c b c -=
-----，()()()()()()1
a c
b
c b a a b b c a c --=-----，
()()
()()()1
a b
c a c b a b a c b c -=
-----．
【总结】本题一方面考查最简公分母的概念，另一方面考查利用分式的基本性质进行通分． 【例23】 计算：
（1）212293x x +--； （2）2431
222x x x x ++----． 【难度】★ 【答案】（1）32+-
x ；（2）()()
122
+-+x x x ． 【解析】（1）
()()()()()()22
2323122122
93933333
x x x x x x x x x x +-+=-==----+-+-+； （2）2431222x x x x ++----()()4312221x x x x =-+---+ ()()()()()()
112
212121x x x x x x x x ++=
+=-+-+-+．
【总结】考察异分母分式的加减法，注意先通分再加减．
【例24】 小明上学时从家到学校要走一段上坡路，途中平均速度为m 千米/时，放学回家
后， 沿原路返回，平均速度为n 千米/时，则小明上学和放学来回一次路上的平均速度为（ ）千米/时． A ．2m n + B ．2mn
m n +
C ．
mn
m n
+ D ．
m n mn +
【难度】★★ 【答案】B
【解析】设路程为1，则上坡路的时间为m 1，下坡路的时间为n
1
，所以小明上学和放学来
回一次路上的平均速度为
n
m mn
n
m +=
+2112 【总结】本题主要考察分式运算在实际问题中的应用，本题注意对平均速度的理解．
【例25】 计算：
（1）32231131
x x x x x x x -+⋅-
---；
（2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪
-+--⎝⎭
； （3）2
331()y x y x y x x y x y ⎛⎫
÷-÷ ⎪--⎝⎭；
（4）()22
221
1121a a a a a a +-÷+---+； （5）22321
113x x x x x x x +++-⋅
--+；
（6）22
1369
324
a a a a a a a +--+-÷-+-． 【难度】★★
【答案】（1）x ；（2）
()22x x
+；（3）0；（4）1-；（5）11x -
-；（6）3
3
a -． 【解析】（1）322
31131x x x x
x x x -+⋅----()()()2
231113111
x x x x x x x x x x x x -+=⋅-=-+----- ()2111
x x x x x x x --===--； （2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭()()()2
222222x x x x
x x x ⎡⎤+-+=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
()()22222222222x x x x x x x x x
x x x ++++--⎛⎫=+⋅
=⋅= ⎪---⎝⎭； （3）2
331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭
()233323
330()y y y y y x y x x x x y x x =⋅-⋅-=-=-； （4）()222211121a a a a a a +-÷+---+()()()()
2
211112111
111111a a a a a a a a a a a ++-+-=⋅-=-==--+----； （5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+()()()2
1311
1113111x x x x x x x x x x x x +++=-⋅=-=---++---；
（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-()()()()()()
2
232213133222323a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-=-÷=-⋅-++--+- 123
333
a a a a a +-=
-=---．
【总结】考察分式的加减法运算，注意分子分母中含有多项式时，要先进行因式分解．
【例26】 若()()211212x A B
x x x x +=+++++恒成立，则_________A B +=．
【难度】★★ 【答案】2． 【解析】若
()()211212
x A B
x x x x +=+++++恒成立，
则
()()()()()()()()()()()
21221
12121212A x B x A B x A B x x x x x x x x x ++++++=+=
++++++++恒成立， 则⎩
⎨⎧=+=+122
B A B A ，所以2=+B A ．
【总结】考察分式的加减法，注意先通分再加减．
【例27】 已知111a b a b +=+，则b a
a b +的值是__________．
【难度】★★ 【答案】-1． 【解析】已知
111a b a b +=+，则b
a a
b b a +=+1，可得()ab b a =+2，即ab b a -=+22， 所以12
2-=+=+ab
b a b a a b ．
【总结】考察异分母分式的加减法和分式的变形运用．
【例28】 已知1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b
=+++，则M 与N 的大小关系是 （
）．
A ．M N =
B ．M N >
C ．M N <
D ．不确定
【难度】★★ 【答案】A 【解析】N M -111111a b a b a b ⎛⎫=
+-+ ⎪++++⎝⎭1111a b a b --=
+++()()()()()()
111111a b b a a b -++-+=++ ()()
1111b a ab a b ab
a b +--++--=
++221ab ab a b -=
+++0=，所以M N =． 【总结】本题主要考察分式的比较大小．
【例29】 若分式M 满足()2222
4222y x y
M x y x xy y x xy y +⋅++=
----，求M 的值． 【难度】★★
【答案】()21
y x +．
【解析】∵()2222
4222y x y
M x y x xy y x xy y +⋅++
=
----， ∴()2
2222422x y y M x y x xy y x xy y +⋅+=-----22
22x y x xy y -=--()()22x y
x y x y -=-+1x y
=+， ∴()
2
1
M x y =
+．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意法则的准确运用．
【例30】 先化简，后求值：22222222m mn m n mn
m n m mn n m n n m -+-+
-+++，其中1132m n =-=，． 【难度】★★ 【答案】-2．
【解析】22222222m mn m n mn m n m mn n m n n m -+-+-+++()()()()()2
=m m n m n mn m n m n mn m n m n -+-+-+++ 11m m
m n m n m n m n
=
-+=++++， 当11
32m n =-=，，原式26
131
21313
1
-=-
=+--
=
． 【总结】本题主要考查分式的加减运算，注意法则的准确运用．
【例31】 计算：2
4
11241111x x x x +++-+++． 【难度】★★★
【答案】8
18
x -． 【解析】2411241111x x x x +++-+++=224224111x x x =++-++44
8448111x x x =+=-+-． 【总结】本题主要考查异分母分式的加法，注意先通分，通分时注意平方差公式的运用．
【例32】 计算：()()()()()()
222x y z y z x z y x
x y x z y x y z z y z x ------++------．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】()()()()()()222x y z y z x z y x
x y x z y x y z z y z x ------++------
()()()()()()
x y x z y z y x z y z x
x y x z y x y z z y z x -+--+--+-=++------
111111x z x y y x y z z y z x
=
+++++
------
0=．
【总结】注意分式规律b a ab b a 1
1+=+的运用． 【例33】 已知a b c 、、三个数满足1abc =，求式子111
111
a a
b b b
c c ca ++++++++的值．
【难度】★★★ 【答案】1．
【解析】已知a b c 、、三个数满足1abc =，则b
ac 1=，
111
111
a a
b b b
c c ca ++++++++
11
111
abc a ab abc b bc c b
=
++
++++++ 1111bc b
b b
c b bc b bc =++++++++
11
bc b
b b
c ++=
++
1=．
【总结】本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将异分母分式转化为同分母分式．
【习题1】 化简：
（1）_____x y
x y y x -=--；
（2）
2_____a a b
a b b a
++=--． 【难度】★ 【答案】（1）y
x y
x -+；（2）1． 【解析】
x y x y x y y x x y
+-=---； （2）
21a a b a b
a b b a a b
+-+==---． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意相反数的变形． 【习题2】 计算：
（1）3212_______11
x x x x -+-=-+；
（2）2222______42x x x x ⎛⎫+-
= ⎪--⎝⎭； （3）()22
2
2_________x y x y x y y x
+⋅+=--． 【难度】★
【答案】（1）1-x ；（2）1；（3）y x +．
【解析】（1）()()()()
2
322211122121
111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+++++--=-=-==--+-+++++；
（2）()()()22222222
142222222x x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+--=-=-== ⎪
--+-----⎝⎭
； （3）()222222
2
2x y x y x y x y x y x y y x x y y x x y
-+⋅+=+==+-----． 【总结】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，注意法则的准确运用． 【习题3】 代数式211
x x
x x +÷--有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x ≠且0x ≠ C ．2x ≠且1x ≠ D ．2x ≠-且0x ≠
【难度】★ 【答案】B
【解析】分式有意义的条件是分母不为零． 【总结】考察分式有意义的条件．
随堂检测
【习题4】 化简：2n n m m m
⎛⎫
-÷ ⎪-⎝⎭的结果是（
）．
A ．1m --
B ．1m -+
C ．mn m -+
D ．mn n --
【难度】★ 【答案】B
【解析】()211m m n n n m m m m m n -⎛⎫⎛⎫-÷=-⋅=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．
【总结】考察分式的乘除运算，注意先约分后乘除． 【习题5】 给定下面一列分式：3x y ，52x y -，73x y ，9
4
x y
-（其中0x ≠），根据你发现的规
律， 给定的此列分式中的第7个分式为____________． 【难度】★ 【答案】715
y
x ．
【解析】奇数项为正号，偶数项为负号．
【总结】分本题主要考查找规律，次数与项数之间的关系．
【习题6】 已知2320x x --=，那么代数式
()3
211
1
x x x --+-的值是_____________．
【难度】★★ 【答案】2． 【解析】()
()
()()()
()()3
3
22
21111111321
1
x x x x x x x x x x x -----+-=
=
=--+=-=--原式．
【总结】本题主要考查分式的除法，注意整体因式的运用．
【习题7】 若22560a ab b -+=，则________a b
b +=． 【难度】★★ 【答案】3或4．
【解析】若22560a ab b -+=，则()()032=--b a b a ，所以b a 2=或b a 3=， 当b a 2=时，
32=+=+b b b b b a ；当b a 3=时，43=+=+b
b
b b b a ． 【总结】考察两个未知数的十字相乘法因式分解以及整体思想的运用．
【习题8】 当整数x 为何值时，分式22322
212x x x x x -+⋅
-+-的运算结果为整数？ 【难度】★★
【答案】2031x x x x ====-或或或．
【解析】()()()
22
21232222
=212211x x x x x x x x x x ---+⋅⋅=-+----， 要使最后的结果为整数，则112x -=±±或，所以2031x x x x ====-或或或． 【总结】考察分式的乘法运算，注意先对多项式因式分解再约分． 【习题9】 计算：
（1）2
3
324b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（2）
2213
6932
x x x x x x +-÷⋅-+-+；
（3）2222623
5623
x x x x x x x x +-+-÷
-+--；
（4）222
212111
a a a a a a a a --÷⋅
++++； （5）()()()22218334423x x
x x x x x ⎡⎤--÷+⋅⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦．
【难度】★★ 【答案】见解析．
【解析】（1）2
3
232232
364162442727b b b b a a a a a a a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷÷-=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（2）
()()
2221323
3169322
3x x x x x x x x x x x +-+-÷⋅=⋅-⋅=--+-++-； （3）()()()()()()()()222232316231
562332311
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--++-+-+÷=⋅=
-+----+--；
（4）()()()()22222
2111121111111a a a a a a a a a
a a a a a a a a a +---+÷⋅=⋅⋅=++++-+++； （5）()()
()
()()()
()2
2
2332332332
23222x x x x x x x x x x x x +-+-+--=
÷
=⋅=------原式． 【总结】考察分式加减乘除混合运算，注意法则的准确运用．
【习题10】 化简求值：22332
3212a a a a a a a ++÷-
++++，其中 1.2a =． 【难度】★★
【答案】1
4
-．
【解析】()()()223332122
=321212322
a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-÷-⋅-=+++++++++，
当 1.2a =时，原式 1.221
1.224
-=
=-+． 【总结】考察分式的混合运算，注意法则的准确运用．
【习题11】 已知1a =-，10b =-，8m =，9n =，求()111m
m n m n
n n n n n n ab a b a b a b a a b
+++++⋅÷
++的值． 【难度】★★ 【答案】1．
【解析】()111m
m n m n
n n n n n n ab a b a b a b a a b
+++++⋅÷
++ ()()m n m n m m
n n n a a b b a b a b a b a a b ⋅⋅⋅=÷++
()
()m n m n n n n m m
a a
b b a a b a b a b a b ⋅⋅⋅+=⋅+
1m a ==．
【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意观察公因式的提取．
【习题12】 甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤a 元和b 元
()a b ≠，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问甲、乙两人买大米谁平均价
格更低？ 【难度】★★ 【答案】乙． 【解析】甲的平均价为
2
200100100b a b a +=+；乙的平均价为()b a ab
ab
b a b a +=
+=+100200100100200， 因为()()()
02222222
>++=+-+=+-+b a b a b a ab b a b a ab b a ，所以b a ab b a +>+2， 所以乙买大米平均价更低．
【总结】本题主要考查分式的运算在实际问题中的运用．
【习题13】 计算：2345
1234x x x x x x x x ++----+++--． 【难度】★★★ 【答案】()()()()432110
10--+++-x x x x x ．
【解析】2345
1234
x x x x x x x x ++----+++-- 11213141
1234x x x x x x x x ++++----=
--+++-- 1111
1(1)(1)(1)1234
x x x x =+-+--+-++-- 11111234
x x x x =
-+-++-- ()()()()
11
1234x x x x =-++--
()()()()1010
1234x x x x x -+=
++--．
【总结】分式计算时，先观察分式的规律，适当的时候作简便运算．
【习题14】 已知4360x y z --=，270x y z +-=，0xyz ≠，求2x y z
x y z +--+的值．
【难度】★★★
【答案】3
4
．
【解析】已知4360x y z --=，270x y z +-=，则z y 2=，z x 3=， 所以
3244
232233x y z z z z z x y z z z z z +-+-===-+-+．
【总结】利用解方程组的思想消元，得出未知数之间的关系，然后通过约分求出分式值． 【习题15】 已知1ab =，试说明111
a b a b +=++． 【难度】★★★ 【答案】见解析
【解析】已知1ab =，则b a 1=，所以1
1111111111
1a b b b b
b a b b b b b b ++=+=+==+++++++．
20 / 25
【习题16】 已知x a y z =+，y b x z =+，z c x y
=+，求111a b c a b c +++++的值． 【难度】★★★
【答案】1．
【解析】
111a b c a b c +++++
1111
x z y y z y z x z x y z y z x z y z x z y y z x y x z x y z x y z x y z y z x z x y x y z
x y z x y z x y z x y z x y z +++=++
+++++++++=++
+++++++++=
++++++++++=
++= 【总结】本题计算比较复杂，解题时注意观察规律，将难度降低．
【作业1】 计算：
（1）22
5
43125y x y xy x ⎛⎫⋅
⋅- ⎪⎝⎭
；
（2）22226y x
x y x x y
⎛⎫÷-⋅÷ ⎪⎝⎭；
（3）22362
444
x x x x x -+÷-++；
（4）2
3
2
32243323a b b b a a ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
； （5）2
2
4
22242x y y x x ax a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫
÷⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭． 【难度】★
【答案】（1）-1；（2）y x 26-；（3）3；（4）232a
b
-；（5）2104a x ．
【解析】（1）22
5
431125y x y xy x ⎛⎫
⋅
⋅-=- ⎪⎝⎭
；
（2）22
2
2222221666y x x x x x y x x y x y y y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⋅÷=⋅-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
课后作业
（3）()()()()2
22322362
3444222
x x x x x x x x x x -+-+÷=⋅=-++-++；
（4）2
3
2
3632
22462243162723239893a b b a b b
b b a a b a a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=-
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
； （5）2
2
4
222244102242241644216x y y x x y a x x x x ax a y a a ⎛⎫---⎛⎫
⎛⎫
÷⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用． 【作业2】 计算：
（1）222931x x
x x x --÷
-+；
（2）2
221111a a a a a a a -+⎛⎫
÷⋅ ⎪---⎝⎭
． 【难度】★ 【答案】（1）()13-+-
x x x ；（2）1
1
-+-a a ． 【解析】（1）()()()()()()22233139311131
x x x x x x x x x x x x x x x +-++--÷=⋅=--++---；
（2）()()()()()2
2
22
2111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+⎛⎫÷⋅=⋅⋅=- ⎪---+--⎝⎭-． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用． 【作业3】 计算： （1）
22______a b b a
a b b a a b
++-=---； （2）231
______222x x x x x x -++-=---；
（3）2222
2
22222
________x y x y x y y x x y ++-=---； （4）22
2223121_________232323x x x x x x x x x -+--+=------；
（5）
2________b a c b c
a b c b a c b a c +-+-=-+----． 【难度】★
【答案】（1）-1；（2）2x --；（3）2
222y
x y --；（4）2222
23x x x x ----；（5）-2． 【解析】（1）
22221a b b a a b b a a b
a b b a a b a b a b
++---++-===------；
（2）()()2
2231314
222222x x x x x x x x x x x x x
---+-+-+-===-------；
（3）()2222
22222
222222222
2
2x y x y x y x y y x y y x x y x y x y --+++-==------； （4）()2222
222222
31213121222323232323
x x x x x x x x x x x x x x x x x x --++--+----+==----------； （5）()()2222222b a c b c b a c b a c b c
a b c a b c b a c b a c b a c b a c b a c
-++-----+--++-====--+----------．
【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．
【作业4】 如果m 为整数，那么使分式3
1
m m ++的值为整数的m 的值有（
）个．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【难度】★★
【答案】C
【解析】3122
1111m m m m m +++==++++，
要使分式值为整数，则112m +=±±或，所以整数m 的值有4个． 【总结】题目中的分式可以进行分离常数，然后再讨论整数取值．
【作业5】 分式
251126x x x -+-是由分式2A x +与23
B
x -相加得到，则A 、B 应为（ ）
A ．511A x
B =⎧⎨=-⎩ B ．11
5A B x =-⎧⎨=⎩
C ．13A B =-⎧⎨=⎩
D ．3
1A B =⎧⎨=-⎩
【难度】★★ 【答案】D 【解析】
()()()()()()()6
23223222322323222-+-++=
-+++-+-=-++x x A B x B A x x x B x x x A x B x A 所以252311A B B A ⎧+=⎨
-=-⎩，解得：3
1A B =⎧⎨=-⎩．
【总结】考察异分母分式的加减法通分的方法． 【作业6】 计算：
（1）222555ab b a b
ab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅-
⎪-+-⎝⎭
； （2）()()22
22222
2
(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y
+⋅+--÷-+--；
（3）2
2422
442222
a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷-
⎪-+-+-⎝⎭． 【难度】★★
【答案】（1）ab 5；（2）y x -；（3）22
22
ab a a b --．
【解析】（1）222555ab b a b ab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅- ⎪-+-⎝⎭()()()55b a b a b
b a b a a b a b a b ⎡⎤+=++⋅-
⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦ ()()
()555b a b a a b
b a b a a b a b a b a b +=
⋅
++⋅-
-++-55b b ab ab a b
a b =+-=--；
（2）()()22
222222
(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y
+⋅+--÷-+-- ()()()()()2
2
2
2xy x y x y x y x y x y x y x y -=+⋅+-+---
()2
222x y x y xy x y x y x y x y x y
-=+-==-----； （3）
2
2422
44222
2
a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷- ⎪-+-+-⎝⎭
()()()2442
222
222222a b a a b a b a b b a a b a b a b =⋅-÷--+--++ ()()
()2
2
224
2
2
2
4
22
2222a
b ab a
b a b a b a a b a b +=-⋅
----+ 2222
22222
2
ab a b b a b a b a b
+=-+--- 22
22
ab a a b -=-．
【总结】考察分式的加减乘除运算，注意乘法分配律的应用． 【作业7】 已知2
10253a a b ++=--，求代数式
()
4
32222
2
32
2b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-的值．
【难度】★★
【答案】8
45
-．
【解析】已知2
10253a a b ++=--，所以()2
530a b ++-=，则53a b =-=，．
()
4
322222
322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-()()()()()2
42
23a a b b a b b ab b b a b a b a
a b -+=⋅⋅=+---， 当53a b =-=，时，原式()()
8
4553352
-
=--⨯-=
． 【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值．
【作业8】 甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每
500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种
茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y ． 【难度】★★ 【答案】4:5．
【解析】有题意可得：()()y x y x ％％10140101504050-++=+，则解得：5:4:=y x ． 【总结】考察分式的运算在实际问题中的应用．
【作业9】 计算：
111
1
1(1)(2)(2)(3)
(99)(100)
x x x x x x x ++++
-------．
【难度】★★★
【答案】()()1991199
---x x x ．
【解析】1111
1(1)(2)(2)(3)
(99)(100)
x x x x x x x ++++
-------
1111111
1122399100
x x x x x x x =+-+-++
-------- 11111100
x x x =+---- 211100x x =
--- 2(100)(1)
(1)(100)
x x x x ---=--
()()199
1100x x x -=
--．
【总结】考察有规律的分数运算，总结出规律为
()1
1
111+-=+n n n n ，类似分数的裂项运算．
【作业10】 已知234a b c ==，求22
a a
b a
c a b c a b c
--⋅
---+的值． 【难度】★★★
【答案】34
．
【解析】已知
234
a b c
==，则可设234a k b k c k ===，，， ()2222224
2343
a a
b
c a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．
【总结】考察分式的乘法运算，遇比设未知数进行约分求值是一种常用的方法．
【作业11】 求证：()()()()()()
222
b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a ---++=++---------．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】()()()()()()b c c a a b
a b a c b c b a c a c b ---++------
()()()()()()()()()()()()
a c a
b b a b
c c b c a a b a c b c b a c a c b ---------=
++
------ 111111
a b a c b c b a c a c b =-+-+------- 111111
a b c a b c a b c a b c =+++++------ 222
a b c a b c
=
++---． 【总结】本题综合性较强，主要考查分式的变形化简，解题时注意观察分子分母间的关系．。