玉溪市重点中学2023届数学高一上期末综合测试试题含解析

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设 的最小正周期为 ,则 ,
解得 ,即最小正周期的取值范围时 .
故答案为
【点睛】本题考查直线和平面所成的角的定义和范围,判断直线与平面所成角是直线与平面α内所
有直线成的角中最小的一个,是解题的关键
16、④
【解析】利用正方体可判断①②的正误,利用公理3及其推论可判断③④的正误.
【详解】如图,在正方体 中, , ,
但是 异面,故①错误.
又 交于点 ,但 不共面,故②错误.
1、C
【解析】采用拼凑法,结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 , ,当且仅当 时取到等号,故 的最小值是3.
故选:C
2、B
【解析】两条直线之间的距离为 ,选B
点睛:求函数最值,一般通过条件将函数转化为一元函数,根据定义域以及函数单调性确定函数最值
3、D
【解析】 是奇函数,故 ;又 是增函数, ,即 则有 ,解得 ,故选D.
20、(1) (2)x=2或15x﹣8y﹣30=0
【解析】(1)由圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上,可设圆C的圆心为(a,2a﹣2),半径为r,再由圆C过点A(1,4),B(3,6)两点,列关于a,r的方程组,求解可得a,r的值,则圆C的方程可求;
(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=2,求得M,N的坐标,可得|MN|=2 ,满足题意;当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣2),则kx﹣y﹣2k=0,由|MN|=2 ,可得圆心到直线的距离为1,由点到直线的距离公式列式求得k值,则直线l的方程可求
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想,结合奇函数的性质将问题转化为
,再利用单调性继续转化为 ,从而求得正解.
4、D
【解析】求出集合A,再求A与B的交集即可.
【详解】∵ ,
∴ .
故选:D.
5、C
【解析】由已知可得 ,从而可得函数图象
【详解】对于y=x+ ,当x>0时,y=x+1;当x<0时,y=x-1.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
即 ,故其图象应为C.
故选:C
6、A
【解析】借助中间量 比较大小即可.
【详解】解:因为 ,
所以 .
故选:A
7、B
【解析】“全称命题”的否定是“特称命题” 根据全称命题的否定写出即可
【详解】解:命题P:“ , ”的否定是: ,
故选B
【点睛】本题考察了“全称命题”的否定是“特称命题”,属于基础题.
8、A
,
,
故本题正确答案为
10、D
【解析】依题意, ,根据基本不等式,有 .
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11、
【解析】由函数解析式,先求得 ,再求得 代入即得解.
【详解】函数 ,则 = = ,故答案为 .
【点睛】本题考查函数值的求法,属于基础题.
12、
【解析】该几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积,根据直观图分别进行求解即可.
C. , D. ,
8.已知函数 , 的图象如图,若 , ,且 ,则 ( )
A.0B.1
C. D.
9.定义在 上的函数 满足 ,当 时, ,当 时, .则 =( )
A.338B.337
C.1678D.2013
10.设 ,若 ,则 的最小值为
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
【详解】该几何体的直观图如图所示,
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.
两个四棱柱的体积和为 .
交叉部分的体积为四棱锥 的体积的2倍.
在等腰 中, 边上的高为2,则
由该几何体前后,左右上下均对称,知四边形 为边长为 的菱形.
设 的中点为 ,连接 易证 即为四棱锥 的高,
在 中,
20.已知圆 经过 , 两点,且圆心 在直线 上
( )求圆 的方程
( )过 的直线 与圆 相交于 , 且 ,求直线 的方程
21.已知函数 ,(其中 )
(1)求函数 的值域;
(2)如果函数 在 恰有10个零点,求 最小正周期的取值范围
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
11.已知函数 ,则 =____________
12.下图是某机械零件的几何结构,该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的,且前后,左右、上下均对称,每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形,高为4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为________.
13.如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD 中点,若 ,则 ______.
如果两个平面有3个不同公共点,且它们共线,则这两个平面可以相交,故③错误.
如图,因为 ,故 共面于 ,
因为 ,故 ,故 即 ,
而 ,故 ,故 即 即 共面,故④正确.
故答案为:④
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1) ;(2) , ;(3)见解析
A. B.
C. D.
3.函数 在 单调递增,且为奇函数,若 ,则满足 的 的取值范围是
A. B.
C. D.
4.已知集合 ,则 ()
A. B.
C. D.
5.函数的 图象是()
A. B.
C. D.
6.已知 ,则 、 、 的大小关系为()
A. B.
C. D.
7.命题P:“ , ”的否定为
A. , B. ,
14、4
【解析】根据幂函数的定义和单调性,即可求解.
【详解】解: 为递增的幂函数,所以 ,即 ,
解得: ,
故答案为:4
15、
【解析】根据直线l与平面α所成角是直线l与平面α内所有直线成的角中最小的一个,直线l与平
面α所成角的范围,即可求出结果
【详解】由于直线l与平面α所成角为60°,直线l与平面α所成角是直线l与平面α内所有直线成的角中最小的一个,而异面直线所成角的范围是(0, ],直线m在平面α内,且与直线l异面,故m与l所成角的取值范围是 .
(3)因为 ,所以 .
得: .
所以,当 即 时, 在区间 上的最小值为 .
当 即 时, 在区间 上的最大值为 .
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式,由函数的最值求出 ,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,正弦函数的单调性以及定义域、值域,属于基础题
18、(1)见解析;(2)见解析
【解析】(Ⅰ)由已知得 , ,从而 平面 ,由此能证明 ;(Ⅱ)连接 与 相交于 ,连接 ,由已知得 ,由此能证明 平面
【详解】解:(1)∵圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上,
∴设圆C的圆心为(a,2a﹣2),半径为r,
又∵圆C过点A(1,4),B(3,6)两点,
∴ ,解得 ,
则圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣4)2=4;
(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=2,
联立 ,
解得M(2,4 ),N(2,4 ),
此时|MN| ;
其中正确说法的序号是______
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
0
0
2
0
0
(1)请将上表数据补充完整;函数 解析式为 =(直接写出结果即可);
(2)求函数 的单调递增区间;
【解析】根据图象求得函数解析式,再由 , ,且 ,
得到 的图象关于 对称求解.
【详解】由图象知: ,
则 , ,
所以 ,
因 在函数图象上,
所以 ,
则 ,
解得 ,
因为 ,则 ,
所以 ,
因为 , ,且 ,
所以 的图象关于 对称,
所以 ,
故选:A
9、B
【解析】 , ,
即函数 是周期为 的周期函数.
当 时, ,当 时, .
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣2),则kx﹣y﹣2k=0,
∵|MN|=2 ,
∴圆心到直线的距离为d ,解得k ,
则直线l的方程为15x﹣8y﹣30=0,
综上,直线l的方程为x=2或15x﹣8y﹣30=0
【点睛】本题考查圆的方程的求法,考查直线与圆位置关系的应用,考查垂径定理的应用,是中档题
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1.若 ,则 的最小值是()
A.1B.2
C.3D.4
2.设两条直线 方程分别为 , ,已知 , 是方程 的两个实根,且 ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
(3)求函数 在区间 上的最大值和最小值
18.在底面为平行四边形的四棱锥 中, , 平面 ,且 ,点 是 的中点
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求证: 平面 ;
19.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象的一部分如图所示
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当 时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x值
试题解析:(Ⅰ)由 平面 可得 AC,
又 , 故AC 平面PAB,所以 .
(Ⅱ)连BD交AC于点O,连EO,
则EO是△PDB的中位线,所以EO PB
又因为 面 , 面 ,
所以PB 平面
19、(1) (2) , , ,
【解析】试题分析:(1)由图象知 , ,从而可求得 ,继而可求得 ;
(2)利用三角函数间的关系可求得 ,利用余弦函数的性质可求得 时 的最大值与最小值及相应的值
又 所以
因为 ,所以 ,
所以求体积为
故答案为:
【点睛】本题考查空间组合体的结构特征.关键点弄清楚几何体的组成,属于较易题目.
13、
【解析】以 , 为基底,由平面向量基本定理,列方程求解,即可得出结果.
【详解】设 ,
则 ,
由于
可得 ,解得 ,所以
故答案为:
【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用,考查向量的加法运算,考查运算求解能力,属于中档题.
14.已知幂函数 在 为增函数,则实数 的值为___________.
15.直线l与平面α所成角为60°,l∩α=A, 则m与l所成角 的取值范围是_______.
16.给出下列说法:
①和直线 都相交的两条直线在同一个平面内;②三条两两相交的直线一定在同一个平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两相交且不过同一点的四条直线共面
21、(1)
(2)
【解析】(1)利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简,将 化为只含有一个三角函数的形式,然后利用三角函数性质求解;
(2)将 在 恰有10个零点变为 在在 恰有10个解的问题,列出相应不等式即可求解.
【小问1详解】

由 ,得 ,
可知函数 的值域为 ,
【小问2详解】
令 ,即 ,
所以函数 在 恰有10个零点,即 在在 恰有10个解,
试题
∵ ,
∴ ,于是有
(2)
.
∵ ,

当 ,即 时, ;
当 ,即 时,
考点:(1)由 的部分图象求其解析式;(2)正弦函数的定义域和值域.
【方法点晴】本题考查由 的部分图象确定其解析式,考查余弦函数的性质,考查规范分析与解答的能力,属于中档题.由三角函数图象求解析式时,主要是通过图象最高点或最低点得到振幅 ,通过图象的周期得到 ,最后代入特殊点得到 的值;在求三角函数最值时,主要是通过辅角公式将其化为一般形式 或 ,在得最值.
【解析】(1)由函数的最值求出 ,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,可得函数的解析式
(2)利用正弦函数的单调性,求得函数 )的单调递增区间
(3)利用正弦函数的定义域、值域,求得函数 )在区间 上的最大值和最小值
试题解析:
(1)
0
0
2
0
0
根据表格可得
再根据五点法作图可得 ,
故解析式为:
(2)令 函数 的单调递增区间为 , .
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