高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量平面向量、解三角形

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第2讲平面向量、解三角形
【课前热身】
第2讲平面向量、解三角形
(本讲对应学生用书第4~6页)
1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若B C=e1,D C=e2,则O C=.
【答案】1
2(e1+e2)
【解析】因为O是矩形ABCD对角线的交点,B C=e1,D C=e2,所以O C=1
2(B C
+D C)=1
2(e1+e2).
2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a=(6,-3),b=(2,x+1),若a⊥b,则实数x=.
【答案】3
【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,所以12-3x-3=0,解得x=3.
3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC中,设角A,B所对的边分别为a,b.若2a sin B=
3,则角A=.
【答案】π3
【解析】在△ABC 中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B=
3sin B ,因为B 为△ABC
的内角,所以sin B ≠0,所以sin
A=3
2.又因为△ABC 为锐角三角形,所以A ∈π02⎛⎫ ⎪
⎝⎭,,所以A=π3.
4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1,0),b =(2,1),则当k= 时,向量k a -b 与a +3b 平行.
【答案】-1
3
【解析】由题设知向量a 与b 不平行,因为向量k a -b 与a +3b 平行,所以1k =-1
3,即k=-13.
5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=7,b=4
3,c=13,则△ABC 最小的内角为 .
【答案】π
6
【解析】因为13<43<7,所以C<B<A ,又因为cos C=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=3,所以C=π6.
【课堂导学】
平面向量与三角函数综合
例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α,sin α),n =(
3,-1),
α∈(0,π).
(1)若m ⊥n ,求角α的大小; (2)求|m +n |的最小值.
【解答】(1)因为m =(cos α,sin α),n =(3,-1),且m ⊥n ,
所以
3cos α-sin α=0,即tan α=3.
又因为α∈(0,π),所以α=π3.
(2)因为m +n =(cos α+
3,sin α-1),
所以|m +n |=22
(cos 3)(sin -1)αα++
=523cos -2sin αα+
=
π54cos 6α⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭. 因为α∈(0,π),所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭,,
故当α+π6=π,即α=5π
6时,|m +n |取得最小值1.
正弦定理、余弦定理的应用
例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,
c.已知sin 2
-2
A B
+sin A sin B=22
4.
(1)求角C的大小;
(2)若b=4,△ABC的面积为6,求c的值.
【解答】(1)sin2
-
2
A B
+sin A sin B
=1-cos(-)
2
A B
+
2sin sin
2
A B
=1-cos cos-sin sin
2
A B A B
+
2sin sin
2
A B
=1-cos cos sin sin
2
A B A B
+
=1-(cos cos-sin sin)
2
A B A B
=1-cos()
2
A B
+
=
1-cos(π-)
2
C
=1cos
2
C
+
=
22
4
+

所以cos C=
2
2.又0<C<π,所以C=
π
4.
(2)因为S=1
2ab sin C=
1
2a×4×sin
π
4=2a=6,
所以a=32.
因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×
2
2=10,所以c=10.
变式1(2016·南通一调)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2a cos B,b=2,求△ABC的面积.
【解答】(1)在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得
222
-
2
a b c
ab
+
=-
1
2,即cos C=-
1 2.
因为0<C<π,所以C=2π3.
(2)方法一:因为c=2a cos B,由正弦定理,得
sin C=2sin A cos B.
因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),
所以sin(A+B)=2sin A cos B,即sin A cos B-cos A sin B=0,所以sin(A-B)=0.
又-π
3<A-B<
π
3,所以A-B=0,即A=B,所以a=b=2.
所以△ABC的面积为S
△ABC =
1
2ab sin C=
1
2×2×2×sin

3=3.
方法二:由c=2a cos B及余弦定理,得c=2a×
222
-
2
a c b
ac
+
,化简得a=b,所以
△ABC的面积为S
△ABC =
1
2ab sin C=
1
2×2×2×sin

3=3.
变式2(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan A tan B=1.
(1)求角C的大小;
(2)若A=15°,AB=2,求△ABC的周长.
【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1,
即tan A+tan B=1-tan A tan B.
因为在斜三角形ABC中,1-tan A tan B≠0,
所以tan(A+B)=tan tan
1-tan tan
A B
A B
+
=1,
即tan(180°-C )=1,tan C=-1. 因为0°<C<180°,所以C=135°.
(2)在△ABC 中,A=15°,C=135°,则B=180°-A-C=30°.
由正弦定理sin BC A =sin CA B =sin AB
C ,得
sin15BC =°sin30CA

2sin135=2,
故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=
6-22, CA=2sin 30°=1.
所以△ABC 的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=262
2++.
平面向量与解三角形综合
例3 (2016·无锡期末)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,
已知向量a =(sin B-sin C ,sin C-sin A ),b =(sin B+sin C ,sin A ),且a ⊥b .
(1)求角B 的大小;
(2)若b=c ·cos A ,△ABC 的外接圆的半径为1,求△ABC 的面积. 【解答】(1)因为a ⊥b ,所以a ·b =0, 即sin 2B-sin 2C+sin A (sin C-sin A )=0, 即sin A sin C=sin 2A+sin 2C-sin 2B , 由正弦定理得ac=a 2+c 2-b 2,
所以cos B=
222-2a c b ac +=1
2. 因为B ∈(0,π),所以B=π
3.
(2)因为c·cos A=b,所以b
c=
222
-
2
b c a
bc
,即b2=c2-a2,
又ac=a2+c2-b2,b=2R sin B=
3,解得a=1,c=2.
所以S
△ABC =
1
2ac sin B=
3
2.
变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=(cos B,cos C),n=(4a-b,c),且m∥n.
(1)求cos C的值;
(2)若c=3ABC的面积S=
15
4,求a,b的值.
【解答】(1)因为m∥n,所以c cos B=(4a-b)cos C,由正弦定理,得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C,化简得sin(B+C)=4sin A cos C.
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A.
又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=1 4.
(2)因为C∈(0,π),cos C=1 4,
所以sin
2
1-cos C
1
1-
16
15
4.
因为S=1
2ab sin C=
15
4,所以ab=2.①
因为33=a2+b2-
1
2ab,
所以a2+b2=4,②
由①②,得a4-4a2+4=0,从而a2=2,a=2(2),
所以a=b=2.
【课堂评价】
1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2,1),b=(1,0),则|2a+b|=.
13
【解析】因为2a+b=(-3,2),所以|2a+b
22
(-3)2
13
2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m=.
【答案】2
【解析】方法一:由题意得a=(1,2),2a+b=(2+m,8),因为a∥(2a+b),所以1×8-(2+m)×2=0,故m=2.
方法二:因为a∥(2a+b),所以存在实数λ,使得λa=2a+b,即(λ-2)a=b,所以(λ-2,2λ-4)=(m,4),所以λ-2=m且2λ-4=4,解得λ=4,m=2.
3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中,设a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若
a=5,A=π
4,cos B=
3
5,则c=.
【答案】7
【解析】因为cos
B=
3
5,所以B∈
π
2
⎛⎫

⎝⎭

,从而sin B=
4
5,所以sin C=sin(A+B)=sin
A cos
B+cos A sin B=
2

3
5+
2

4
5=
72
10,又由正弦定理得sin
a
A=sin
c
C,即
5
2 2=72
10
c
,解得c=7.
4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=π
4,BC边上的高等于
1
3BC,则cos A=.
(第4题)
【答案】-
10 10
【解析】如图,作AD⊥BC交BC于点D,设BC=3,则AD=BD=1,AB=2,AC=
5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A,解得cos A=-
10 10.
5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC中,B D=1
2
BC
,A E=
1
3
AC

AD与BE交于点P,则P B·P D的值为.
(第5题)
【答案】27 4
【解析】如图,以BC为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,不妨设B(-3,0),
C(3,0),则D(0,0),A(0,
3),E(1,
2),P
2
⎛⎫


⎝⎭

,所以P B·P D=|
P D|2
=
2
2
⎛⎫


⎝⎭=
27
4.
温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3~4页.
【检测与评估】
第2讲平面向量、解三角形
一、填空题
1.(2016·苏州暑假测试)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),且a+2b=(5,-3),则x+y=.
2.(2016·盐城三模)已知向量a,b满足a=(4,-3),|b|=1,|a-b
,则向量a,b的
夹角为.
3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=4
5,cos C=5
13,a=1,则b= .
4.(2016·天津卷)在△ABC 中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC= .
5.(2016·南京三模)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,AD=3,CD=2,AM
=2MD .若AC ·
BM =-3,则AB ·AD = .
(第5题)
6.(2016·无锡期末)已知平面向量α,β满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则α的模的取值范围为 .
7.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若b a +a
b =6cos C ,则tan tan C A +tan tan C
B = .
8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中,AB=2,AC=3,角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ,若AO =x AB +y AC (x ,y ∈R ),则x+y 的值为 .
二、 解答题
9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
sin A=3
5,tan(A-B)=-
1
2.
(1)求tan B的值;
(2)若b=5,求c的值.
10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD=1,
BD=210,∠CAD=π
4,tan∠ADC=-2.
(1)求CD的长;
(2)求△BCD的面积.
(第10题)
11.(2016·南京三模)在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C的对边.若向量m=(a,cos A),向量n=(cos C,c),且m·n=3b cos B.
(1)求cos B的值;
(2)若a,b,c成等比数列,求
1
tan A+
1
tan C的值.
【检测与评估答案】
第2讲平面向量、解三角形
一、 填空题
1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4,1+2y )=(5,-3),所以4512-3x y +=⎧⎨
+=⎩,,解得1-2x y =⎧⎨
=⎩,,所以x+y=-1.
2. π
3 【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,由|a -b
|=,得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ,即cos θ=12,所以向量a ,b 的夹角为π
3.
3. 2113 【解析】因为cos A=45,cos C=5
13,且A ,C 为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=63
65.由正弦定理得sin b B =sin a A ,解得b=2113.
4. 1 【解析】设AC=x ,由余弦定理得cos 120°=29-1323x x +⋅⋅=-1
2,即x 2+3x-4=0,解
得x=1或x=-4(舍去),所以AC=1.
5. 3
2 【解析】方法一:设A B =4a ,AD =3b ,其中|a |=|b |=1,则D C =2a ,AM =2b .由A C ·BM =(AD +D C )·(B A +AM )=-3,得(3b +2a )·(2b -4a )=-3,化简得a ·b =
18,所以A B ·AD =12a ·b =3
2.
方法二:建立平面直角坐标系,使得A(0,0),B(4,0),设D(3cos α,3sin α),则C(3cos α+2,3sin α),M(2cos α,2sin α).由A C·BM=-3,得(3cos α+2,3sin
α)·(2cos α-4,2sin α)=-3,化简得cos α=1
8,所以A B
·AD=12cos α=
3
2.
6.
23
⎛⎤

⎝⎦

【解析】如图,设α=A B,β=A C,则β-α=B C,∠ABC=60°,设α与β的夹角为θ,则0°<θ<120°,由正弦定理可得
°
||
sin(120-)θ
α

||
sin60
β
,所以|α|= 23
sin(120°-θ).因为0°<θ<120°,所以0°<120°-θ<120°,所以0<sin(120°-θ)≤1,所以0<|α|≤
23
.
(第6题)
7.4【解析】
b
a+
a
b=6cos C⇒6ab cos C=a2+b2⇒3(a2+b2-c2)=a2+b2⇒a2+b2=
2
3
2
c
,所以
tan
tan
C
A+
tan
tan
C
B=
sin
cos
C

cos sin sin cos
sin sin
B A B A
A B
+
=
sin
cos
C

sin()
sin sin
A B
A B
+
=
1
cos C·
2
sin
sin sin
C
A B=
222
2
-
ab
a b c

2
c
ab=
2
2
2
2
3
-
2
c
c
c
=
2
2
2
2
c
c
=4.
8. 5
8 【解析】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,CE 为AB 边上的中线,且AD ∩CE=O.在△AEO 中,由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EO
EAO ∠.在△ACO 中,由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin CO CAO ∠,两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=1
2AB=1,AC=3,所以EO OC =1
3,所以C O =3O E ,即A O -A C =3(A E -A O ),即4A O =3A E
+A C ,所以4A O =32AB +A C ,从而A O =38AB +14AC
.因为A O =x A B +y A C ,所以x=38,y=14,所以x+y=58.
(第8题)
二、 解答题
9. (1) 方法一:在锐角三角形ABC 中,由sin A=3
5,得cos 2
1-sin
A 4
5,所以
tan A=sin cos A A =3
4.
由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-1
2,得tan B=2.
方法二:在锐角三角形ABC 中,由sin A=3
5,得cos 2
1-sin
A 4
5,所以tan A=
sin cos A A =34.
又因为tan(A-B )=-1
2,
所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=
31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫
+⨯ ⎪
⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2,得sin B=255,cos B=5
5, 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=115
25,
由正弦定理sin b B =sin c C ,得c=sin sin b C B =11
2.
10. (1) 因为tan ∠ADC=-2,且∠ADC ∈(0,π),
所以sin ∠ADC=255,cos ∠ADC=-5
5. 所以sin ∠ACD=sin
ππ--4ADC ∠⎛
⎫ ⎪
⎝⎭ =sin ∠ADC+π
4
=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π
4
=1010,
在△ADC 中,由正弦定理得CD=·sin sin AD DAC
ACD ∠∠=
5(2) 因为AD ∥BC ,所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=55,sin ∠BCD=sin ∠ADC=5
5.
在△BDC 中,由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD , 即BC 2-2BC-35=0,解得BC=7,
所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7525
=7.
11. (1) 因为m ·n =3b cos B ,所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B , 所以sin(A+C )=3sin B cos B , 所以sin B=3sin B cos B.
因为B 是△ABC 的内角,所以sin B ≠0,
所以cos B=13.
(2) 因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.
因为cos B=1
3,B 是△ABC 的内角,所以sin
B=3,
又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A C
A C +⋅ =sin()
sin sin A C A C +⋅ =sin sin sin B A C ⋅
=2
sin sin B B =1
sin B
=4.。

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