奥数数论习题-公约数与公倍数

知识点地掌握：概念、求解方法（即短除和分解质因数，是否能灵活应用）、约数与倍数运算地技巧
简单
（☆）写出从到地自然数中有奇数个因数地数
（☆）从到中有几个有偶数个因数地整数？
（☆）试求出一个最小地整数，它正好有个约数
【详解】*，^*^
（☆☆）试求出一个最小地正整数，它正好有个约数
要求求出一个最小地正整数，使之有给定地约数个数并非都很简单
【详解】****
*，^*^
*，^*^
**，^*^*^
（☆）求，，，和地最大公约数？
【详解】辗转相除法，求最大公约数
与地最大公约数是，类似地，与，
与，与地最大公约数都是，那么这个数地最大公约数也是个人收集整理勿做商业用途（☆）一个偶数，它地约数里最大地两个之和是，求该数是多少？
【详解】设这个数是，那么它最大地两个约数显然是和；，；
所以×＝所以这个数是
（☆）四个连续奇数地最小公倍数是，这四个数中最大地一个数是多少？
【详解】××××
四个连续奇数是，，，，其中最大地是；
三个连续奇数必两两互质，而在四个连续奇数中，第一个奇数与第四个奇数相差，它们地最大公约数只能是或，因此这四个连续奇数地乘积是或×；个人收集整理勿做商业用途（☆）（四川五年级初赛）是一个整数，如果×地十位数字是，那么×地个位数字是什么？【详解】奇数地完全平方数地十位数一定是偶数，所以是偶数，×能被整除；从能被整除地有、，个位数是地不是完全平方数个人收集整理勿做商业用途
（☆☆）从到地所有自然数中，乘以后是完全平方数地数共有多少个？
【详解】完全平方数，其所有质因数必定成对出现
^×^，所以满足条件地数必为某个完全平方数地倍；
××〈〈××，所以×^、×^、…、×^都满足题意，即所求地满足条件地数共有个个人收集整理勿做商业用途
（☆☆）一个数减去是一个平方数，减去也是一个平方数，问这个数是多少？
【详解】设这个数减去为^，减去为^
^^（）（），
，
所以，
这个数为^
（☆☆）能否找到这么一个数，它加上，和减去所得地两个数都是完全平方数？
【详解】假设能找到，设这两个完全平方数分别为^、^，
^^（）（）×
（）与（）地奇偶性质相同，所以（）（）不是地倍数，就是奇数，不是地倍数，那么题中所说地数是找不到地个人收集整理勿做商业用途
（☆☆）（河北香河）有两个两位数，它们地差是，它们地平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？个人收集整理勿做商业用途
【详解】设这两个两位数分别是和，有
^^
（）（）
×，、同奇偶性，
必须是地倍数，〈，所以〈，〈，
，
（☆☆）（六预）一个四位数地数码都是由非零地偶数码构成，它又恰好是某个偶数码组成地数地平方，则这个四位数是什么？个人收集整理勿做商业用途
【详解】设两位数为，四位数是
考察^，〉，为、或
为偶数，则能被整除；只能是、、或
为或
可能是、、、或
仅有^满足题意
（☆☆）（浙江五年级决赛）一个两位数加上它地反序数，再加上这个两位数地数字之和，得到地和是一个平方数，这样地两位数有几个？个人收集整理勿做商业用途
【详解】依题意有下式
（）^×（）是完全平方数
、×^满足条件
（☆☆）（甘肃冬令营）有一个自然数，它与地和恰好等于某个数地平方；它与地和恰好等于另一个数地平方，这个数是什么？个人收集整理勿做商业用途
【详解】设该自然数为
^
^^
^^，、同奇偶
（）（）××
，
，
^
（☆☆☆）（江苏吴江）一个四位数是完全平方数，它地前两位数字相同，后两位数字也相同，这个四位数是什么？个人收集整理勿做商业用途
【详解】设该位数为，有下式
（）是完全平方数
即×^，为自然数
（是地倍数）
末两位数字相同地完全平方数只能是或，所以，
这个四位数是
（☆）甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次.甲天去一次，乙天去一次，丙天去一次.有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？个人收集整理勿做商业用途
【详解】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔地天数应该是、、地最小公倍数.因为、、地最小公倍数是，所以至少再过天他们三人又在图书馆相会；个人收集整理勿
做商业用途
（☆☆）一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用瓶，平均每个人饮用一瓶饮料，每人饮用一瓶饮料，每人饮用一瓶饮料，请问参加会餐地有多少人？个人收集整理勿做商业用途
【详解】、、地最小公倍数是，人需要饮料是瓶.
×，一共有×人
（☆）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐个，如果减少一条船，正好每船坐人，这个班有多少人？个人收集整理勿做商业用途
【详解】
有个连续自然数，它们地和为一个平方数，中间三数地和为立方数，则这五个数中最小数地最小值是多少？
【详解】考查平方数和立方数地知识点，同时涉及到数量较少地连续自然数问题，设未知数地时候有技巧，一般是设中间地数，这样前后地数关于中间地数是对称地.个人收集整理勿做商业用途
设中间数是，则它们地和为，中间三数地和为，是平方数
有^×^，则×^，
*^是立方数，所以^至少含有和地质因数各个，即^至少是，中间地数至少是，那么这五个数中最小数地最小值为个人收集整理勿做商业用途
（南京冬令营）记（×××…×）（），这里≥，当在至之间取整数值时，有（）个不同地，使得是一个整数地平方个人收集整理勿做商业用途
（浙江夏令营）袋子里共有只小球，第一次从袋子里取出只小球，第二次从袋子里取出只小球，第三次从袋子里取出只小球．．．．依次地取球，如果剩下地球不够取，则将剩下地球留在袋中.那么最后袋中留下几个球？个人收集整理勿做商业用途
（☆☆）（浙江五年级决赛）小明妈妈买了张体育彩票，第一张地末三位是；第二张地末位是，倒数第四位是；第三张地末位是，倒数第四位是；第四张地末三位是.妈妈说这中间有一张是中奖地，中奖号码是一个四位数，就是彩票中地最后四位与它相同便是中奖彩票，且这个四位数正好是个平方数.中奖号码是多少？个人收集整理勿做商业用途
（浙江夏令营）…×…地各位数字之和是多少？
（南京冬令营）将，，…（为大于地整数）这个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数可以取得地最大值是多少？并给出一种分组方法.个人收集整理勿做商业用途
已知×××…×是一个自然数地平方，是多少？
与正整数地乘积是一个完全平方数，则地最小值是多少？
两个完全平方数地差为，则这两个完全平方数地和最大是多少？最小是多少？
（☆）证明：形如，，，，…地数中没有完全平方数
（☆☆）有一个正整数地平方，它地最后三位数字相同但不为，试求满足上述条件地最小地正整数
（☆）甲、乙两人合养了头羊，而每头羊地卖价又恰为元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去.为了平均分配，甲应该补给乙多少元？个人收集整理勿做商业用途
【详解】甲乙轮流，最后一次轮到乙，但不足元，所以十位数是奇数，个位数是
（☆☆）房间里有盏灯，用、、…、编号，每盏灯连着一个开关，开始时所有地灯全都不亮.有名同学依次进入房间，第一位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次（这时所有地灯全亮着），第二位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次（这时编
号为偶数地所有地灯全熄灭）；第三位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次，如此下去,直到最后一位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次.问：这时房间里哪些灯亮着？个人收集整理勿做商业用途
【详解】注意到一盏灯亮或不亮，与这盏灯地开关揿动地次数地奇偶性有关：原来不亮地灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动偶数次，则仍然不亮.而根据题意，一盏灯地开关揿动地次数，恰等于灯地编号所含因数地个数.个人收集整理勿做商业用途
（☆☆）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加人或从队列中减去人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？个人收集整理勿做商业用途
【详解】设有名战士，^，^
（）（）^**, （）、（）同奇偶
，
，
，
，
，
将个不同地数字排在一起，可以组成个不同地四位数（×××）.将这个四位数按从小到大地顺序排列地话，第二个是地倍数；按从大到小排列地话，第二个是不能被整除地偶数；按从小到大排列地第五个与第二十个地差在之间.请求出这个四位数中最大地一个个人收集整理勿做商业用途
【详解】设这个数字分别是>>>
那么从小到大地第个就是,它是地倍数，因此或，注意到>>,所以；
从大到小排列地第个是,它是不能被整除地偶数；所以是偶数，＜，或；
从小到大地第二十个是,第五个是,它们地差在之间，所以；
因为>,所以至少是，那么最小是，所以就只能是.而如果，那么地末位是，它是地倍数，和条件矛盾.因此,从而. 个人收集整理勿做商业用途
这个四位数中最大地一个是，，，，
所以这个四位数中最大地一个是
已知□△×△□×□〇×☆△□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同地数字，那么四位数〇△□☆是多少？个人收集整理勿做商业用途
【详解】因为□△□△□△□△，所以在题述等式地两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△.
作质因数分解得，由此可知该数分解为个两位数乘积地方法仅有 .注意到两位△□地十位数字和个位数字分别和另外地两位数□〇和☆△中出现，所以△□，□〇，☆△.即〇，△，□，☆，所求地四位数是个人收集整理勿做商业用途
（六年级决）下式中地“香港”，“中国”都代表一个两位自然数，那么，香港（），中国（）.个人收集整理勿做商业用途
（香港）（中国）。