[配套K12]2018年高考数学二轮复习 专题02 数列考点速记 文

专题02数列
一、数列
1.数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2.数列的分类
3.数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
二、等差数列
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.
数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数).
(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝
a ＋
b 2.
2.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *).
(2)等差数列的前n 项和公式 11()(1)22
n n n a a n n S na d +-==+（其中*N n ∈，1a 为首项，d 为公差，n a 为第n 项） 3.等差数列的有关性质
已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，*
N q ∈)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .
(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则*2,,,(,N )k k m k m a a a k m ++⋅⋅⋅∈是公差为md 的等差数列.
(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.
4.等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2
＋Bn (A ，B 为常数).
5.等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.
三、等比数列
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.
数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n
＝q (*N n ∈，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q
n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q
. 3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.
(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，*N n ∈)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .
(2)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；
当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；
当q ＝1时，数列{a n }是常数列.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为m
q .
(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为n q .
四、求数列的前n 项和的方法
1.公式法
①等差数列的前n 项和公式 11()(1)22
n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列的前n 项和公式
(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；
(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q
. 2.分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
常见的裂项公式
(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n .
4.倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.
5.错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
6.并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解.
例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.。