不等式的证明-高中数学知识点讲解(含答案)

不等式的证明（北京习题集）（教师版）
一．解答题（共7 小题）
1．（2018•北京）设n 为正整数，集合A { | (t ，t ，t ) ，t {0 ，1}，k 1，2，，n}，对于集合A 中
1 2 n k
的任意元素 (x ，x ，，) 和(y ，，y ，记
x y
) 1 2 n 1 2
n
M (
1
，) [(x y | x y |) (x y | x y |) (x y | x y |)]
1 1 1 1
2 2 2 2 n n n n
2
（Ⅰ）当n 时，若 (1，1， 0) ， (0，1，1) ，求M (,) 和M (,) 的值；
3
（Ⅱ）当 4 时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当n B A B M (,)
M (,) B
，不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于 2 的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素，，M (,) 0 ，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
2 2 2
2．（2016 春•北京校级月考）已知，，求证 a b …(a b) （用分析法证明）
a b R
2
3 ．（201
4 •朝阳区二模）已知，x 是函数 f (x ) x 2 mx t 的两个零点，其中常数m ，t Z ，设
x
1 2
n
T x x n N
n r r *
( )
n 1 2
r0
．
（1）用m ，t 表示T ，T ；
1 2
（2）求证：T mT tT ；
5 4 3
（3）求证：对任意的n N ，．
* T Z
n
4．（2014•北京校级模拟）（1）求证：7 6 5 2 ；
x x 2
（2）已知函数f (x ) e ，用反证法证明方程f (x ) 0 没有负数根．
x 1
b b
5．（2019 秋•大兴区期中）①已知0 ，求证：．
a b 1
a 1 a
②已知1，当取什么值时，x 的值最小？最小值是多少？
x x 9
x 1
6．（2019 秋•西城区校级期中）已知a ，b 0 ，证明：a3 b3…a2b ab2 ．
a a a
11 12 1n
a a a
7．（2019•东城区二模）若n 行n 列的数表 ( )(n 2) 满足：，，，2，，，
21 22 2 … a {0 1}(i j 1 n)
n
M M M
ij
a a a
n1 n2 nn
第1页（共8页）
n n
n 0 m n) ( )
a m(i 1，2，，，，| a a | 0 (i, j 1, 2,,n,i j) ，记这样的一个数表为A m ．对于
ik ik jk n
k 1 k 1
n
k 1
A m T(n,m) a a ,1 i j n , i, j N*
( ) ，记集合……．|T(n,m) | 表示集合T(n,m)
中元素的个数． n ij ij ik jk
1 1 0
（Ⅰ）已知，写出ij i j i j N 的值；
A (2) (0 1 1) (1…… 3 , , * )
3
1 0 1
（Ⅱ）是否存在数表A （2）满足|T(4, 2) |1？若存在，求出（2），若不存在，说明理由；
A
4 4
n
（Ⅲ）对于数表A (m)(0 m n,m N ) ，求证：|T(n,m) |…．
*
n
2
第2页（共8页）
不等式的证明（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．解答题（共7 小题）
1．（2018•北京）设n 为正整数，集合{ | ( ，t ，t ) ，{0 ，，，2，，，对于集合中
A t t 1}k 1 n} A
1 2 n k
的任意元素，，，和，，，记
(x x x ) (y y y )
1 2 n 1 2 n
M (
1
，) [(x y | x y |) (x y | x y |) (x y | x y |)]
1 1 1 1
2 2 2 2 n n n n
2
（Ⅰ）当n 时，若 (1，1， 0) ， (0，1，1) ，求M (,) 和M (,) 的值；
3
（Ⅱ）当 4 时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当n B A B M (,)
M (,) B
，不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于 2 的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素，，M (,) 0 ，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
B
【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．
（Ⅱ）注意到 1 的个数的奇偶性，根据定义反证证明．
（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．
【解答】解：，．
(I ) M (,) 11 0 2 M (,) 0 1 0 1
x y | x y |
(II) 考虑数对 (x ，y ) 只有四种情况： (0,0) 、 (0,1) 、 (1, 0) 、 (1,1) ，相应的分别为 0、0、0、1，
k k k k
k k
2
所以B 中的每个元素应有奇数个 1，
所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）:
(1 ，0，0，0 ) 、 (0 ，1，0， 0) 、 (0 ，0，1， 0) 、 (0 ，0，0，1) ，
(0 ，1，1，1) 、 (1 ，0，1，1) 、 (1 ，1，0，1) 、 (1 ，1，1， 0) ，
对于任意两个只有 1 个 1 的元素，都满足是偶数，
M (,)
所以四元集合B {(1 ，0，0， 0) 、 (0 ，1，0， 0) 、 (0 ，0，1， 0) 、 (0 ，0，0，1)}满足题意，
假设B 中元素个数大于等于 4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少 1 个含有 3 个 1 的元素，
则互补元素中含有 1 个 1 的元素与之满足M (,) 1不合题意，
故B 中元素个数的最大值为 4．
第3页（共8页）
（Ⅲ）B {(0，0，0，0)， (1 ，0， 0， 0) ， (0 ，1，0，0)， (0 ，0，10)，
(0 ，0，0，，1)}，
此时中有个元素，下证其为最大．
B n 1
对于任意两个不同的元素，，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为 1，
M (,) 0
假设存在有多于个元素，由于，0，0，，与任意元素都有，
B n 1 (0 0) M (,) 0
所以除 (0 ，0，0，， 0) 外至少有n 1 个元素含有 1，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，
x y l M (,) (1)
i i
故B 中最多有n 1 个元素．
【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．
2 2 2
2．（2016 春•北京校级月考）已知a ，b R，求证 a b …(a b) （用分析法证明）
2
2 2 2
【分析】分析法证明不等式，寻找使 a b …(a b) 成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为
2
止．
2 2 2
【解答】证明：要证 a b …(a b) ，
2
2 2 1 2
只要证( ) ，
a b … a b
2
即证明，
2(a b )…a 2ab b
2 2 2 2
也就是证明，
(a b) 0
2
此式显然成立，故要证的不等式成立．
【点评】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的应用，考查推理能力，体现了转化的数学思想，属于中档题．
3 ．（201
4 •朝阳区二模）已知，x 是函数 f (x ) x 2 mx t 的两个零点，其中常数m ，t Z ，设
x
1 2
．
n
T x x (n
N )
n r r *T
x x (n N )
n 1 2
r0
（1）用m ，t 表示T ，T ；
1 2
（2）求证：T mT tT ；
5 4 3
（3）求证：对任意的，．
n N* T Z
n
n
【分析】（ 1 ）依题意，知，，利用( ) ，易知T x x m ，
x x m x x t T x n r x r n N*
1 2 1 2 n 1 2 1 1 2
r0
；
2
T x 2r x r x 2 x x x 2 (x x )2 x x m2 t
2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
r0
第4页（共8页）
k
（2）由，可得；
x x T x T x mT tT
k r r 5
1 2 5 1 4 2 4 3
r0
（3）利用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（1）x x m ，x x t ．
1 2 1 2
n
因为( ) ，所以，
T x x n N T x x m
n r r *
n 1 2 1 1 2
r0
分2
T x x x x x x x x x x m t
2 r r 2 2 2 2
( ) 3
2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
r0
k 5 4
（2）由x x ，得T x x x x x x x T
x ．
k r r 5 r r 4 r r 5 5
1 2 5 1 2 1 1 2 2 1 4 2
r0 r0 r0
即．
T x T x
5
5 1 4 2
所以．
x T x x T x 5
2 4 1 2
3 2
所以 5 1 4 ( 2 4 1 2 3 )( 1 2 ) 4 1 2 3 4 3 8分T x T x T x x T x x T x x T mT tT
（3）①当n 1，2 时，由（1）知T 是整数，结论成立．
k
②假设当 1 ，时结论成立，即T ，T k 都是整数．
n k n k(k… 2)
k 1
k k 1 k
由，得T x x x x x x ，T x k r x r
k 1r r k r r k 1 k 1 2 k 1 1 2 1 1 2 2
r0 r0 r0
即，
T x T x
k 1 k 1 1 k 2
所以，，
T x T x k x T x x T x
k 1
k 1 k 1 2 2 k 1 2 k 1 2
所以T 1 x1T (x2T x1x2T 1) (x1 x2 )T x1x2T 1 ．
k k k k k k
即．
T mT tT
k 1 k k 1
由T ，T k 都是整数，且m ，t Z 知，T 也是整数，即n k 1时，结论也成立．
k 1 k 1
由①②可知，对于一切，分
n N* T Z13
n
【点评】本题考查综合法证明不等式，突出考查数学归纳法的应用，考查抽象思维、逻辑思维的综合应用，考查推理证明的能力，属于难题．
4．（2014•北京校级模拟）（1）求证：7 6 5 2 ；
x x 2
（2）已知函数f (x) e ，用反证法证明方程f (x) 0 没有负数根．
x 1
【分析】（1）采用分析法来证，要证7 6 5 2 ，只需两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f (x) 0 有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．
第5页（共8页）
【解答】证明：（1）要证7 6 5 2
只需证
( 7 6) ( 5 2)
2 2
只需证即证
13 2 42 9 4 5 2 2 5 42 只需证
24 8 5 42
只需证即证
4 5 9 80 81
上式显然成立，命题得证．
x x （2）设存在x 0 0(x 0 1) ，使，则e 0
f x
( ) 0
x
x 1
2
由于得 0 1，解得x 2 ，
0 e x 1 0
x 1 2
0 2
1
与已知矛盾，因此方程没有负数根．
x 0 0 f (x ) 0
【点评】（1）本题主要考查不等式的证明，证明用到了分析法，分析法是从要证明的结论出发，一步步向前推，得到一个恒成立的不等式，或明显成立的结论即可．
（2）本题考查了函数的零点问题与方程的根的问题．方程的根，就是指使方程成立的未知数的值．对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．
a b b 1 b
5．（2019 秋•大兴区期中）①已知0 ，求证：．
a 1 a
②已知，当取什么值时，x 的值最小？最小值是多少？
x 1
x x 9
1
【分析】①作差法证明即可；
②利用基本不等式判断即可．
b 1 b ab a ab b a b
【解答】解：①证明：a b 0 ，
0 ，
a 1 a (a 1)a a(a 1)
b 1 b
故；
a 1 a
②当时，，，
x 1 x 1 x 1 x x 1 0 9 1 9 1 2 ( 1)( 9 ) 1 5
1 y x x (x)
当且仅当，即时，取等号，
x 1 3 x 2
故当 2 时，x 值最小，最小为 5．
x 9
x 1
【点评】考查了作差法和基本不等式法的应用，基础题．
6．（2019 秋•西城区校级期中）已知a ，b 0 ，证明：a3 b3…a2b ab2 ．【分析】作差，因式分解，即可得到结论．
【解答】证明：
(a3 b3 ) (a2b ab2 ) a2 (a b) b2 (b a)
第6页（共8页）
(a b)(a b ) (a b) (a b)
2 2 2
Q a 0 b 0
，，
(a b)2 0
a b 0 ，，
(a b)2 (a b) 0
，
则有．
a3 b3…a2b b2a
【点评】本题考查不等式的证明，重点考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
a a a
11 12 1n
a a a
7．（2019•东城区二模）若行列的数表…满足：a {0 ， 1}(i ，j 1，2，，n) ，
n n ( )(n 2)
21 22 2n
M M M
ij
a a a
n1 n2 nn
n n
n 0 m n) ( )
a m(i 1，2，，，，| a a | 0 (i, j 1, 2,,n,i j) ，记这样的一个数表为A
m ．对于
ik ik jk n
k 1 k 1
n
k 1
A (m) ，记集合T n m a a …i j…n i j N* ．|T(n,m) | 表示集合T(n,m) 中元素的个数．
( , ) ,1 , ,
n ij ij ik jk
1 1 0
（Ⅰ）已知，写出ij i j i j N 的值；
A (1…… 3 , , * )
(2) (0 1 1)
3
1 0 1
（Ⅱ）是否存在数表A （2）满足|T(4, 2) |1？若存在，求出A （2），若不存在，说明理由；
4 4
n
（Ⅲ）对于数表( )(0 , ) ，求证：．
A m m n m N* |T(n,m) |…
n
2
【分析】（Ⅰ）根据题意计算、和的值；
12 13 23
（Ⅱ）不存在数表A （2），使得|T(4, 2) |1，说明理由即可；
4
（Ⅲ）在数表A (m) 中，将换成，得出，根据题意计算，得出，，，从
1 A (n m) |T(n m) ||T(n n
m) | n ij ij n ij
n
而得出．
|T |…
(n,m)
2
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算12 13 23 1；（3 分）
（Ⅱ）不存在数表A （2），使得|T(4, 2) |1．理由如下：
4
1 1 0 0
a a a a
假设存在A （2），使得|T(4, 2) |1．不妨设A (2) ( 21 22 23 24 ) ，的可能值为 0，1．
4 4 ij
a a a a
31 32 33 34
a a a a
41 42 43 44
当ij i j 时，经验证这样的A （2）不存在．
0 (1……4)
4
第7页（共8页）
a a 1
21 22
当1(1 4) 时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，ij …i j… a a 1
31 32
a a 1
41 42
1 1 0 0
a a 1
0 1 a a
23 24
不妨设，所以有 a a
1，
A (2) ( 23 24 )
4 33 34
0 1 a a
33 34
a a 1
43 44
1 0 a a
43 44
这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1
这样的A （2）只能为 ( ) 或 ( ) ，
4
0 1 0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0 0 1
这两种情况都与矛盾，
|T(4, 2) | 1
即不存在数表A （2），使得|T(4, 2) |1．（8 分）
4
（Ⅲ）在数表A m 中，将换成1 ，这将形成，
( ) A (n
m) n ij ij n
由于，
ij a i a j a i a j a in a jn
1 1
2 2
可得 (1 a )(1 a ) (1 a )(1 a ) (1 a )(1 a ) n m m ，i1 j1 i2 j2 in jn ij
从而，，．
|T(n m) ||T(n n m) |
n
n
……
当m…时，由于| a a | 0(0 i j n,i, j N* ) ，
it jt
2
t 1
n
所以任两行相同位置的 1 的个数…1．
2
n
n
又由于… 0 ，而从 1 到1的整数个数…，
ij
2 2
n
从而| ( , ) | ；
T n m …
2
n
从而当 0 m n 时，都有|T |…．（13 分）
(n,m)
2
【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了矩阵乘法的性质应用问题，是难题．
第8页（共8页）。