易错拔尖：命题、定理与证明(解析版)

易错拔尖：命题、定理与证明（解析版）
➢易错点
易错点1：改写“如果…，那么…”的时候，不能区分题设和结论或者语言不通顺
疑难点辨析：不能区分原命题和逆命题的题设和结论
1．把“等角的余角相等”改为“如果…那么…”的形式是____________________．
思路导引：先搞清这个命题的结论是什么，其余部分则为题设部分，并适当将语句丰满完整．
答案：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
误点警示：常见的错误有两种，一是不能区分题设和结论，如“如果两个角相等，那么这两个角的余角相等”；二是语句不完整，如“如果等角的余角，那么相等”．
➢拔尖角度
角度1 利用命题的分类识别真假命题（举反例法）
2．（2021春•福山区期末）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；
②对顶角相等；
③等腰三角形的两个底角相等；
④同角（或等角）的余角相等．
其中逆命题是真命题的是（）
A．①B．①③C．①③④D．①②③④
思路引领：分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④同角（或等角）的余角相等的逆命题是如果两个的余角相等则这两个角是同角（或等角），逆命题是真
命题；
故选：C．
总结提升：此题考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．指出下列命题的条件和结论，并判断此命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．（1）互补的两个角都是钝角；
（2）a2＞b2，则a＞b；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）—个角的余角小于这个角．
思路引领：（1）互补的两个角一个是锐角一个是钝角，或两个都是直角；
（2）根据平方的概念判断；
（3）根据平行线的判定方法进行判断；
（4）根据直角三角形的判定解答．
解：（1）条件：两角互补；结论：这两个角都是钝角，此命题是假命题，如：∠1＝120°，∠2＝60°，显然∠1与∠2互补，但∠2是锐角；
（2）条件：a2＞b2，结论：a＞b，此命题是假命题，如a＝﹣3，b＝2时，（﹣3）2＞22，但﹣3＜2；
（3）条件：同位角相等，结论：两直线平行，此命题是真命题；
（4）条件：一个角的余角，结论：小于这个角，此命题是假命题，如30°的余角等于60°，但60°＞30°．
总结提升：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
角度2 利用证明的意义补全证明过程
4．（2021春•福田区校级期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAG＝60°，求∠G的度数．
解：∵EF∥AD（已知）
∴＝∠3（）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（）
∴∥（）
∴∠G+∠BAG＝180°（）
∵∠BAG＝60°（已知）
∴∠G＝180°﹣∠BAG＝180°﹣60°＝120°．
思路引领：根据平行线的性质得出∠2＝∠3，由∠1＝∠2可得∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠G+∠BAG＝180°，由∠BAG＝60°可以得出答案．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠G+∠BAG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAG＝60°（已知）
∴∠G＝180°﹣∠BAG＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：∠2，两直线平行，同位角相等；等量代换；DG∥AB，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
总结提升：本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键熟练掌握平行线的性质和判定，能正确运用定理进行推理、计算是解此题的关键．
5．（2022春•宣城期末）完成下列推理过程：
（1）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°．
求证：BC∥DE
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠C（）；
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠+∠D＝180°（等量代换）；
∴BC∥DE（）．
（2）如图，若已知∠1＝∠2，试完成下面的填空．
∵∠2＝∠3（），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠（等量代换）；
∴∥（）．
思路引领：（1）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可；
（2）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
证明：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠C+∠D＝180°（等量代换），
∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：B；两直线平行，内错角相等；C；同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵∠2＝∠3（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；1；3；AB；CD；同位角相等，两直线平行．
总结提升：此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．角度3 利用证明的方法对改写命题进行证明
6．（2020秋•通许县期末）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，请说明FG∥DC；
（2）若把题设中DE∥BC与结论中FG∥DC对调，命题还成立吗？试证明．
（3）若把题设中∠1＝∠3与结论中FG∥DC对调呢？试证明．
思路引领：（1）由DE∥BC得∠1＝∠2，已知∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，从而证得FG∥DC；
（2）由FG∥DC得∠2＝∠3，已知∠1＝∠3，所以∠2＝∠1，从而证得DE∥BC；
（3）由DE∥BC得∠1＝∠2，又由FG∥DC得∠2＝∠3，所以∠1＝∠3．
解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
又已知∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴FG∥DC；
（2）命题还成立，
∵FG∥DC，
∴∠2＝∠3，
已知∠1＝∠3，
∴∠2＝∠1，
∴DE∥BC；
（3）命题还成立，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
又FG∥DC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
总结提升：此题考查的知识点是平行线的判定与性质，关键是运用平行线的判定与性质证明命题成立．
角度4 利用证明的方法对改写命题进行证明
7．（2017春•赣县区期中）如图，①∠D＝∠B；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B+∠2+∠4＝180°；⑤∠B+∠1+∠3＝180°．
（1）指出上述各项中哪一项能作为题设来说明∠E＝∠F；
（2）选出其中的一项加以说明．
思路引领：（1）依据平行线的判定方法，即可得到结论；
（2）选∠1＝∠2加以说明．根据∠1＝∠2，即可得到AD∥CB，进而得出∠E＝∠F．
解：（1）②∠1＝∠2，或⑤∠B+∠1+∠3＝180°．
（2）选∠1＝∠2加以说明．
∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
总结提升：本题主要考查了平行线判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
8.（2016春•孝南区期末）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平
行”
（1）如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整：已知AB CD，EM、FN 分别平分和，则
（2）试判断这个命题的真假，并说明理由．
思路引领：（1）根据题意写出已知，求证即可；
（2）此命题为真命题，根据平行线的性质得到∠GEB＝∠EFD，由角平分线的定义得到∠GEM=1
2∠GEB，
∠EFN=1
2∠EFD，等量代换得到∠GEM＝∠EFN，于是得到结论．
解：（1）已知AB∥CD，EM、FN分别平分∠GEB和∠EFD，则EM∥FD；故答案为：∥，∠GEB，∠EFD，EM∥FD；
（2）此命题为真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠EFD，
∵EM、FN分别平分∠GEB和∠EFD，
∴∠GEM=1
2∠GEB，∠EFN=
1
2∠EFD，
∴∠GEM＝∠EFN，
∴EM∥FD．
总结提升：此题考查了平行线的判定，解题的关键是：熟记同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
9．（2022春•建安区期中）如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题，并进行证明．（任选一种情况，写出已知、求证、证明．）
①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．
思路引领：条件：①②，结论：③，根据平行线的性质直接证明即可．
解：条件：①②，结论：③，证明过程如下：
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠A＝∠ACE，
∵∠A＝∠B，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
总结提升：本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握不等式的性质、邻补角的定义、对顶角的定义、平行线的性质是解答此题的关键．。