高等数学电子教案同济版第三章3-2
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ 求 lim x − 2e x . ( 0⋅ ∞ ) 例7 x → +∞
→ +∞
解
e e e 原式 = lim 2 = lim = lim = +∞ . x → +∞ x x → +∞ 2 x x → +∞ 2
1 x 1 x
2
=e
x →0+
lim x ln x
=e
ln x x →0+ 1 x lim
=e
x→0+
lim − x
= e 0 = 1.
例10 解
求 l
=e .
=e
ln x x →11− x lim
原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1− x
+
tan x . 例5 求 lim π x → tan 3 x
2
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π − 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x
1 1 1 2、 3、 4、 5、 二、1、 ； 2、1； 3、 ； 4、 ； 5、1 ； 2 8 2
6、 6、1； 三、连续. 连续. 7、 7、e
− 2 π.
0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞
定义
如果当 x → a (或 x → ∞) 时，两个函数
f ( x) 与F( x) 都趋于零或都趋于无穷 ，那末 大 f ( x) 可能存在、 极限 lim 可能存在、也可能不存 ．通 在 x→a F( x) ( x→∞) 0 ∞ . 常把这种极限称为 或 型未定式 0 ∞ ln sin ax ∞ tan x 0 , ( ) lim ,( ) 例如, x→0 例如 lim → x 0 x →0 + ln sin bx ∞
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达法则. 极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) = 0, x≠a x=a , F ( x ), F1 ( x ) = 0, x≠a x=a ,
三、小结
洛必达法则
∞ − ∞型
f −g= 1 g −1 f 1 g⋅1 f
00 ,1∞ , ∞0 型
y= f g
0 型 0 ∞ 型 ∞
= eg ln f
0⋅ ∞ 型
f ⋅g= f 1g
思考题
f ( x) f ′( x ) 设 lim 是不定型极限， 如果 是不定型极限， 的极 g( x ) g ′( x ) f ( x) 限不存在， 的极限也一定不存在？ 限不存在，是否 的极限也一定不存在？ g( x )
2 7、 lim ( arctan x) x . x → +∞ π
1 x 1 (1 + x ) x ] , 当x > 0 [ 三、讨论函数 f ( x ) = , e −1 e 2 , 当x ≤ 0
在点x = 0处 的连续性. 的连续性.
练习题答案
一、1、0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ , 00 , ∞ 0 ； 2、 2、1； 3、 3、1.
1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
( ∞0 )
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
ln(1 + x ) 2 、 lim =___________. x →0 x
ln tan 7 x 3 、lim =____________. x → 0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限： 用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； π ( π − 2 x )2 x→
,
注意：洛必达法则的使用条件． 注意：洛必达法则的使用条件．
x + cos x 例12 求 lim . x →∞ x
1 − sin x = lim (1 − sin x ). 解 原式 = lim x →∞ x →∞ 1 极限不存在 洛必达法则失效。 洛必达法则失效。 1 原式 = lim (1 + cos x ) = 1. x →∞ x
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,
则有
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , Q lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
举例说明.
思考题解答
不一定． 不一定． 例 f ( x ) = x + sin x ,
g( x ) = x
f ′( x ) 1 + cos x 显然 lim = lim 极限不存在． 极限不存在． x → ∞ g ′( x ) x →∞ 1
f ( x) x + sin x 但 lim = lim 极限存在． = 1 极限存在． x →∞ g ( x ) x →∞ x
x
x
x
2. ∞ − ∞ 型
1 1 0−0 步骤: 步骤 ∞ − ∞ ⇒ − ⇒ . 0 0 0⋅ 0
1 1 例8 求 lim( − ). x → 0 sin x x
( ∞−∞ )
x − sin x 1 − cos x 解 原式 = lim = lim x → 0 x ⋅ sin x x → 0 sin x + x cos x 1 2 1 x x 2 2 = lim = lim = 0. x →0 sin x + x cos x x →0 sin x + cos x x
定理 设
(1) 当x →a时 函数 f (x) 及 F(x) 都趋于零 , ; (2) 在a 点的某去心邻域内 f ′(x)及 F′(x) 都存在 , 且 F′(x) ≠ 0; f ′(x) (3) lim 存在 或为无穷大); ( x→a F′(x) f (x) f ′(x) 那末lim . = lim x→a F(x) x→a F′(x)
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解
tan x − x . 求 lim 2 x → 0 x tan x
sec 2 x − 1 tan x − x = lim 原式 = lim 2 3 x →0 x →0 3x x
x2 tan 2 x = lim = lim 2 2 x→0 3 x x→0 3 x
1 = . 3
0 二、 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 关键: 的类型 ( 0 ), ( ∞ ) .
0 ( ) 0
1 − 2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
ln sin ax 例4 求 lim . + x →0 ln sin bx
∞ ( ) ∞
cos bx a cos ax ⋅ sin bx 解 原式 = lim = lim = 1. + x →0 cos ax x →0 b cos bx ⋅ sin ax
2
1 ln(1 + ) x ； 2、 2、 lim x → +∞ arctan x
3、lim x cot 2 x ；
x →0
2 1 )； 4、 − 4、lim( 2 x →1 x − 1 x −1
1 tan x 6、 6、 lim ( ) ； x → +0 x
5、 lim x
x → +0
sin x
；
练习题
填空题： 一、填空题：
0 ∞ 洛必达法则除了可用于求“ ， 1 、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ” 两种 0 ∞ 类型的未定 式的极限 外，也可通过变换解决 _____________，_____________，____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________ ，_____________ ，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
3. 0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 00
0 ⋅ ln0 取对数 ∞ 1 → ∞⋅ ln1 ⇒ 0 ⋅ ∞. 0 ⋅ ln∞ 0 ∞
x x →0
例9 解
求 lim+ x .
( 00 )
x ln x
原式 = lim+ e
x →0
=e
x →0+ −
lim
当x →∞时以及x →a+ (或a− ), x →±∞时 该法则仍然成立 , , .
f ( x) f ′( x ) lim . = lim x →∞ F ( x ) x → ∞ F ′( x )
例1 解
tan x . 求 lim x→0 → x
0 ( ) 0
(tan x )′ sec2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→0 → ( x )′ 1
x3 − 3 x + 2 . 例2 求 lim 3 2 x →1 x − x − x + 1
0 ( ) 0
3 x2 − 3 6x 3 解 原式 = lim 2 = lim = . x →1 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
π
例3 求 lim 2
x → +∞
− arctan x 1 x .
f ′( x ) 0 如果 仍属 型，且 f ′( x ), F ′( x ) 满足 F ′( x ) 0 定理的条件， 使用洛必达法则， 定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim = L. x→a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ 求 lim x − 2e x . ( 0⋅ ∞ ) 例7 x → +∞
→ +∞
解
e e e 原式 = lim 2 = lim = lim = +∞ . x → +∞ x x → +∞ 2 x x → +∞ 2
1 x 1 x
2
=e
x →0+
lim x ln x
=e
ln x x →0+ 1 x lim
=e
x→0+
lim − x
= e 0 = 1.
例10 解
求 l
=e .
=e
ln x x →11− x lim
原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1− x
+
tan x . 例5 求 lim π x → tan 3 x
2
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π − 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x
1 1 1 2、 3、 4、 5、 二、1、 ； 2、1； 3、 ； 4、 ； 5、1 ； 2 8 2
6、 6、1； 三、连续. 连续. 7、 7、e
− 2 π.
0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞
定义
如果当 x → a (或 x → ∞) 时，两个函数
f ( x) 与F( x) 都趋于零或都趋于无穷 ，那末 大 f ( x) 可能存在、 极限 lim 可能存在、也可能不存 ．通 在 x→a F( x) ( x→∞) 0 ∞ . 常把这种极限称为 或 型未定式 0 ∞ ln sin ax ∞ tan x 0 , ( ) lim ,( ) 例如, x→0 例如 lim → x 0 x →0 + ln sin bx ∞
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达法则. 极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) = 0, x≠a x=a , F ( x ), F1 ( x ) = 0, x≠a x=a ,
三、小结
洛必达法则
∞ − ∞型
f −g= 1 g −1 f 1 g⋅1 f
00 ,1∞ , ∞0 型
y= f g
0 型 0 ∞ 型 ∞
= eg ln f
0⋅ ∞ 型
f ⋅g= f 1g
思考题
f ( x) f ′( x ) 设 lim 是不定型极限， 如果 是不定型极限， 的极 g( x ) g ′( x ) f ( x) 限不存在， 的极限也一定不存在？ 限不存在，是否 的极限也一定不存在？ g( x )
2 7、 lim ( arctan x) x . x → +∞ π
1 x 1 (1 + x ) x ] , 当x > 0 [ 三、讨论函数 f ( x ) = , e −1 e 2 , 当x ≤ 0
在点x = 0处 的连续性. 的连续性.
练习题答案
一、1、0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ , 00 , ∞ 0 ； 2、 2、1； 3、 3、1.
1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
( ∞0 )
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
ln(1 + x ) 2 、 lim =___________. x →0 x
ln tan 7 x 3 、lim =____________. x → 0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限： 用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； π ( π − 2 x )2 x→
,
注意：洛必达法则的使用条件． 注意：洛必达法则的使用条件．
x + cos x 例12 求 lim . x →∞ x
1 − sin x = lim (1 − sin x ). 解 原式 = lim x →∞ x →∞ 1 极限不存在 洛必达法则失效。 洛必达法则失效。 1 原式 = lim (1 + cos x ) = 1. x →∞ x
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,
则有
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , Q lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
举例说明.
思考题解答
不一定． 不一定． 例 f ( x ) = x + sin x ,
g( x ) = x
f ′( x ) 1 + cos x 显然 lim = lim 极限不存在． 极限不存在． x → ∞ g ′( x ) x →∞ 1
f ( x) x + sin x 但 lim = lim 极限存在． = 1 极限存在． x →∞ g ( x ) x →∞ x
x
x
x
2. ∞ − ∞ 型
1 1 0−0 步骤: 步骤 ∞ − ∞ ⇒ − ⇒ . 0 0 0⋅ 0
1 1 例8 求 lim( − ). x → 0 sin x x
( ∞−∞ )
x − sin x 1 − cos x 解 原式 = lim = lim x → 0 x ⋅ sin x x → 0 sin x + x cos x 1 2 1 x x 2 2 = lim = lim = 0. x →0 sin x + x cos x x →0 sin x + cos x x
定理 设
(1) 当x →a时 函数 f (x) 及 F(x) 都趋于零 , ; (2) 在a 点的某去心邻域内 f ′(x)及 F′(x) 都存在 , 且 F′(x) ≠ 0; f ′(x) (3) lim 存在 或为无穷大); ( x→a F′(x) f (x) f ′(x) 那末lim . = lim x→a F(x) x→a F′(x)
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解
tan x − x . 求 lim 2 x → 0 x tan x
sec 2 x − 1 tan x − x = lim 原式 = lim 2 3 x →0 x →0 3x x
x2 tan 2 x = lim = lim 2 2 x→0 3 x x→0 3 x
1 = . 3
0 二、 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 关键: 的类型 ( 0 ), ( ∞ ) .
0 ( ) 0
1 − 2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
ln sin ax 例4 求 lim . + x →0 ln sin bx
∞ ( ) ∞
cos bx a cos ax ⋅ sin bx 解 原式 = lim = lim = 1. + x →0 cos ax x →0 b cos bx ⋅ sin ax
2
1 ln(1 + ) x ； 2、 2、 lim x → +∞ arctan x
3、lim x cot 2 x ；
x →0
2 1 )； 4、 − 4、lim( 2 x →1 x − 1 x −1
1 tan x 6、 6、 lim ( ) ； x → +0 x
5、 lim x
x → +0
sin x
；
练习题
填空题： 一、填空题：
0 ∞ 洛必达法则除了可用于求“ ， 1 、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ” 两种 0 ∞ 类型的未定 式的极限 外，也可通过变换解决 _____________，_____________，____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________ ，_____________ ，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
3. 0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 00
0 ⋅ ln0 取对数 ∞ 1 → ∞⋅ ln1 ⇒ 0 ⋅ ∞. 0 ⋅ ln∞ 0 ∞
x x →0
例9 解
求 lim+ x .
( 00 )
x ln x
原式 = lim+ e
x →0
=e
x →0+ −
lim
当x →∞时以及x →a+ (或a− ), x →±∞时 该法则仍然成立 , , .
f ( x) f ′( x ) lim . = lim x →∞ F ( x ) x → ∞ F ′( x )
例1 解
tan x . 求 lim x→0 → x
0 ( ) 0
(tan x )′ sec2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→0 → ( x )′ 1
x3 − 3 x + 2 . 例2 求 lim 3 2 x →1 x − x − x + 1
0 ( ) 0
3 x2 − 3 6x 3 解 原式 = lim 2 = lim = . x →1 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
π
例3 求 lim 2
x → +∞
− arctan x 1 x .
f ′( x ) 0 如果 仍属 型，且 f ′( x ), F ′( x ) 满足 F ′( x ) 0 定理的条件， 使用洛必达法则， 定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim = L. x→a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )