湖南省张家界市一中2016届高三上学期第三次月考数学(文)试题

张家界市一中2016届高三第三次月考试卷
数学（文）
时量：120分钟 满分：150分
试卷共四页，请将答案写在答卷上（填在试卷上无效）！
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1、若A ＝{2,3,4}，B ＝{x 4x <}，则集合A
B 中的元素个数是( )．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2、复数(2)z i i =-+，则实数z 的共轭复数是（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i -+ D ．12i --
3、在ABC ∆中，1
3
a b C ===
，则ABC ∆的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3
4、下列函数中是偶函数，且又在区间(－∞，0)上是增函数的是( )
A 、2
y x = B 、2
y x -= C 、|x|1
y ()4
-= D 、5
63log y x =
5、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17136a a a -+=，则13S =（ ） A ．78 B ．91
C ． 39
D ．2015
6、已知几何体的三视图（如右图），则该几何体的表面积为 （ ）
A ．
B ．．4+
D ．4+
7、下列命题中的假命题是（ ） A ．3,0x R x ∃∈<
B ．在斜二测画法中，直观图的面积是原图形面积的
C ．00a a >>“”是“”
充分不必要的条件； D ．关于x 的不等式22
280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115,x x -=则5
2
a =；
8、已知不等式112
2
log (4)log (32),x y x y ++<+-若x y λ-<恒成立，则λ的取值范围是（ ）
A ．(,10]-∞
B ．(,10)-∞
C ．[10,)+∞
D ．(10,)+∞
9、如图，平行四边形ABCD 中，02,1,60AB AD A ==∠=，点M 在AB 边上，且1
3
AM AB =，则DM DB ⋅
等于( )
A ．
B
C ．1-
D ．1
10、定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件： （1）1
(3)()
f x f x +=-
；（2）对任意121236,()();x x f x f x ≤<≤<都有（3）(3)y f x =+的图像关于y 轴对称。

则下列结论中正确的是（ ）
A. (3)(4.5)(7)f f f <<
B. (3)(7)(4.5)f f f <<
C. (7)(4.5)(3)f f f <<
D. (7)(3)(4.5)f f f <<
11、 已知命题:p 关于x 的不等式422
1x x m x -+>的解集为{0,}x x x R ≠∈；命题:()(52)x
q f x m =--是减函数．若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(－∞，1]
D ．(－∞，1)
12、若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =有公共切线，则a 的取值范围为( )
A ．2
[,)8e +∞
B ．2
(0,]8e
C ．2
[,)4e +∞
D ．2
(0,]4
e
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13、已知,a b 是两个任意的正数，且满足2a b +=，则a b ⋅的最大值为 ；
14、已知(0,)θπ∈，且sin()4
10
π
θ-=
，则sin cos θθ+= ；
15、设函数()(0)2x f x x x =
>+，观察：1()()2
x f x f x x ==+ 21()(())34x
f x f f x x ==+，
32()(())78x
f x f f x x ==+
43()(())1516
x f x f f x x ==+，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n N *
∈且2n ≥时，
1()(())n n f x f f x -== .
16、定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向(,),(,)a m n b p q ==（其中,,,m n p q 均
为实数），令a b mq np =-。

在下列说法中： （1）若向量a b 与共线，则0a b =；
（2）a
b b a =；
（3）对任意R ))a b a b λλλ∈=，有((；
（4）（22
22
)()a b a b a b +⋅=(（其中a b ⋅表示a b 与的数量积，a 表示向量的模）。

正确的说法是 . （写出所有正确的说法的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、 （本小题满分10分）已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=.
(1)求a 与b 的夹角θ；(2)若b t a t c
)1(-+=，且0=⋅c b ，求及c
18、（本小题满分12分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222
f x x x π
θθθθπ=⋅+⋅-+<<， 其图象过点1
(
,)62
π。

(1)求θ的值；
(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,
]4
π
上的最大值和最小值．
19、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1PA AD ==，,E F 分别为,PD AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAB ； （2）求三棱锥D EFC -的体积．
20、（本小题满分12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式为
35068
146k x x S x x ,,,
⎧
++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，已知每日利润L S C =-.且当2x =时，3L = （1）求k 的值；
（2）当日产量为多少吨，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。

21、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且向量(,),(4,3)n a n S b n ==+共线； 等比数列{}n b 中1123,b a b a ==.
(1)求证：数列{}n a 是等差数列； (2)若数列{}n c 的通项公式为1
n n n
c nb na =+，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

22、(本小题满分12分)已知函数3()ln 1,(0,).().f x x x x g x x ax =-+∈+∞=-
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若对1(0,)x ∀∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围；
第三次月考高三数学（文）答案
1—12 BCCBA DBCDA BC
12、解答： 解：由2(0)y ax a =>，得/2y ax =，由x y e =，得/x y e =， ∵曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则 设公切线与曲线C 1切于点（211,x ax ），与曲线C 2切于点（22,x x e ），
则22
211212,x x e ax ax e x x -==-将212x ax e =代入221121
2,x e ax ax x x -=-，可得2122,x x =+
∴1
121
,2x e a x +=
记12(),2x e f x x +=则12
/2
(2)(),4x e x f x x +-=当x ∈（0，2）时，/()0,f x </
2()0,x f x >>当时， ∴当x =2时，2
min ()4
e f x =． ∴a 的范围是[）．
13、； 14、75； 15、(21)2
n n
x
x -+； 16、（1）（2）（3）； 17、解： (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6.---------------2分
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π
3
.-------------------5分
(2) 0915)1())1((2=+-=-+⋅=-+⋅=⋅t b t b a t b t a t b c b
5
3=∴t ----------8分
25108)5253(22=+=b a c ，5
36=∴c -----------10分
18、解 (1) 2
111()sin 2sin cos cos sin()cos(2)2222f x x x x πθθθθ=⋅+⋅-+=-．
又∵()f x 过点1(,)62π，由0θπ<<知3
π
θ=.
(2)由(1)知1()cos(2)23
f x x π
=-.
将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，变为1()cos(4)23
g x x π=-
∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π
3.
∴当4x －π3＝0，即x ＝π12时，()g x 有最大值1
2；
当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，()g x 有最小值－1
4.
19、（2）
1;24
20、（1）由题意得1822,068
11,6
x x L x x x ⎧++<<⎪
=-⎨⎪-≥⎩ （2）当06x <<时，
181822[2(8)]1818688L x x x x =+
+=--++≤=--
18
2(8),58x x x
-=
=-当且仅当即时等号成立。

当6x ≥时，115L x =-≤ 所以当5x =时，max 6L = 所以当日产量为5吨，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元。

21、解：（1）a b 与共线，得(3)4n n n S +=，当111
11;22
n n n n n a n a S S -+==≥=-=时，当时，
11
2n n a a -∴-=，所以数列{}n a 是等差数列；
（2）11
,22n n n n a b -+==；
2(1)211n n n T n n =+-++
22、解：（1）（0,1），（1，+∞）
（2）),0(1+∞∈∀x ，]2,1[2∈∃x 使得f(x 1)≤g(x 2)成立，等价于f(x)max ≤g(x)max 由（1）知f(x)max =0，当a≤0时，g(x)=x 3－ax 在x ∈)2,1[时恒为正，满足题意. 当a>0时，a x x g -='23)(，令0)(='x g 解得3
a
x ±= ∴g(x)在)3
()3,(∞+--∞，a
a 及上单调增 若
3
a
≤1即0<a≤3时，g(x)max =g(2)=8－2a ，∴8－2a≥0 ∴a≤4 ∴0<a≤3 若1<
3
a
≤2即3<a≤12时，g(x)在[1, 3a ],[3
a ,2] 而g(1)=1－a<0，g(2)=8－2a 在]4,3(为正，在(4,12)为负 ∴3<a≤4 当
3
a
>2而a>12时g(1)<0，g(2)<0不合题意 综上a 的取值范围为 a≤4.。