回归分析的基本思想及其初步应用

回归分析的基本思想及其初步应用
第二课时 回归模型的选择
郓城一中 乔聚远
1. 教学任务分析
（1） 回归模型的选择。

虽然两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟和，但
不能保证这种模型对数据的拟和效果最好。

为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型。

（2） 通过探究使学生体会，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模
型，即借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系：
① 如果散点图中的点分布在一个直线状带型区域，可以选用线性回归模型来建模。

② 如果散点图中的点分布在一个曲线状带型区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归模型来建模。

利用散点图可以看出两个变量之间的关系有时不能用线性回归模型描述，判断他们之间的关系是否近似于某种非线性关系，如22112,c x y c e y c x c ==+，若通过观察发现，它们经过变换可以转化为线性回归模型，如在212y c x c =+中，令t=2
x ，，这时y 与t 是线性关系，可以利用回归模型的知识建立y 与t 的模型，然后再把t=2x 代入，即得y 与x 的关系。

③ 初步体会不同模型拟和数据的效果，计算不同模型的相关指数，通过比较相关指数的大小来比较不同的拟和效果，这只是模型比较的一种方法，当然还有很多种其他方法。

2. 教学重点与难点
重点：通过探究使学生体会用线性回归模型研究非线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的方法。

难点：了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。

3. 教学基本流程
4.教学情境设计
本节课采用例2的情境教学，即构建一个以情境为基础，学生在学习中成为提出问题和解决问题的主体，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。

即启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题时需要使用线性回归模型，借此引发学生的认知冲突，揭示模型选择的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。

然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题。

在预习的基础学生感到了问题的抽象性，大量的篇幅让学生难以理解，针对这种情况以下教学过程采用了问题教学，逐步探讨知识的形成过程，使学生从中总结出问题的核心，知识的联系，使之成为一个知识的整体。

问题一：你能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗？
师：提出问题，引导学生回忆建立回归模型的基本步骤――――选变量，画散点图，选模型，估计参数，分析与预测
生：回忆、叙述建立回归模型的基本步骤
设计意图：复习建立回归模型的基本步骤
问题二：思考例2中如何选择解释变量与预报变量？
师：读例2的要求，引导学生理解例题的含义。

生：思考、讨论、叙述自己的理解。

形成把温度x作自变量，红铃虫的产卵数y 作因变量的共识。

设计意图：引导学生分析哪个变量作自变量，哪个变量作因变量。

问题三：观察图3.1－4中的散点图，红铃虫的产卵数y与温度x具有线性关系吗？除线性关系外，还学过哪些常见的函数关系？
师：绘制散点图3.1－4，引导学生观察散点图的特点：随着自变量的增加，因变量也随之增加。

引导学生探究红铃虫的产卵数y与温度x更可能是什么关系，
选择几个模型，比较线性回归模型、二次函数模型、指数函数模型。

生：讨论、回忆一些常见函数图像的特点，判断红铃虫的产卵数y 与温度x 的可
能关系。

设计意图：引导学生根据散点图判断两个变量的关系，使学生了解不是任何两个变量
都一定是线性关系。

问题四：两个变量是线性关系时利用最小二乘法得到了两个参数的估计公式，当模型不
是线性回归模型时如何估计模型中的参数？
师：教师提出问题，并指出：最小二乘法的思想同样适用于非线性回归模型，但
不能给出统一的公式，多数情况下用数值计算的方法。

设计意图：使学生了解非线性回归模型也有最小二乘法估计，但不能给出统一的公
式，多数情况下用数值计算的方法。

问题五：对模型212y c x c =+是否有办法求参数和的最小二乘估计？
师：从简单的模型入手，逐步引导学生思考把原来两个变量的非线性关系转化为
另外两个变量的关系。

生：观察模型，探究变换的方法并发表自己的意见，最后给出具体的方法。

设计意图：让学生知道有时因变量与自变量的非线性关系经过变换后可以转化为两
个新变量间的线性关系。

问题六：经过怎样的变换可以把模型21c x
y c e =转化为另外两个变量的线性关系？ 师：提出问题，引导学生寻找变换的方法，在学生讨论后给出具体的方法。

生：思考、讨论、解释
设计意图：使学生进一步体会把因变量与自变量的非线性关系经过变换后转化为另
外两个变量的线性关系的方法，
问题七：经过变换后这几个模型都转化为线性回归模型，如何得到这几个线性回归模型
的参数估计?
师：提出问题，引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量
的数据，然后让学生给出每种线性回归模型的参数估计。

生：以组为单位进行数据变换，求参数的最小二乘估计（可以用计算器） 设计意图：使学生熟悉线性回归模型的参数估计方法。

问题八： 如何使得到的线性回归模型再变回到红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型？ 师：我们的目标是建立红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型，如何使得到的线性回
归模型再变回到红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型。

生：进行变换，每组得到红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型。

设计意图：得出红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型。

问题九：上述模型中哪个能更好地刻画红铃虫的产卵数y 与温度x 的关系？
师：提出问题，引导学生回忆评价线性回归模型拟和好坏的标准（相关指数、残
差平方和），进一步引导学生探讨如何进行不同模型的比较，介绍计算模型
相关指数和残差平方和的方法，说明一般在参数个数一定的条件下，相关指
数越大或残差平方和越小说明模型拟和得越好。

生：讨论、提出自己的想法，计算每个模型的相关指数，并进行模型的比较。

设计意图：引导学生尝试进行不同模型的比较。

问题十：小结：我们希望找到两个变量的关系，如何发现它们之间的关系？如何比较不
同模型的拟和效果？
师：强调要借助散点图的直观性、联想已学过的基本函数图像、以及知识间的联
系，鼓励学生在建模中大胆尝试。

生：独立思考，总结从该例中获得的启发。

设计意图：让学生整理解决本例的思路，鼓励学生探究建立更好的模型。

课后作业：练习第1，2题；习题3.1第1题。

5.几点说明
（1）有条件的学校老师在课堂上可以演示用计算机软件计算参数的最小二乘估计、相关指数、残差平方和和画残差图等。

（2）在教学中应鼓励学生多思考，遇到不同的实际问题应考虑原来的统计方法是否仍然适用，在不能适用的情况下要探究新的统计方法，从而体会统计方法的有
效性、局限性和可改进性的特点。