三角形中的5种解题模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

重难点：三角形中的5种解题模型【知识梳理】
一、“8”字模型
三角形三个内角的和等于180°
对顶角相等
二、飞镖模型
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.
三、“A”字模型
三角形三个内角的和等于180°
四、“老鹰捉小鸡”模型
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
五、（双）角平分线模型
1.双内角平分线
2.双外角平分线
3.内角平分线+外角平分线
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
【考点剖析】
一、“8”字模型
1．（2021秋•宁远县校级期中）如图所示，∠α的度数是（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D
∴30°+20°＝40°+α，
∴α＝10°
故选：A．
2．（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，
∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．
又∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．
同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．
∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．
∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，
∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．
∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．
∴∠A+∠C＝2∠P．
又∵∠A＝45°，∠P＝40°，
∴∠C＝35°．
故选：B．
3．（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．
【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：
如图，
在△AOB和△COD中，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，
在△AEP和△CED中，
∵∠AEP＝∠CED，
∴∠1+∠P＝∠2+∠D，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
4．（2019春•邗江区校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
二、飞镖模型
1．（2021春•宝应县月考）如图，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
【解答】证明：作射线AD，如图，
∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2，
2．（2020春•如东县期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数（用
含α和β的式子表示）；
③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求
∠A的度数．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：连接AD并延长到点E．
∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，
∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案为36．
②如图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，
则有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，
∴∠DCE＝．
故答案为．
③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°．
由题意可得，
解得∠A＝55°．
3．（2020春•锡山区期中）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A
＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠
A的度数．
【解答】解：（1）连接AD并延长至点F，
且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，
所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；
故答案为：40．
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；
而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°
∴（140﹣x）+x＝77，
14﹣x+x＝77，x＝70
∴∠A为70°．
题型三：“A”字模型
1．（2022春•云龙区校级月考）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．
故选：B．
2．（2021春•东台市月考）如图，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝°．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝75°，
∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．
故答案为：255．
3．（2020春•新野县期末）旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？
为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，
∴130°+∠2＝180°+∠C，
∴∠2﹣∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；
即∠P＝90°﹣∠A；
故答案为：50°，∠P＝90°﹣∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P＝90°﹣∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q＝180°+180°﹣2∠P＝360°﹣2∠P．
题型四：“老鹰捉小鸡”模型
1．（2022春•无锡期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2
【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠3＝（180°﹣∠1），
在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3A，
∠CED＝∠3+∠A，
∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，
∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，
整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，
∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
故选：A．
2．（2022春•洪泽区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；
∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
3．（2021春•江都区校级期末）如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝．
【解答】解：设折痕为EF，连接CC′．
∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，
∴∠1+∠2＝2∠ECF，
∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，
∴∠1＝80°﹣50°＝30°，
故答案为：30°．
4．（2021春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．
【解答】解：由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360．
5．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？
并说明理由．
【解答】解：（1）2∠A′＝∠1+∠2，
理由沿DE折叠使点A落在A′处的位置，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A′）＝2∠A′；
（2）2∠A′＝∠2﹣∠1，
理由：∵沿DE折叠使点A落在A′处的位置，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，
即2∠A′＝∠2﹣∠1．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
题型五：（双）角平分线模型
1．（2022春•海州区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（）
A．116°B．100°C．128°D．120°
【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，
∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED
＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED）
＝2∠A，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°，
∴∠A＝180°﹣116°＝64°，
∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°，
故选：C．
2．（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠ABC，∠ACO＝∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
3．（2022春•丹徒区月考）在△ABC中，∠A＝40°：
（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴2∠BOC＝180°+∠A，
∴∠BOC＝90°+∠A．
当∠A＝40°，∠BOC＝110°；
（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．
当∠A＝40°，∠BOC＝70°．
（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，
∴2∠BOC＝∠A，
即∠BOC＝∠A．
当∠A＝40°，∠BOC＝20°；
（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题 1．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
【答案】C 【分析】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠,再利用平角的定义可求出BED BDE ∠+∠的度数，进而利用三角形内角和可求∠B 的度数.
【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠
∵1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒
∴
11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒−∠−∠=⨯︒−︒=︒ ∴180()18014040B BED BDE ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒
故选C
【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A ．∠
B ＝∠D
B ．∠1＝∠A ＋∠D
C ．∠2＞∠
D D ．∠C ＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A ＋∠AOD ＋∠D ＝180°，∠C ＋∠COB ＋∠B ＝180°，∠A ＝∠C ，∠AOD ＝∠BOC ，
∴∠B ＝∠D ，
∵∠1＝∠2＝∠A ＋∠D ，
∴∠2＞∠D ，
故选项A ，B ，C 正确，
故选D ．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（ ）．
A ．180︒
B ．215︒
C ．235︒
D ．245︒
【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：65A ∠=︒，
18065115ADE AED ∴∠+∠=︒−︒=︒，
360115245BDE CED ∴∠+∠=︒−︒=︒，
故选：D ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．
4．（2023春·江苏镇江·七年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（ ）．
A ．72︒
B ．70︒
C ．65︒
D ．60︒
【答案】B
【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数．
【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，
∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒
∴180,AOB B OAB ∠=︒−∠−∠
同理得180,AOC OAC C ∠=︒−∠−∠
∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒
∴360BOC AOB AOC ∠=︒−∠−∠
360(180)(180)B OAB OAC C =︒−︒−∠−∠−−∠−∠
107,B C BAC =∠+∠+∠=︒
∵72,BED ∠=︒
∴180108,DEO BED ∠=︒−∠=︒
∴360DFO D DEO EOF ∠=︒−∠−∠−∠
36035108107110,=︒−︒−︒−︒=︒
∴180********DFC DFO ∠=︒−∠=︒−︒=︒,
故选：B ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒−．
二、填空题 5．（2023·全国·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若1120∠=︒，那么32∠−∠的度数为 ．
【答案】60︒
【分析】根据平角的定义求出4∠，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
14180∠+∠=︒，1120∠=︒，
460∴∠=︒，
324Ð=Ð+ÐQ ，
32460∴∠−∠=∠=︒，
故答案为：60︒．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
6．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF 并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF ，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF ，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD 减少了10°，
若只调整∠D 的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D 减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 7．（2022春·七年级单元测试）如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在图中的A '处，若29A ∠=︒，90BDA ∠'=︒，则A EC ∠'的大小为 ．
【答案】32︒/32度
【分析】利用折叠性质得'45ADE A DE ∠=∠=︒，'AED A ED ∠=∠，再根据三角形外角性质得74CED ∠=︒，利用邻补角得到106AED ∠=︒，则'106A ED ∠=︒，然后利用''A EC A ED CED ∠=∠−∠进行计算即可．
【详解】解：∵'90BDA ∠=︒，
∴'90ADA ∠=︒，
∵ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在图中的A'处，
∴'45ADE A DE ∠=∠=︒，'AED A ED ∠=∠，
∵294574CED A ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴106AED ∠=︒，
∴'106A ED ∠=︒，
∴''1067432A EC A ED CED ∠=∠−∠=︒−︒=︒．
故答案为：32︒．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 七年级课时练习）如图，在ABC 中， 【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF 的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA 的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA ）=360°﹣122°=238°，
∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，
∴∠EAC=1
2∠DAC ，∠ECA=1
2∠ACF ，
∴∠EAC+∠ECA =1
2（∠DAC+∠ACF ）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA ）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 9．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1
ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ；L ；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠= ．
【答案】20202α
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得
112A A ∠=∠，同理得212122A A α∠=∠=；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A
∴11118022A ABC ACB ACD ∠=︒−∠−∠−∠
∵ACD A ABC ∠=∠+∠
∴111802A ABC ACB A ∠=︒−∠−∠−∠
∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒
∴112A A ∠=∠
同理，得
2121112222A A A α∠=∠=⨯∠=； 323111122222A A A α∠=∠=⨯⨯∠=；
43411111222222A A A α∠=∠=⨯⨯⨯∠=；
…
1122n n n A A α−∠=∠= ∴
202020202A α
∠= 故答案为：20202α
． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
三、解答题 10．（2022秋·八年级课时练习）如图，ABC ∆中，
(1)若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；
(2)若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上），请用A ∠表示1BO C ∠，1n BO C −∠．
【答案】(1)111203BO C A ∠=︒+∠，22603BO C A ∠=︒+∠，
(2)()118011n BO C A n n ︒−∠=+∠，11801n n BO C A n n −︒−∠=+∠
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，再由ABC ∠、ACB ∠的三等分线交
于点1O 、2O ，可得111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠再根据三角形的内角和
定理，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，再由ABC ∠、
ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒−∠111(180),n n n O BC O CB A n −−−∠+∠=︒−∠再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，
∴180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，
∵ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，
∴111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠ ∴11111180()180(180)12033BO C O BC O CB A A ∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=︒+∠，
22222180()180(180)6033BO C O BC O CB A A ∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=︒+∠；
（2）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，
∴180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，
∵ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒−∠111(180),n n n O BC O CB A n −−−∠+∠=︒−∠
∴()()111180111180180(180)n BO C O BC O CB A A n n n ︒−∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=+∠，
()11111801180180(180)n n n n n BO C O BC O CB A A n n n −−−−︒−∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=+∠．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键． ）如图所示，在ABC 中，
）如图所示，ABC 的外角平分线
）如图所示，ABC 的内角平分线 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．
由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①
由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②
由②得180x y BOC +=−∠︒．③
把③代入①，得()2180180A BOC ∠+−∠=︒︒，
即2180BOC A ∠=︒+∠，
即1902BOC A ∠=+∠︒
（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，
由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒−∠−∠，
=180°-
12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB ）]， =180°-
12（∠A+180°）， =90°-1
2∠A ；
（3）如图：
∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=1
2（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE 中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE 中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=1
2∠A ．
【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 12．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．
（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．
（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？
【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒
【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；
（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．
【详解】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，
11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，
∠ABC+∠ACB ＝130°，
1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，
180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，
（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，
11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，
1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，
180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，
1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒−∠，
180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð
1180(90)2A =︒−︒−∠
1902A =+∠︒
∠BPC ＝3∠A
13902A A ∴∠=︒+∠，
36A ∴∠=︒．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 13．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，已知四边形ABDC ，求证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．
【答案】见解析
【分析】方法1连接BC ，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线AD ，根据三角形的外角性质得到31B ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD ，交AC 于点E ，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】方法1如图所示，连接BC.
在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=，即12180A ABD ACD ∠+∠+∠+∠+∠=.
在BCD △中，12180BDC ∠+∠+∠=，
++
∴∠=∠∠∠；
BDC A ABD ACD
方法2如图所示，连接AD并延长.
∠是ABD
△的外角，
3
∴∠=∠∠.
31+ABD
∠=∠+∠.
同理，42ACD
∴∠+∠=∠+∠+∠+∠.
3412ABD ACD
∠=∠+∠+∠.
即BDC A ABD ACD
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.
∠是ABE的外角，
DEC
∴∠=∠+∠.
DEC A ABD
BDC
∠是DEC的外角，
∴∠=∠+∠.
BDC DEC ACD
BDC A ABD ACD
∴∠=∠+∠+∠.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；
②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A ∠的度数．
【答案】(1)=++BDC BAC B C ∠∠∠∠
(2)①40，②90，③70°
【分析】（1）根据题意观察图形连接AD 并延长至点F ，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；
（2）①由（1）的结论可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，然后把50A ∠=︒，90BXC ∠=︒代入上式即可得
到ABX ACX ∠+∠的值；②结合图形可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，代入50DAE ∠=︒，
130DBE ∠=︒即可得到ADB AEB ∠+∠的值，再利用上面得出的结论可知
()12DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠，易得答案．③
由②方法，进而可得答案．
【详解】（1）=++BDC BAC B C ∠∠∠∠，理由如下：
连接AD 并延长至点F ，
由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，
∵BDC BDF CDF ∠=∠+∠，
∴BDC BAD B C CAD ∠=∠+∠+∠+∠，
∵BAC BAD CAD ∠=∠+∠，
∴=++BDC BAC B C ∠∠∠∠；
（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，
∵50A ∠=︒，90BXC ∠=︒，
∴905040ABX ACX ∠+∠=︒−︒=︒，
故答案是：40；
②由（1）的结论易得=++DBE DAE ADB AEB ∠∠∠∠，DCE ADC AEC A ∠=∠∠∠＋＋，
∵50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，
∴80ADB AEB ∠+∠=︒；
∵DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠， ∴
12ADC ADB ∠=∠，12AEC AEB ∠=∠， ∴()14050902DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；
③由②知，
()1110BG C ABD ACD A ∠=∠+∠+∠， ∵177BG C ∠=︒，
∴设A ∠为x ︒，
∵140ABD ACD x ∠+∠=︒−︒， ∴()11407710x x −=+，
∴70x =，
∴A ∠为70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出BDC A B C ∠=∠+∠+∠是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．
（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；
（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．
【答案】（1）72︒；（2）40︒．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=1
2ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ∴∠ADP=∠PDF=1
2ADC ∠，
∵60ADC ∠=︒，
∴30ADP ∠=︒，
∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，
∴∠A+∠C=2∠P ，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=1
2（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
16．（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【答案】(1)125︒
(2)
1
90
2
Q A ∠=︒−∠
(3)∠A的度数是45︒或60︒或120︒或135︒
【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝
1 2∠
ABC，∠PCB＝
1
2
∠
ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A
＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝1
2
∠
MBC，∠QCB＝
1
2
∠
NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+
1
2
∠
A，根
据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E ＝3∠Q，再求出答案即可
【详解】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝1
2
∠
ABC，∠PCB＝
1
2
∠
ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝1
2
∠
MBC，∠QCB＝
1
2
∠
NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝1
2（∠MBC+∠NCB）＝
1
2（180°+∠A）＝90°+
1
2
∠
A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+1
2
∠
A）＝90°﹣
1
2
∠
A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝1
2
∠
A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝1
2∠ABC+
1
2
∠
MBC
＝1
2（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
17．（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，
(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．
(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．
b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．
【答案】(1)13cm
(2)a、112.5°；b、90°＋1
2x°
【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm．
（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．
【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm
∴1＜BC＜7
∴BC=6 cm
∴三角形的周长为：
C△ABC=AB+AC+BC
=4+3+6
=13cm
（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠PBC=1
2∠ABC，∠PCB=
1
2∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=1
2∠ABC+
1
2∠ACB
=1
2(∠ABC+∠ACB)
=1
2×135°
=67.5°
∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)
=180°−67.5°
=112.5°
b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x°
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠PBC=1
2∠ABC，∠PCB=
1
2∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=1
2∠ABC+
1
2∠ACB
=1
2(∠ABC+∠ACB)
=1
2×(180°− x°)
=90°−1
2x°
∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)
=180°−(90°−1
2x°)
=90°＋1
2x°
【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三
边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．
【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒−∠+∠
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩解方程即可得到答案；
（3）根据直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，得到
1=2PAB PAD BAD ∠=∠∠，1=2PCB PCE PCD ∠=∠∠从而可以得到180°()2PAB PCB D B −∠+∠+∠=∠，再
根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D ，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D 得到=P B PAD PCB PAB PCB ∠−+=∠+∠∠∠∠即可求解；
（4）连接PB ，PD 根据APB PBA PAB +∠+∠=∠ 180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠ 180°得到APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠ 360°，同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠ 360°，再根据=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°，FAP PAO ∠=∠，PCE PCB ∠=∠，即可求解.
【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠=180°，C D COD ∠+∠+∠=180°，
A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．
AOB COD ∠=∠，
A B C D ∴∠+∠=∠+∠；
（2）AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，
则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨
+∠=+∠⎩，
ABC P P ADC ∴∠−∠=∠−∠，
()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°
（3）直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，
1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠∠，1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠，
∴2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠，
∴180°()2PAB PCB D B −∠+∠+∠=∠
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D ，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴=P PAD BAD B PCD BCD ∠+−−−∠∠∠∠∠
,P PAB B PCB ∴∠−∠−∠=∠
∴P B PAB PCB ∠−=∠+∠∠
∴180°()2P B D B
−∠−∠+∠=∠， 即P ∠=90°()12B D +∠+∠．
（4）连接PB ，PD
直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠， FAP PAO ∴∠=∠，PCE PCB ∠=∠，
∵APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180° ∴APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°
同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°
∴2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°
∴2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°
∵=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°
∴2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360°，
APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。