高考数学一轮复习大题专项突破高考大题专项突破4高考中的立体几何课件文北师大版

S△ABC·
h=△1 ·
OC,∴h= 6.
-14题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解题心得求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥
变换顶点及底面的位置,其体积相等的方法求解.
-15题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
对点训练2(202X山东烟台适应性考试,18)如图所示,在五面体
ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠BAD=60°,
题型四
题型五
由已知得 EH=2 3,BE= 2 + 2 =2 6,
所以等腰三角形 BDE 的面积为
1
SBDE=2×2
6×
1
2
42 -( 6)2 =2 15.
1
2
1
2
3
2
又 S△BDM= S△BCD= ×( ×4×4× )=2 3,
设 F 到平面 BDE 的距离为 h,
1
3
1
3
由 VE-BDM=VM-BDE 得 ·
中再取中点,构成中位线进行证明.
2.求几何体的体积也常用转化法,如本例中求几何体的高和求几
何体底面三角形的高.点N到底面的距离转化为点P到底面距离的
一半;点M到BC的距离转化为点A到BC的距离.
-9题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
对点训练 1
(2017 全国 2,文 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三
于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2 3.
1
所以四棱锥 PΒιβλιοθήκη ABCD 的体积 V=3 ×2×(2+4)
×2
2
3=4 3.
-12题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二 等积法求高或距离
例2(202X河南南阳期末,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面
ABB1A1为矩形,AB=1,AA1= 2 ,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且
变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等
的不变性.
-5题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 平行关系的证明及求体积
例1(202X江西重点中学盟校联考,18)已知边长为2的正方形
ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直,M为BC中点.
(1)求证:EM∥平面ADF;
(2)若∠ABE=60°,求四面体M-ACE的体积.
连接BA1,交AB1于点E,再连接DE,
据直棱柱性质知,四边形ABB1A1为平行四边形,E为AB1的中点,
∵当AB=AC时,AD⊥BC,∴D是BC的中点,∴DE∥A1C,
又DE⫋平面AB1D,A1C⊈平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.
-24题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)解 如图,在平面BCC1B1中,过点B作BF⊥B1D,垂足为F,
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,
8
求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积.
3
-20题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解 (1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于
AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
∵EM⫋平面BCE,∴EM∥平面ADF.
-7题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)解 取 AB 中点 P,连接 PE.∵在菱形 ABEF 中,∠ABE=60°,
∴△AEB 为正三角形,∴EP⊥AB.∵AB=2,∴EP= 3.
∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,
∴EP⊥平面 ABCD,
解题心得求几何体的高或点到面的距离,经常根据高或距离的定
义在几何体中作出高或要求的距离.其步骤为:一作、二证、三求.
如何作出点到面的距离是关键,一般的方法是利用辅助面法,所作
的辅助面,一是要经过该点,二是要与所求点到面的距离的面垂直,
这样在辅助面内过该点作交线的垂线,点到垂足的距离即为点到面
的距离.
CO⊥平面ABB1A1.
(1)证明:BC⊥AB1;
(2)若OC= 2 OA,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
-13题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)证明 在矩形ABB1A1中,由平面几何知识可知AB1⊥BD,
又CO⊥平面ABB1A1,
∴AB1⊥CO,CO∩BD=D,BD,CO⫋平面BCD,
∴AB1⊥平面BCD,BC⫋平面BCD,∴BC⊥AB1.
由已知 EF∥AB 且
1
EF= AB,
2
又在菱形 ABCD 中,AB∥CD 且 AB=CD,
所以 EF∥CD 且
1
EF=2CD.
所以 OM∥EF 且 OM=EF,
所以四边形 OMFE 为平行四边形,
所以 MF∥OE.
又 OE⫋平面 BDE,MF⊈平面 BDE,
所以 MF∥平面 BDE.
-17题型一
-6题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)证明 ∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥AD.
∵BC⊈平面ADF,AD⫋平面ADF,
∴BC∥平面ADF.
∵四边形ABEF是菱形,
∴BE∥AF.
∵BE⊈平面ADF,AF⫋平面ADF,
∴BE∥平面ADF.
∵BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,
∴平面BCE∥平面ADF.
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)证明 ∵AA1=A1C,且O为AC的中点,
∴A1O⊥AC,
∵平面AA1C1C⊥平面ABC,且交线为AC,
又A1O⫋平面AA1C1C,
∴A1O⊥平面ABC.
(2)解 ∵△1 1 = △1 ,
∴-1 1 = -1 ,
又∵-1 = 1 - ,
∵D是BC中点,
∴点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等,
∵A1C∥平面AB1D,
∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离,
∴BF 长为所求,在 Rt△B1BD 中,BD=1,BB1=2,B1D= 5,
∴BF=
2
5
=
2 5
,∴点
5
2 5
.
5
A 到平面 AB1D 的距离为
-25题型一
EA=ED=AB=2EF=4,EF∥AB,M为BC的中点.
(1)求证:FM∥平面BDE;
(2)若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离.
-16题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)证明 取 BD 中点 O,连接 OM,OE,
因为 O,M 分别为 BD,BC 中点,
1
所以 OM∥CD 且 OM=2CD,
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)解 由(1)得FM∥平面BDE,
所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离.
取AD的中点H,连接EH,
因为EA=ED,所以EH⊥AD,
因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,
EH⫋平面ADE,
所以EH⊥平面ABCD.
-18题型一
题型二
题型三
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.
由(1)知,AB⊥平面 PAD,故 AB⊥PE,可得 PE⊥平面 ABCD,所以
2
PE 为四棱锥的高.设 AB=x,则由已知可得 AD= 2x,PE= 2 x.故四棱
锥 P-ABCD 的体积
1
3
8
3
1
1 3
VP-ABCD= AB·
-22题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
对点训练3
(202X山西汾阳联考,18)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC
上的一点,AB=AC,且AD⊥BC.
(1)求证:A1C∥平面AB1D;
(2)若AB=BC=AA1=2,求点A1到平面AB1D的距离.
-23题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)证明 如图,
由(1)知点 C1 到平面 ABC 的距离为 A1O= 3,
1
又∵S△OBC=2 ×
1
∴1 - = 3 ×
∴-1 1 =
3
3×1= 2 ,
3
1
3 × 2 = 2,
1
1 - = .
2
-27题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解题心得从解题方法上讲,由于线线垂直、线面垂直、面面垂直
高考大题专项四
高考中的立体几何
-2-
从近五年的高考试题来看,立体几何解答题是高考的重点内容之
一,每年必考,一般处在试卷第18题或者第19题上,主要考查空间线
线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积,试题
以中档难度为主.着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化
与化归思想,几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主.
1
2
角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线 BC∥平面 PAD;
(2)若△PCD 的面积为 2 7,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
-10题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解 (1)在平面 ABCD 内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以 BC∥AD.
证明一线垂直于另一线所在的平面即可,即l⊥α,a⫋α⇒l⊥a.
2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线
S△BDM·
EH= ·
S△BDE·
h,
1
1
2 15
,
5
即3×2 3×2 3 = 3×h×2 15,解得 h=
∴点 F 到平面 BDE 的距离为
2 15
.
5
-19题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型三 定义法求高或距离
例3 (202X全国1,文18改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且
∠BAP=∠CDP=90°.
-3-
1.证明线线平行和线线垂直的常用方法
(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时
和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角
形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定
理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即
高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需
3
6
(2)解 在矩形 ABB1A1 中,由平面几何知识可知 OA= 3 ,OB= 3 ,
6
∵OC= 2OA,∴OC= 3 ,
2 3
2
∴AC=1,BC= 3 ,S△ABC= 6 ,
设三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 h,即三棱锥 A1-ABC 的高为 h.
又△1 =
2
,由-1
2
= 1 - 得
又 BC⊄平面 PAD,AD⊂平面 PAD,故 BC∥平面 PAD.
(2)取 AD 的中点 M,连接 PM,CM.
1
由 AB=BC=2AD 及 BC∥AD,∠ABC=90°得四边形 ABCM 为正
方形,则 CM⊥AD.
因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD∩
平面 ABCD=AD,所以 PM⊥AD,PM⊥底面 ABCD.
题型二
题型三
题型四
题型五
题型四 垂直关系的证明及求体积
例4 (202X辽宁大连二模,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC
和△AA1C均是边长为2的等边三角形,平面AA1C1C⊥平面ABC,点O
为AC中点.
(1)证明:A1O⊥平面ABC;
(2)求三棱锥O-B1BC1的体积.
-26题型一
AD·
PE= x .
3
3
由题设得 x3= ,解得 x=2.
故四棱锥的高 PE= 2,
从而 PA=PD=2,AD=BC=2 2,PB=PC=2 2.可得四棱锥
P-ABCD
1
1
1
1
的侧面积为2PA·
PD+2PA·
AB+2PD·
DC+2BC2sin
60°=6+2 3.
-21题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
-11题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
因为 CM⊂底面 ABCD,所以 PM⊥CM.
设 BC=x,则 CM=x,CD= 2x,PM= 3x,PC=PD=2x.
取 CD 的中点 N,连接 PN,则 PN⊥CD,所以 PN=
因为△PCD 的面积为 2 7,
1
所以2 ×
2x×
14
x=2
2
14
x.
2
7,
解得 x=-2(舍去),x=2.
∴EP 为四面体 E-ACM 的高.
∴VM-ACE=VE-ACM
1
=3S△ACM·
EP
1
1
=3 × 2×1×2×
3
=3.
3
-8题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解题心得1.证明平行关系,第一考虑的方法是转化法.证明线面平
行、面面平行可以转化为证明线线平行;证明线线平行可以转化为
证明线面平行或面面平行.若题目中已出现了中点,可考虑在图形
垂直.
-4-
3.求几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时
可采用等体积转换法求解.
(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆
锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不