2017年新疆乌鲁木齐中考数学试题(含解析)

2017新疆乌鲁木齐中考数学试卷
满分：150分版本：人教版
一、选择题（每小题4分，共10个小题，合计40分）
1.（2017新疆乌鲁木齐，1，4分）如图，数轴上点A表示数a，则a是（）
A.2
B.1
C. －1
D. －2
=2，故选A.
答案：A，解析：点A表示的数是－2，2
2. （2017新疆乌鲁木齐，2，4分）如图，直线a∥b，∠1=72°，则∠2的度数是（）
A.118°
B.108°
C.98°
D.72°
答案：B，解析：如图，∵∠3与∠1是对顶角，∴∠3=∠1=72°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°－∠3=108°，故选B.
3. （2017新疆乌鲁木齐，3，4分）计算（ab2）3结果是（）
A. 3ab2
B. ab6
C.a3b5
D. a3b6
答案：D，解析：根据积的乘方和幂的乘方的性质，（ab2）3=a3（b2）3= a3b6，故选D.
4. （2017新疆乌鲁木齐，4，4分）下列说法正确的是（）
A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C.处于中间位置的数一定是中位数
D.方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小
答案：D 解析：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．故选D.
5. （2017新疆乌鲁木齐，5，4分）如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值
是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：C ， 解析：设多边形的外角为x °，则相邻的内角为2x °，根据“外角与相邻的内角互补”，得x+2x=180，解得x=60°，根据多边形的外角和是360°，所以360
660
n =
=，故选C. 6. （2017新疆乌鲁木齐，6，4分）一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b ＞0的解集是（ ）
A.x ＜2
B.x ＜0
C.x ＞0
D. x ＞2
答案：A ， 解析：直线y=kx+b 在x 轴上方的部分，y 值大于0，此时x 的取值范围为x ＜2，故选A.
7. （2017新疆乌鲁木齐，7，4分）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20％，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（ ） A.
()3030
5120x x
-
=+% B.
3030520x
x -
=%
C.
3030520x
x
+=
% D.
()30
305120x
x
-
=+%
答案：A ， 解析：设原计划每天植树x 万棵，则实际每天植树（1+20%）x 万棵，根据等量关系“原计划植树天数－实际植树天数=5”可列方程
()3030
5120x x
-
=+%，故选A.
8. （2017新疆乌鲁木齐，8，4分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A. π
B.2π
C. 4π
D. 5π
答案：B ，解析：观察三视图发现几何体为圆锥，其母线长为R=()
2
2
3
1+=4=2，侧面积为12lR =
12
×2π×1×2=2π，故选B.
9. （2017新疆乌鲁木齐，9，4分）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处.若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（ ） A.1 B.
3 C.2 D. 23
答案：C ， 解析：过点G 作GM ⊥AD ，垂足为M. ∵GE=2BG ，∴设BG=x ，GE=2x. ∵∠AFG=60°，AD ∥BC ，∴∠FGE=∠AFG=60°. ∵四边形FDCE 折叠得到FGHE ，∴∠GFE=∠DFG=
1802
AFG
-∠o
=60°，DF=FG ，
∴△FGE 是等边三角形，∴EF=EG=FG=2x ，DF=FG=2x.
在Rt △FMG 中，GM=GF ×sin ∠AFG=3x ，FM= GF ×cos ∠AFG=x.
易证四边形ABGM 是矩形，∴AM=BG=x ，AB=GM=3x ，∴AD=AM+FM+DF=4x ，
∵矩形ABCD 面积为43，∴AD ×AB=4x ×3x =43，解得x=1，所以EF=2x=2，故选C. 10. （2017新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，点A （a ，3）、B （b ，1）都在双曲线3y x
=上，点C ，
D 分别是x 轴、y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ） A. 52 B. 62 C. 21022+ D.82
答案：B ，解析：∵点A （a ，3）、B （b ，1）都在双曲线3y x
=
上，∴a=1，b=3，∴A （1，3）、B （3，
1），则22(13)(31)-+-8=22作点A 关于y 轴的对称点A 1，作点B 关于x 轴的对称点
B 1，连接A1 B1，交y 轴于点D ，交x 轴于点
C ，则A 1（－1，3）、B 1（3，－1），A1 B1=
22
(13)[3(1)]
--+--=32=
42，根据轴对称的性质，四边形ABCD周长的最小值是AB+ A1 B1=22+42=62，故选B.
二、填空题（每小题4分，共5个小题，合计20分）
11. （2017新疆乌鲁木齐，11，4分）计算：13
-+
5
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
= .
答案：3
解析：1＜3，∴1－3＜0，根据“负数的绝对值等于它的相反数”，得13
-=3－1；
根据“任何非0数的0次幂都等于1”，得
5
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
=1，所以原式=3－1+1=3.
12. （2017新疆乌鲁木齐，12，4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD 的面积为.
答案：23
解析：过点D作DE⊥AB于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2.
在Rt△DAE中，DE= AD·sin∠DAB=2×
3
2
=3，菱形ABCD的面积= DE×AB=
13. （2017新疆乌鲁木齐，13，4分）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20％，则这件衣服的进价是元.
答案：100 解析：设衣服的进价为x元，根据等量关系“标价×折数－进价=进价×利润率”列方程得200×0.6－x=x×20%，解方程得x=100，即这件衣服的进价是100元.
14. （2017新疆乌鲁木齐，14，4分）用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为.
答案：
33
2π-
解析：连OA，OP，AP，△OAP的面积是，
扇形POA的面积是
2
601
360
π⨯
=，
线段OA和
»OA面积是－，
阴影面积是3×2×（－）=π－．
15. （2017新疆乌鲁木齐，15，4分）如图，抛物线2
y ax bx c
=++过点（－1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：
①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（－3，y2）则y 1＞y 2；
④无论a、b、c取何值，抛物线都经过同一个点（
c
a
-，0）；⑤2
am bm a
++≥0.其中所有正确的结
论是.
答案：②④⑤
解析：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线和y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线
2
y ax bx c
=++过点（－1，0），对称轴为直线x= 1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，
0），∴9a+3b+c=0，又a＞0，∴9a+3b+c+a＞0，即10 a+3b+c＞0，故②正确；
∵直线x=4与直线x=1相距3个单位长度，直线x=－3与直线x=1相距4个单位长度，根据抛物线的对称性，所以y2＞y1，故③错误；
∵抛物线2y ax bx c =++过点（－1，0），∴a －b+c=0，∴b=a+c ；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴
12b a
-
=，∴b=－2a ，∴a+c=－2a ，∴c=－3a ，c
a
-=3，∴无论a 、b 、c 取何值，抛物线都经过同一个点（3，0），故④正确.
∵x=m 对应的函数值为y=am 2+bm+c ，x=1对应的函数值为y=a+b+c ，
又∵x=1时函数取得最小值，∴a+b+c ＜am 2+bm+c ，即a+b ＜am 2+bm ，∵b=－2a ， ∴am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是②④⑤. 三、解答题（共9个小题，合计90分）
16.（2017新疆乌鲁木齐，16，8分）解不等式组：()32421
13
x x x x -->+>-⎧⎪⎨⎪⎩ 思路分析：分别解两个不等式，求出不等式的解集，再确定解集的公共部分. 解：
解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x ＜4，根据“大小小大取中间”，得不等式组的解集是1＜x ＜4.
17. （2017新疆乌鲁木齐，17，8分）先化简，再求值：222
8224+2x x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭
，其中3x =思路分析：先计算括号内的异分母分式加减法，再进行分式的除法运算，最后化简求值.
解：原式=()()()282
2222x x x x x x x x ⎡⎤++-⨯⎢⎥-+--⎣⎦=()()()()
2
282222x x x x x x x +-+⨯+-- =()()()24482222x x x x x x x x ++-+⨯+--=()()()2442
222x x x x x x x -++⨯
+--=()()()()
2
22222x x x x x x -+⨯+-- =
1x
， 当3x =
3
=
33
.
18. （2017新疆乌鲁木齐，18，10分）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今
有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：及和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？
思路分析：设笼中鸡有x只，兔有y只，根据等量关系“鸡的只数+兔的只数=35”和“鸡的腿数+兔的腿数=94”列方程组，解方程组写出答案.
解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意得
35
2494
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解方程组得
23
12
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
.
答：笼中鸡有23只，兔有12只.
19. （2017新疆乌鲁木齐，19，10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF.
思路分析：根据平行四边形的性质证明△AED≌△CFB，所以∠AED=∠CFB，根据“内错角相等，两直线平行”完成证明.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，又∵BF=ED，∴△AED≌△CFB（SAS），∴∠AED=∠CFB，∴AE∥CF.
20. （2017新疆乌鲁木齐，20，12分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包括16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率.
步数频数频率
0≤x＜4000 8 a
4000≤x＜8000 15 0.3
8000≤x＜12000 12 b
思路分析：（1）根据“频率=
频数数据总数
”和“频数=数据总数×频率”求出a 、b 、c 、d 的值.
（2）算出样本平均数，从而估计出总体平均数.
（3）画树状图或列表给出所有可能发生的情况数和事件发生的情况数，再利用概率公式求出概率. 解：（1）a=
850
=0.16，b=0.24，c=10，d=2.
补全频数分布直方图如下图：
（2）
15
10050
⨯%=30%，37800×30%=11340（人）
，即估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名.
（3）设16000≤x ＜20000的三名教师分别为A 、B 、C ，20000≤x ＜24000的两名教师分别为X 、Y ，
A B C X Y A BA CA XA YA B AB CB XB YB C AC BC XC YC X
AX
BX
CX
YX
12000≤x ＜16000 c 0.2 16000≤x ＜20000 3 0.06 20000≤x ＜24000 d
0.04
Y AY BY CY XY
从表中可知，选取日行走步数超过16000步（包括16000步）的两名教师与大家分享心得，共有20种情况，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的有2中情况，所以2
20=
1
10
，
即被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率是
110
.
21. （2017新疆乌鲁木齐，21，10分）一艘渔船位于港口的北偏东60°方向，距离港口20海里B 处，它沿着北偏西37°方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援，BC 之间的距离为10海里，救援船从港口A 出发20分钟到达C 处，求救援船的航行速度.（sin37°≈0.6，cos37°≈1.732，结果取整数）
思路分析：辅助线如图所示，BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF. 在Rt △ABD 中，求出AD 的长，在Rt △BCE 中，利用锐角三角函数求得CE 和BE ，在Rt △AFC 中，由勾股定理求出AC ，最后根据“速度=路程时间
”
确定答案.
解：辅助线如图所示，BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF.
由题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，∴∠BAD=30°，∵AB=20海里，∴BD=10海里. 在Rt △ABD 中，AD=
22AB BD -317.32海里，
在Rt △BCE 中，sin37°= CE
BC
，∴CE=BC ·sin37°≈0.6×10=6海里， ∵cos37°=
EB
BC
，∴EB= BC ·cos37°≈0.8×10=8海里， EF= AD=17.32海里，∴FC=EF －CE=11.32海里，AF=ED=EB+BD=18海里， 在Rt △AFC 中，AC=
22AF FC +221811.32+≈21.26海里，
∵20分钟=13小时，∴21.26÷1
3
=21.26×3≈64海里/小时.
答：救援船的航行速度是64海里/小时.
22. （2017新疆乌鲁木齐，22，10分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式.
（4）何时两车相距300千米？
思路分析：结合题意观察图形，线段AB表示两车同时出发相向而行到相遇的情况，线段BC表示两车相遇后快车到达甲地的情况，线段CD表示在快车到达甲地后慢车到达甲地的情况.
解：（1）由图得，甲、乙两地相距600（千米），慢车总用时10小时.
（2）慢车速度为600
10
=60（千米/小时），设快车速度为x千米/小时，由图得，60×4+4x=600，解得
x=90（千米/小时），所以慢车速度为60千米/小时，快车速度为90千米/小时.
（3）由图得，600
90
=
20
3
，60×
20
3
=400（千米），时间为
20
3
小时时快车已经到达，此时慢车走了400
千米，所以C（20
3
，400），利用待定系数法求得线段BC的函数解析式为
150600 y x
=-
20
4
3
x
⎛⎫
≤<
⎪
⎝⎭
，线段CD的函数关系式为60
y x
=
20
10
3
x
⎛⎫
≤≤
⎪
⎝⎭
，
所以两车相遇后，y与x之间的函数关系式为
20
1506004
3
20
6010
3
y x x
y x x
=-≤<
=≤≤
⎧⎛⎫
⎪⎪
⎪⎝⎭⎨
⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎩
.
（4）设a小时时，两车相距300千米，分两种情况，①是相遇前两车相距300千米，由题意得60a+90a=600－300，解得a=2，②是相遇后两车相距300千米，由题意得60a+90a=600+300，解得a=6，所以2小时或6小时时，两车相距300千米.
23. （2017新疆乌鲁木齐，23，10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D.
（1）求证：△ADC ∽△CDB ；
（2）若AC=2，AB=32CD ，求⊙O 半径. 思路分析：（1）连接CO ，根据切线的性质得∠OCD=90
°，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同角的余角相等判断得出∠CAD=∠BCD.
（2）利用AB=3
2CD 和相似三角形的对应边成比例求出CB=1，再利用勾股定理求出直径AB 的长.
解：（1）证明：连接CO ，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°，又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAO=∠ACO=90°－∠OCB ，∠DCB=90°－∠OCB ，∴∠CAD=∠BCD ，又
∠ADC=∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB.
（2）设CD 为x ，则AB=
32x ，OC=OB=34x ，∵∠OCD=90°，∴OD=22OC CD + =2324x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=54x ，∴BD=OD －OB=12x ，由（1）知△ADC ∽△CDB ，∴AC CD CB BD =，即212
x CB x =，∴CB=1.在Rt △ACB 中，AB=22AC BC +=5，∴r=52，即⊙O 半径是52
.
24. （2017新疆乌鲁木齐，24，12分）如图，抛物线2
y ax bx c =++（a ≠0）与直线1y x =+相交于A （－1，0），B （4，m ）两点，且抛物线经过点C （5，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E.
①当PE=2ED 时，求P 点坐标；
②是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由
.
思路分析：（1）先确定B （4，5），再利用待定系数法求出二次函数解析式.
（2）设P （x ，245x x -++），E （x ，x+1），D （x ，0），分三种情况①P 点在抛物线上AB 之间，②P 点在抛物线上A 左侧，③P 点在抛物线上B 右侧，用字母x 表示PE 和ED ，再利用PE=2ED 建立方程，求出点P 的坐标.
（3）设P （x ，2
45x x -++），E （x ，x+1），B （4，5），C （5，0），分三种情况①EB=EC ， ②BE=BC ，③CB=CE ，根据两点间的距离公式列出方程，解方程确定点P 坐标.
解：（1）由题意得，点B （4，m ）在直线1y x =+上，∴B （4，5）.
∵抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过点A （－1，0），B （4，5）和点C （5，0）， ∴016452550a b c a b c a b c -+=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩，解得145a b c =-==⎧⎪⎨⎪⎩
，所以抛物线的解析式为245y x x =-++.
（2）设P （x ，2
45x x -++），E （x ，x+1），D （x ，0）.
设P 点在抛物线上AB 之间时，PE =245x x -++－ x －1，ED = x+1，
∵PE=2ED ，即245x x -++－ x －1=2（x+1），解得x 1=2，x 2=－1，所以点E （2,3）或E （－1，0），E （－1，0）与点A 重合舍去，∴此时P （2，9）.
若P 点在抛物线上A 左侧，PE = x+1+ 245x x --，ED =－ x －1，
∵PE=2ED ，即x+1+ 245x x --=2（－ x －1），解同上.
若P 点在抛物线上B 右侧，PE = x+1+ 245x x --，ED = x+1，
∵PE=2ED ，即x+1+ 245x x --=2（x+1），解得x 1=6，x 2=－1，所以点E （6，7）或E （－1，0），E （－1，0）与点A 重合舍去，∴此时P （6，－7）.
综合起来， P （2，9）或（6，－7）.
（3）设P （x ，245x x -++），E （x ，x+1），B （4，5），C （5，0），
当△BEC 是等腰三角形时，分三种情况：
①EB=EC ，即=，解得34x =，此时245x x -++=11916，所以点P 3119,416⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
②BE=BC ，即=，即()()22415x x -++-= ()()22
4550-+-，解得14x =24x =14x =245x x -++=
8-，所以点P ()48-，当24x =245x x -++=8，所以
点P ()48.
③CB=CE ，解得10x =或24x =，当10x =时，245x x -++=5，所以点P （0，5）；当24x =时，点E （4，5）与点B 重合舍去.
综上所述，存在点P 使△BEC 为等腰三角形，点P 的坐标为13119,416p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()
248P -，()
348P +，()40,5p .。