七年级数学上册有理数(提升篇)(Word版 含解析)(1)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 ( 大于秒.
（1）点表示的数是________.
（2）求当等于多少秒时，点到达点处？
（3）点表示的数是________(用含字母的式子表示)
（4）求当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度.
【答案】（1）1
（2）解：[6-（-4）]÷2=10÷2=5（秒）
答：当t=5秒时，点P到达点A处.
（3）2t-4
（4）解：当点P在点C的左边时，2t=3，则t=1.5；
当点P在点C的右边时，2t=7，则t=3.5.
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度.
【解析】【解答】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是： =1. 故答案是：1；
（ 3 ）点P表示的数是2t-4.
故答案是：2t-4；
【分析】（1）根据x c=可求解；
（2）根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值可求得AB的距离，再根据时间=路程÷速度可求解；
（3）根据题意可得点P表示的数=点P运动的距离+X B可求解；
（4）由题意可分两种情况讨论求解：① 当点P在点C的左边时，由题意可列关于t的方程求解；
② 当点P在点C的右边时，同理可求解.
2．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.
（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；
（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；
（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；
（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.
【答案】（1）-4
（2）6
（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；
（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8−2t），
解得，t＝，
当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t−8），
解得，t＝8，
∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.
【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，
则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，
∴|a|＝4，
∴a＝−4，
则点A表示的数是−4；
（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；
【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；
（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；
（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；
（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.
3．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.
（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.
①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；
②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.
老师点评：你的演算发现还不完整!
请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？
【答案】（1）2
（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，
∵AM＝2BM，
∴m﹣a＝2（b﹣m），
∴2﹣a＝2（b﹣2），
∴a+2b＝6，
∴a+2b+20＝6+20＝26；
②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.
当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（b﹣m），
∴m+2＝3b﹣3m，
∴3b﹣4m＝2，
∴代数式3b﹣4m是一个定值.
当点M在点B右侧时，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（m﹣b），
∴m+2＝3m﹣3b，
∴2m﹣3b＝2，
∴代数式2m﹣3b也是一个定值.
【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，
故答案为：2.
【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.
4．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点，数b的点与原点的距离相等。

（1）用“>”“<”或”=”填空：b________0，a+b________0，a-c________0 ，b-c________0 （2）|b-1|+|a-1|=________；
（3）化简：|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|。

【答案】（1）<；=；>；<
（2）a-b
（3）解：∵a+b=0，a＞c，b＜c，
∴原式=0+a-c-（-b）+c-b
=a.
【解析】【解答】解：（1）b＜0
∵表示数a的点，数b的点与原点的距离相等，
∴a+b=0；
∵a＞c，
∴a-c＞0；
∵b＜c，
∴b-c＜0.
故答案为：＜、=、＞、＜.
（2）∵b＜1，a＞1
∴b-1＜0，a-1＞0，
∴|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b；
故答案为：a-b；
【分析】（1）观察数轴可知b＜0，a与b互为相反数，a＞c，b＜c，由此可得答案。

（2）观察数轴可知b＜1，a＞1，从而可判断出b-1，a-1的符号，然后化简绝对值，合并即可。

（3）由a+b=0，a＞c，b＜c，再化简绝对值，然后合并同类项。

5．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足与互为相反数.
（1） ________， ________， ________.
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；
（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 .
①请问：的值是否随着时间变化而改变？若变化，说明理由；若不变，请求其值.
②探究：在(3)的情况下，若点、向右运动，点向左运动，速度保持不变，
值是否随着时间的变化而改变，若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）解：-3；-1；5；(2)3；
（2）3
（3）解：① ，
，
.
故的值不随着时间的变化而改变；
② ，
，
.
当时，
原式，的值随着时间的变化而改变；
当时，
原式，的值不随着时间的变化而改变.
【解析】【解答】（1）∵，∴，，解得，，∵是最大的负整数，∴ .故答案为：-3，-1，5.
(2) ，对称点为， .故答案为：3.
【分析】（1）由非负数的性质可求出a、c，最大的负整数是-1，故b=-1；
（2）折叠后AC重合，A、C的中点即为对称点，再根据对称点求出跟B重合的数；（3）①用速度乘以时间表示出运动路程，可得到和的表达式，再判断
的值是否与t相关即可；②同理求出和的表达式，再计算，分情况讨论得出结果.
6．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
（1）写出数轴上点B表示的数________；
（2）|5－3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
①：若，则=________.②：的最小值为________.
（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（＞0）秒．
①：当 =1时，A，P两点之间的距离为________；②：当 =________时，A，P之间的距离为2.
（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒4个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t=________，P，Q之间的距离为4.
【答案】（1）-12
（2）6或10；20
（3）6；3或5
（4）2或4
【解析】【解答】解：（1）∵AB=20，点A表示的数是8，B是数轴上位于点A左侧一点，
∴点B表示的数是8-20=-12.
故答案为：-12.
（2）∵|x-8|=2
∴x-8=±2
解之：x=10或x=6；
|x-（-12）|+|x-8|的最小值为8-（-12）=20.
故答案为：6或10；20.
（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴OP=2t
∴AP=8-2t
当t=1时，AP=8-2×1=6；
当AP=2时，则|8-2t|=2，
解之：t=5或t=3.
故答案为：6；3或5.
（4）∵点P以每秒4个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，
∴点Q的速度为每秒8个单位长度，
设运动时间为t（t＞0）秒时，P，Q之间的距离为4.
∴8t-4t-12=4或12+4t-8t=4
解之：t=4或t=2
故答案为：2或4.
【分析】（1）根据点A表示的数和点B的位置关系，就可得到点B所表示的数。

（2）利用绝对值的意义可知x-8=±2，求出方程的解即可；根据两点间的距离公式可求解。

（3）抓住题中关键的已知条件：可得到AP=8-2t，再将t=1代入计算可求出点A、P之间的距离；然后根据A、P之间的距离为2建立方程，解方程求出t的值。

（4）由题意可得到点Q的运动速度，再分情况讨论：当点P在点Q的右边和点P在点Q 左边，由点P和点Q之间的距离等于4，分别建立关于t的方程，解方程求出t的值即可。

7．如图1，在一条可以折叠的数轴上，点A，B分别表示数-9和4.
（1）A，B两点之间的距离为________.
（2）如图2，如果以点C为折点，将这条数轴向右对折，此时点A落在点B的右边1个单位长度处，则点C表示的数是________.
（3）如图1，若点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度也沿数轴向右运动，那么经过多少时间，A、B两点相距4个单位长度?
【答案】（1）13
（2）-2
（3）解：设运动t秒后，点A与点B相距4个单位，
由题意可知点A表示的数为-9+3t，点B表示的数为4+2t，
∴，
∴或
解得t=17或9.
答：运动9秒或17秒后，点A与点B 相距4个单位．
【解析】【解答】解：（1）AB=4-（-9）=13（2）设点C表示的数是x，
则AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，
∵A落在点B的右边1个单位，
∴AC-BC=1,
即AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，
解得：x=-2，
∴点C表示的数是-2．
故答案为：-2．
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解；（2）设点C表示的数是x，分别表示出AC、BC，再根据AC-BC=1列出方程解答即可；（3）运动t秒后，可知点A表示的数为-9+3t，点B表示的数为4+2t，再根据AB的距离为4，可得方程，解方程即可．
8．阅读材料:
在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.
（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;
（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?
（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.
【答案】（1）-4；10
（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：
设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.
则(3-1)x=14
解得：x=7
故7秒后点A，B重合.
（3）解：y不发生变化，理由如下：
设运动时间为x秒，则AM=x
而OP=
则y=OP-AM=
故y为定值，不发生变化.
【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.
【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.
9．观察下列两个等式：2﹣＝2× +1，5﹣＝5× +1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，
），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是________；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
【答案】（1）
（2）是
（3）（0.-1）等
（4）解：∵（a，3）是“共生有理数对”，
∴a-3=3a+1
解之：a=-2.
【解析】【解答】（1）数对（﹣2，1）
∴-2×1+1=-1，-2-1=-3
-1≠-3
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
数对（3，）
∴，
∴数对（3，）是“共生有理数对”；
故答案为：（3，）；
（2）∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n-（-m）=m-n
-n（-m）+1=mn+1
∴-n-（-m）=-n（-m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”
故答案为：是.
（3）∵0×（-1）+1=1
0-（-1）=1
∴（0，-1）是“共生有理数对”.
【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义：若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（2）若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（3）利用“共生有理数对”的定义，写出符合题意的“共生有理数对”即可。

（4）根据（a，3）是“共生有理数对”，建立关于a的方程，解方程求出a的值。

10．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，a、b满足|a﹣20|+（b+10）2＝0，O 是数轴原点，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________．
（2）t为何值时，BQ＝2AQ．
（3）若在点Q从点B出发的同时，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度一直沿数轴正方向匀速运动，而点Q运动到点A时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点B时停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝6？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）20；﹣10
（2）解：当运动时间为t秒时，在数轴上点Q表示的数为3t﹣10，
∴BQ＝|﹣10﹣（3t﹣10）|＝3t，AQ＝|20﹣（3t﹣10）|＝|30﹣3t|．
∵BQ＝2AQ，即3t＝2|30﹣3t|，
∴3t＝2（30﹣3t）或3t＝2（3t﹣30），
解得：t＝或t＝20．
答：当t的值为或20时，BQ＝2AQ．
（3）解：AB＝|20﹣（﹣10）|＝30，
30÷3＝10（秒），10×2＝20（秒）．
当0＜t≤10时，在数轴上点Q表示的数为3t﹣10，点P表示的数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（3t﹣10）|＝10﹣t＝6，
∴t＝4；
当10＜t≤20时，在数轴上点Q表示的数为20﹣3（t﹣10）＝﹣3t+50，点P表示的数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（﹣3t+50）|＝5t﹣50＝6，
解得：t＝．
答：在点Q的整个运动过程中，存在合适的t值，使得PQ＝6，t的值为4或．
【解析】【解答】解：（1）∵|a﹣20|+（b+10）2＝0，
∴a﹣20＝0，b+10＝0，
∴a＝20，b＝﹣10．
故答案为：20；﹣10．
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值，进而可得出结论；（2）当运动时间为t秒时，在数轴上点Q表示的数为3t-10，结合点A，B表示的数可得出BQ，AQ的值，结合BQ=2AQ，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）由点A，B表示的数可求出线段AB的长，结合点Q的运动速度可得出点Q运动到点A的时间及点Q回到点B时的时间，分0＜t≤10及10＜t≤20两种情况，找出点P，Q表示的数，结合PQ=6，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
11．已知：是最大的负整数，且、b、c满足（c﹣5）2+| +b|=0，请回答问题.
（1）请直接写出、b、c的值： =________，b=________，c=________.
（2）、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|（请写出化简过程）. （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1；1；5
（2）解：当0≤x≤1时x+1＞0，x﹣1≤0，x-5 0
则|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|
=x+1﹣(1﹣x）+2(5-x）
=x+1﹣1+x+10-2x
=10
（3）解：BC﹣AB的值不随的变化而改变，总为2
秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
此时，BC=（）-（）= ，
AB=（）-（）= ，
所以BC-AB=（）-（）=2
∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，总为2.
【解析】【解答】解：（1）∵是最大的负整数，
∴ =﹣1
∵（c﹣5）2+| +b|=0
∴c-5=0;a+b=0
∴b=1；c=5
【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性求值即可；（2）由0≤x≤1得出x+1＞0；x﹣1≤0；x-5 0，然后根据绝对值的意义进行化简；（3）分别表示出t秒后，点A,B,C 所表示的数，然后根据两点间的距离求得BC,AB的长度，然后进行计算并化简.
12．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
（1）若b＝－4，则a的值为________.
（2）若OA＝3OB，求a的值.
（3）点C为数轴上一点，对应的数为c.若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
【答案】（1）10
（2）解：当A在原点O的右侧时（如图）：
设OB=m,列方程得：m+3m=14，
解这个方程得，，
所以，OA= ，点A在原点O的右侧，a的值为 .
当A在原点的左侧时（如图)，
a=－
综上，a的值为± .
（3）解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－ .
当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.
当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c= .
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，± .
【解析】【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA 的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.。