圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程
知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ
ρcos 1e ep
-=.
其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；
当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 1+cos ep
e ρθ
=
则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若1-sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例1.确定方程10
53cos ρθ
=
-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：31025333
1cos 1cos 55
ρθθ⨯
==-- 31053
e P ∴==，
2332555851015
103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨
⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩
52
b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25
54
长轴长，短轴长
解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需
令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。

根据左右顶
点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，
简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。

下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。

（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
1、椭圆中，c
b c c a p 2
2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）
若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2
22
2
cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2
222
cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ
θπθ2
sin 2)cos(1cos 1p
p p MN =--+-=
例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3
π
的直线，交双曲线与
A 、
B 两点，求AB ｜｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由
得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。

点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都
523cos ρθ
=
-12
(,),(,)33A B ππρρπ+12||AB ρρ=+5580||7
23cos 23cos()33
ππ
π=+=
--+12
ρρ+12
ρρ+
是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - 或 为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用
变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6
π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 求AB ｜｜
解：
附录直角坐标系中的焦半径公式
设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，
1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；
2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，
当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2
p
x PF +=.
利用弦长求面积
高考题（08年海南卷）过椭圆
22
154
x y +=的焦点F 作一条斜率为2的12ρρ
+ρ=
12(,),(,)
66
A B ππ
ρπρ+-12||
AB ρρ=
+1
1
|
|
11)66
πππ=++--（
）|=4
=
直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式22
2||1cos ep
AB e θ
=
-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2
AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。

变式(2005
年全国高考理科)已知点F 为椭圆2
212
x y +=的左焦点.过点F
的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，
过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.
解析以点F
为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：
2||1
1cos 2
PQ θ=
-
，202||1
1
1cos (90)1sin 2
2
MN θθ=
=
-+-
用他们来表示四边形的面积
1||||2S PQ MN =
g 22111sin cos 24θθ=+g 21
11sin 2216
θ=
+ 即求21
11
sin 2216θ+的最大值与最小值
由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值16
9
；当sin 20θ=时，面积取得最大值2
利用弦长公式解决常量问题
例一．过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l
交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，求椭圆的离心率.
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。

设椭圆的极坐标方程为θ
ρcos 1e p e -=
则
0240
cos 1,60cos 1e p
e FB e p e FA -=-=
， ∴
2
1221e
p e e p e +
⋅
=-，解得32=e ；
变式求过椭圆23cos ρθ
=
-的左焦点，且倾斜角为4π
的弦长AB 和左焦
点到左准线的距离。

解：先将方程ρ=化为标准形式：2
31
1cos 3
ρθ=- 则离心率13e =，2
3
ep =，
2p ∴=
所以左焦点到左准线的距为2。

设125(,),(,
)44
A B π
π
ρρ，代入极坐标方程，则弦长
122224
5173cos 3cos
44
AB ρρππ=+=+=
--
（3）定值问题
例1. 抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证
明：1
1a b
+定值。

解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos p
ρθ
=
-，设(,),(,)A a B b θθπ+
将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()
p p
a b θθπ=
=--+
则11a b
+=
1cos 1cos()p p θθπ--++=2
p （定值）
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。

推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有
ep
NF MF 2
11=+ 例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证11
AB CD
+为定值。

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θ
ρcos 1e ep
-=
，
又设()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,
+22ππρθρπθρθρθ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则代入可得 222||1cos ep AB e θ=
-，22
2||1sin ep
AB e θ
=-则 2
112-e =
AB CD 2ep
+ 注释。

此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。

注意使用的范围。

推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。

需要以原点为极点建立极坐标方程。

推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。

例三(2007重庆理改编)中心在原点O 的椭圆22
13627
x y +
=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点
123
P ,P ,P 使
122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠．
证明：
213
111
FP FP FP ++
为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
9
2cos ρθ
=
-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别
为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP = 9
2cos θ
-、
2||FP =
9
2cos(120)
θ-+与3||FP =
9
2cos(120)
θ--，因此
213
111
FP FP FP ++=
002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道00cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此
2131112
3
FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点． 推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢
推广2 设123P P P P n L 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP L 圆周角等分则n
2
i=1i
1OP ∑
也为定值
作业
（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆2
2
22
1(0)x y a b a
b
+=>>的焦点1F 作倾斜角
为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =． （1）求椭圆的离心率e ； （2）若15
||4
AB =
，求椭圆方程。