高中新课标数学概念、方法、题型、易误点汇整(三)

高中新课标数学概念、方法、题型、易误点汇整〔三〕
13．函数零点的求法：⑴直接法〔求f(x) 0的根〕；⑵图象法；⑶二
分法.
14．①求解数学应用题的一般步骤：
①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题
的实际背景，寻找各
量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题， 别忘了注上符合实际 意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果， 回归到实际问题中去。

〔2〕常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；
④建立y ax b 型。

x
.a≥f(x)恒成立 a≥ ②恒成立问题:别离参数法;最值法;化为一次或二次方程根
的分布问题
[f(x)] max,;a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)] mi n; 15．导数 ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作yx
x
f(x 0)
li
m f(x 0 x) f(x 0)；
x0
x
⑵常见函数的导数公式: ①C '
0；②(x n
)
'
nx
n 1
；③(sinx)
'
cosx
；④
(cosx)'
sinx ；
⑤(a x
)
'
a x
lna ；⑥(e x )
'
e x ；⑦(log a x)'
1 ；⑧(lnx)' 1 。

xlna
x
⑶导数的四那么运算
法那么：
(u v) u v;(uv) uv uv;(u
) uv uv ;
v v 2
⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是 “在〞还是“过〞该点的切线？ 注意：过某点的切线不一定只有一条;
如：函数f(x) x 3
3x ，过点P(2, 6)作曲线y f(x) 的切线，求此切线的方程〔答： 3x y 0或
24x y 54 0〕。

导数几何物理意义:k=f /(x 0)表示曲线y=f(x) 在点P(x 0,f (x 0)) 处切线的斜率。

V ＝s /(t)表示t
时刻即
时速度,a=v′(t) 表示t 时刻加速度。

如一物体的运动方程是
s 1 t t 2
，其中s 的单位是米，t 的单位 是秒，那么
物体在 t 3 时的瞬时速度为_____〔答：5米/秒〕
②利用导数判断函数
单调性： ⅰ f(x) 0 f(x)是增函数；ⅱ f(x) 0 f(x)为减函
数；
研究单调性步骤:分析y=f(x)
定义域;求导数;解不等式f /
(x)>0得增区间;解不等式f /
(x)<0得减区间;
注意f / (x)=0的点; 如：设a 0函数f(x) x 3
ax 在[1, )上单调函数，那么实数a 的取值范
围______
〔答：0 a 3〕；
③利用导数求极值：
ⅰ求导数 f (x)；ⅱ求方程f(x)
0的根；ⅲ检验 f(x)在根左右两侧符号,
假设左正右负,那么f(x)在该根处取极大值;假设左负右
正,那么f(x)
在该根处取极小
值;
④利用导数最大值与最小
值：ⅰ求f(x)0的根；ⅱ求区间端点值
〔如果有〕
；ⅲ把极值与
区间端
点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

如：〔1〕函
数y2x33x212x5在[0，3]上的最大值、最小值
分别是
______〔答：
5；
15〕
；
〔2〕函数f(x)x3bx2cx d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c有最__
值__答：大，15〕
2
〔3〕方程x
3
6x 2
9x 100的实根的个数为__〔答：1〕
特别提醒：〔1〕
x 0是极值点的充要条件是x 0点两侧导数异号，而不仅是f
x 0＝0，f
x 0＝0是x 0
为极值点的必要而不充分条件 。

〔2〕给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑
f(x 0)
0，又要考虑检
验“左正右负〞(“左负右正〞)的转化，否那么条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数
3 2 2 x1处有极小值 10，那么a+b 的值为____〔答：－7〕
fxx
ax
bxa 在
14．〔理科〕定积分
b n
⑴定积分的定义： f(x)dx
lim
a
n
i1 b
a f(i )
n
b
b
〔k 常数〕；
⑵定积分的性质：①
kf(x)dx kf(x)dx
a
a
b
b
b ②
[f 1(x)
f 2 (x)]dx
f 1(x)dx
f 2(x)dx
；
a
a
a
b
c b 〔其中acb)。

③
f(x)dx
f(x)dx
f(x)dx
a
a
c
b
⑶微积分根本定理〔牛顿—莱布尼兹公式〕
：
f(x)dx
F(x)|b a F(b)F(a)
a
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S
b
|f(x)g(x)|dx ；
a
求变速直线运动的路程：S
b
b v(t)dt ；③求变力做功：W
F(x)dx
a
a
第三局部
三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：
弧度
180 ，1
弧度，1弧度(180)5718
'
180
⑵弧长公式：l
R ；扇形面积公式： S
1 R
2
1
Rl 。

2
2
如扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是
1弧度，求该扇形的面积。

〔答：2
cm
2
〕
2．三角函数定义：角 中边上任意一点 P 为(x,y)
，设|OP|r 那么：
sin
y
,cos
x
,tan
y
r
r
x
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限〞
(注意：公式中始终视为锐角)
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
5．函数y=Asin( x) b〔0,A0 〕①五点法作图;②振幅?相位?初相? ③周期T= 2 ,频
率?
④φ=kπ时奇函数; φ=kπ+ 时偶函数.⑤y Asin(x )对称轴：k 2；对称
x
2
中心：(k ,0)(k Z)；y
Acos(x )对称轴：x k
；对称中心：
k ；总之，函数
yAsin(x
)在对称轴处取得最值 ,在对称中心处值为0;
(2
,0)(kZ)
余弦正切可类比.
如〔1〕函数ysin
5
2x 的奇偶性是______〔答：偶函数〕；〔2〕函数
2
f(x)axbsin1x (a,b f(5)7 ，那
么 f(5)
______〔答：－ 5〕；〔3〕函数
3
为常数〕，且
2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________〔答：
(
k
,1)(k Z)、x k
(k Z)〕；〔4〕f(x) sin(x
)3cos(x)
2
8
2 8 为偶函数，求
的值。

〔答：
k (k Z)〕
6
6．同角三角函数的根本关系：
sin 2 xcos 2x1;sinx tanx ；
tan
1，那么
sin
3cos cosx 如：知
1
＝____；sin
2
sin cos
2＝_________〔答：
tan si
n
cos
5 ； 13〕；
3
5
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ①
sin(
) sin
cos cos sin; ②cos(
) co s
cos
si n
si n
;③
tan(
) ta n ta
n 。

1tan
tan
8．二倍角公式：①sin2
2sin cos
；
2tan
②
cos2
cos
2 sin 2
2cos 2
1
1 2sin 2
；③tan2。

5
1tan 2
如：函数f(x)
5sinxcosx
53cos 2x
3(x R)的单调递增区间为___________
5
2
〔答：
[k
,k
](k Z)〕
12 12
a
b
c
9．正、余弦定理⑴正弦定理
2R 〔
2R 是 ABC 外接圆直径〕
sinB
sinC
sinA
注：①
a:b:c
sinA:sinB:sinC
；②
a
2RsinA,b
2RsinB,c
2RsinC
；③
a b
c
a b c。

sinA
sinB sinC
sinA sinB sinC
⑵余弦定理：a
2
b 2
c 2
2bccosA 等三个；注：cosA b 2 c 2 a 2
等三个。

2bc
术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕 ，依顺时针方式旋转至指示方向
所在位置，其间所夹的角度称之。

方位角 α的取值范围是： 0°≤α＜360°＝等
10。

几个公式:⑴三角形面积公式：
S
AB
C
1 1
absinC p(p a)(p b)(p
1 (a bc))
；
ah 2
c),(p
2
2
⑵内切圆半径r=
2S ABC
；外接圆直径2R=
a b c ;
a
b c
sin A sinB sinC
⑶巧变角：如
(
)
( ) ， 2
( )(
)，
2
(
) (
)，
2
2
，
2
2
等
2
如〔1〕
tan(
) 2 ，tan(
4 ) 1
，那么tan(
)的值是_____〔答：
3
〕；
5
4
3 4
22
〔2〕
,为锐角，sin
x,cos
y ，cos(
)
，那么y 与x 的函数关系为______
3
4
3
5
〔答：y 1 x 2
x( x1)
〕
5
5 5
b
)如：
⑷辅助角公式中辅助角确实定
：
asinx
bcosx
a
2
b 2
sin x
(其中tan
3 a
〔1〕当函数y
2cosx 3sinx 取得最大值时，
tanx 的值是 ______(答：
)；〔2〕如果
f x sinx
2cos(x )是奇函数，那么tan
2
=(答：－2)；
11．a,b,A 时三角形解的个数的判定：
C
其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；
b
a
②a=h 时，一解〔直角〕；③h<a<b 时，两解〔一锐角，
一钝角〕；④ab 时，一解〔一锐角〕。

h
⑵A 为直角或钝角时：①ab 时，无解；②a>b 时，
A
一解〔锐角〕。

第四局部 数列
1．定义：
⑴等差数列
｛a n ｝ a
n1
a n
d(d 为常数〕2a n a
n1
a n1(n
2,n N*)
a n knb
s n An
2
Bn
；
⑵等比数列｛a n }
a
n 1
q(q0)
2 a
n-1 a n1(n
2,n N)
a n
a n
a cq n
(c,q 均为不为0的常数〕
Sn
k kq n
(q
0,q 1,k
0)
；
n
⑶等差数列的判断方法：
定义法
a n1
a n d(d 为常数〕或a n1 a n a n a n1(n 2)。

等比数列的判断方法： 定义法
a
n1
q(q 为常数〕
q 0,a n
0或
a n1 a n (n
2)。

，其中
a n
a n
a
n1
⑷等差中项：假设a,A,b 成等差数列，那么
A 叫做a 与b 的等差中项，且A a b 。

等比中项：假设a,A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与
b 的等比中
项。

2
提醒：①等差〔等比〕数列的通项公式及
前 n 和公式中，涉及到
5个元素：
a 1、d 、n 、a n 及S n ，
其中
a 1、d 〔q 〕称作为根本元素。

只要这
5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。

②为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a 2d,a d,a,a d,a2d
〔公差为d 〕；偶数个数成等差，可设为，
a 3d,a d,a d,a 3d ,〔公差为2 d 〕；奇数个
数成等比，可设为，
a 2,a ,a,aq,aq
2
〔公比为q 〕；但偶数个数成等比时，不能设为
q q
a a
3
，，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为
q 2 。

如有四个
q 3, q ,aq,aq
数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是
16，第二个数与第 三个数的和为 12，求此四个数。

③等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n 项和时，首先要判断公比
q 是否为1，
再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 q 是否为1时，要对q 分q
1和q 1两种情形讨 论求解。

不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
ab 。

如两个正数
a,b(a
b)的等差中项为
A ，等比中项为
B ，那么A 与B 的大小关系为______
2．等差数列的性质：
〔1〕当公差d
0时，等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d
dna 1d 是关于n 的一次函数，
且斜率为公差d ；前n 和S
na
n(n 1)d d n 2 (a
d
)n 是关于n 的二次函数且常数项为
n 1
2
2
1 2
0.
〔2〕假设公差d
0，那么为递增等差数列，假设
公差
d 0，那么为递减等差数列，假设公差 d 0，那么为
常数列。

〔3〕当
mnp
q
时,那么有
a m
a n a p a q ，特别地，当mn
2p 时，那么有
a m a n 2a p .
如
①等差数列
{a n }中，S n
18,a n
a
n1 a
n2 3,S 3 1 ，那么n ＝____ ；
②在等差数列 a n 中，a 10 0,a 11 0，且a 11 |a 10|，S n 是其前n 项和，那么〔
〕
A 、S 1,S 2
S 10都小于 0，S 11,S 12
都大于0
B 、S 1,S 2
S 19都小于0，S 20,S 21
都大于0
C 、S 1,S 2
S 5 都小于0，S 6,S 7
都大于0
D 、S 1,S 2
S 20都小于0，S 21,S 22
都大于0
(4)
假设{a n }
、{b n } 是等差数列，那么{ka n } 、{ka n
pb n }
(
k 、p 是非零常数)、
{a p
nq
}(p,q N *)、S n ,S 2n S n ,S 3n S 2n ，也成等差数列，而
{a a n }成等比数列；假设{a n }是
等比数列，且
a n 0，那么{lg
a n }是等差数列.
如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，那么它的前 3n 和为。

〔5〕在等差数列
{a n }中，当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇 nd ；项数为奇数2n
1时，
S 奇 S 偶 a
中
，(2n 1)
a 中〔这里a 中即
a n 〕；S 奇:S 偶 k( 1):k。

S2n1
如①在等差数列中，S
11
＝22，那么a
6＝______；
②项数为奇数的等差数列
{a n }中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数 .
〔6〕假设等差数列{
a
}、 {b}
的前n
和分别为
A 、 B
，且
A n f(n) ，那么
n
n
n
n
B n
a n
(2n1)a n
A 2
n 1
f(2n 1). b n (2n1)b n
B 2n 1
如设{
a n }与{
b n }是两个等差数列，它们的前 n 项和分别为 S n 和T n ，假设
S n
3n 1
，那么
T n
4n 3
a n ___________；
b n
(7)“首正〞的递减等差数列中，前
n 项和的最大值是所有非负项之和； “首负〞的递增等差数列中，
前n 项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组
a n
或 a n 0 确定出前多少项为非
a n
a n1
1
负〔或非正〕；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意
数列的特殊性nN
*。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？〔函数思想〕 ，由此你能求一般数列中的最 大或最小项吗？
如①等差数列
{a n }中，a 1 25，S 9 S
17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；
②假设{a n }是等差数列，首项a 1 0,a 2003 a 2004 0，a 2003 a
2004 0，那么使前n 项和S n 0成立 的最大正整数n 是 ；
3. 等比数列的性质：
〔1〕当mn p q
时，那么有
a m a n
a p a q ，特别地，当m n 2p 时，那么有a a
a 2.
m n
p
如①在等比数列
{a n }中，a 3
a 8 124,a 4a 7
512，公比q 是整数，那么a 10=___；
②各项均为正数的等比数列 {a n }中，假设a 5 a 6 9
，那么
log 3a 1
log 3a 2
log 3a 10。

(2)
假设
{a n }是等比数列，那么{| a n |}、{a p nq }(p,q N *)、{ka n }成等比数列；假设{a n }、{b n }成
等比数列，那么{a n b n }、{
a n
}成等比数列；假设{a n }是等比数列，且公比q
1，那么数列
b n
S n ,S 2n S n ,S 3n S
2n
，也是等比数列。

当q
1，且n 为偶数时，数列
S n ,S 2n
S n ,S 3n
S
2n
，是常数数列 0，它不是等比数列.
如①a
0且a1，设数列{x
} 满足 logx
n1 1lxog(nN*)，且
n
a
a
n
x 1 x 2
x
10
100
，那么
x 101
x
102
x
200
.；
②在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，假设S 30
13S 10,S 10 S 30140
，那么S 20的值为
___
___；
a 1
(3)假设
a 1
0,q
1，那么{a n }为递增数列；假设a 1
0,q 1,那么{a n }
为递减数列；假设
0,0q
1
{a n }
为递减数列；假
设 a 1
0,0
q
1
,那么 {a n }
为递增数列；假设 q 0 ，那
么 {a n
}
，那么
为摆动数列；假
设
q
1
，那么
{a n }为常数列.
(4)当q 1
时，
S n
a
1q
n
a 1 aq n
b ，这里a b0，但a 0,b 0 ，这是
1q 1 q
等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列{a n }是否为等比数列。

如假设
{a n }是等比数列，且
S n 3n r ，那么r ＝
(5)
S m
n
S m
q m S n S n q n S m .
如设等比数列
{ n }的公比为
q ，前n
项和为 S n ，假
设
S n1,S n ,S n2
成等差数列，那
么
q 的值
a
为
；
(6)
在等比数列{ a n } 中，当项数为偶数 2n 时，S
qS
；项数为奇数2n 1时，
偶 奇
S 奇 a 1qS 偶
.
(7)如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列 {a n }是非零常数数列，故常数数列
{a n }
仅是
此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列
a n
的前n 项和为S n 〔nN 〕，关于数列
a n 有以下三个命题：①假设
，那么
2
、
，那么 a n a n1(nN)
a n 既是等差数列又是等比数列； ②假设S
n
an bnabR
a
n
是等差数列；③假设
S n
1
1n ，那么a n 是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是
；
4. 数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如数列
3
1 ,5 1 ,7 1 ,9 1, 试写出其一个通项公式：__________；
4 8 16 32
S 1,(n1)
⑵
S n 〔即a 1
a 2 a n f(n)〕求a n ，用作差法： a n。

S n S n 1,(n
2)
如①
{a n }的前n 项和满足log 2(S n
1) n 1，求a n ；
②数列{a n }满足
1
a 1
1
2a 2
1
n a n
2n5，求a n
2
2
2
⑶
a 1a 2
a n
f(n)求a n ，用作商法：a n
f(1),(n 1) 。

f(n)
f(n 1) ,(n2)
如数列
{a n }中，a 1
1,对所有的n 2都有a 1a 2a 3 a n
n 2 ，那么
a 3
a 5
______ ；
⑷
假设
a
n 1
a n f(n) 求
a n 用
累
加
法
：
a n (a n a n1)(a n1
a n2) (a 2a 1)a 1(n2)。

如数列{a n }满足a 1
1
，
a n a n1
1
(n 2)，那么a n =________
；
n 1
n
⑸
a
n1
f(n)求 a n ，用累乘法： a n
a n
a n
1
a 2 a 1
(n
2)。

a n a
n1
a n
a 1
2
如数列
{a n }中，a 1
2
，前n 项和S n ，假设
S n n 2a n ，求a n
⑹递推关系求
a n ，用构造法〔构造等差、等比数列〕。

特别地，〔1〕形如a n ka n1 b 、
a n
ka n
n
k 的等比数列后，再求a n 。

1
b
〔k,b 为常数〕的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为
如①a
1
1,a n 3a n1
2 ，求a n ；②a 1 1,a n 3a n1
2n ，求a n ；
〔7〕形如
a n
a
n
1
的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka n 1 b
如①
a 1
1,a n a n1
，求
a n ；②数列满足a 1=1，
a
n
1
a n
a n a n1，
3a n
1 1
求
a n ；
注意：〔1〕用a n
S n S n1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？〔
n2，
当n 1时，
a1 S1〕；
〔2〕一般地当条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n S n S n1，先将条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解。

⑶注：当遇到a n1 a n
1
d或
a n1 q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

a n
1
如数列
{a n }满足a 14,S n S n1
5 a n1，求a n ；
3
数列求和的常用方法：
〔1〕 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，
〔2〕
务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论 .；
1
③常用公式：123
n 1
n(n
1) ，
2
2
2
，
6n(n
[n(n1)]2.
2
1 2
n
1)(2n1)
13 23
33
n 3
2
如①等比数列{a n }的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，那么a 1
2
a 22 a 32
a n 2 ＝_____
；
②计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢 2进1〞，如
(1101)2表示二进制数，将
它转换成十进制形式是
123 122
0211
2021，那么将二进制 (111
11)2转换成十进制数
2005个1
是
；
2〕分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式〞中“同类项〞先合并在一起，再运用公式法求和.如求和：
S n 13 57 (1)n (2n 1)
〔3〕倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关
联，
那么常可 考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和〔这也是等差数列前
n 和公式的推导方法〕. 如①f(x)
x 2
，那么f(1) f(2) f(3)f(4) f(1
) f(1)f(1)＝______；
2
1x 2 3 4
〔4〕错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，
那么常
选用错位相减法〔这也是等比数列前
n 和公式的推导方法〕.
如①设{a n }为等比数列，T n
na 1 (n 1)a 2
2a n1
a n ，T 11，T 2 4 ，①求数列
{a n }的首项和公比；②求数列
{T n }的通项公式.；
②设函数
f(x)
(x 1)2
，g(x)
4(x1)
，数列
{a n }
满足：
a 1
2,f(a n ) (a n
a n1)g(a n )(nN
)，①求证：数列{a n 1}是等比数列；②令
h(x)
(a 11)x (a 2
1)x 2
(a n 1)x
n
，求函数h(x)在点x
8
处的导数h(
8
)，并比较h(8
)与2n 2 n 的大小。

3
3
3
5〕裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差〞的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用
裂项相消法求和.常用裂项形式有：①
1 1
1；②
1 1 (1
1 )
；
n(n1)nn1
n(nk)knnk
③
1
1
1(1
1
)，
1
1
1 1
1 11； k 2
k 2
12k1k1 kk1(k1)kk 2
(k1)k
k1k
④
1
1
1
1
] ；⑤ n 1 1
； n(n 1)(n
2) [
(n 1)(n
(n1)! n! (n
2n(n1) 2) 1)!
⑥
2(n1 n)
2 1 2 2(n n1).
n n 1 n
n n
1
如①求和：
1
1
1
；
1 4 4
7 (3n 2) (3n 1)
②在数列{a n }
中，
a n
1
，且S ｎ＝９，那么n ＝
_____
；
n n1 6〕通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

如①求数列1×4，2×5，3×6，，n (n 3)，前n 项和S n =
；
②求和：1
1
1
1
；
2 1 2
3 1 2 3
n
1
“分期付款〞、“森林木材〞型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指〞，细心计算“年
限〞.对于“森林木材〞既增长又砍伐的问题，那么 常选用“统一法〞统一到“最后〞解决.
(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄〔单利〕本利和计算模型：假设每期存入本金
p 元，每期
利率为r ，那么n 期后本利和为：
S n p(1r) p(12r)p(1nr) p(n
n(n1)
r)〔等差
2
数列问题〕；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款〔复利〕模型：假设贷款〔向银行借款〕 p 元，采用分
期等额还款方式，从借款日算起，一期〔如一年〕后为第一次还款日，如此下去，分 x
n 期还清。

如果每期 利率为 r 〔按复利〕，那么每期等额还款 元应满足：
p(1r)
n
x(1r)n1
x(1r)n2
x(1r)x 〔等比数列问题〕.
如〔1〕．家用电器一件 2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购置后一个
月付款一次，共付12次即购置一年后付清，假设按月利率 10‰〔按复利计算〕，那么每期应付款 元
〔精确到元〕 〔2〕．某厂今年初贷款
a 万元，年利率为
r ，从今年末起，每年年末归还固定数量金额，
5年内还
清，那么每年应还金额为多少万元？
3〕．某地区原有的森林木材存量为a ，且每年的增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要
砍伐木材的量为b ，设
a n 为n 年后该地区森林的木材存量。

1〕求
a n 的表达式；
〔2〕为保持生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于
7
a ，如果b
19
a ，
那么今后该地区会发生水土流失吗？假设会，要经过几年？〔 〕
9 72。