2018届辽宁省抚顺市第一中学高三10月月考文科数学试题

抚顺市第一中学2018届高三10月月考
数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知全集U R =，{|||2}A x x =<，2{|430}B x x x =-+>，则()U A
C B 等于
（ ）
A ．{|13}x x ≤<
B ．{|21}x x -≤<
C ．{|12}x x ≤<
D ．{|23}x x -<≤ 2. 若复数2(1)(1)a a i -+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．1± B ．-1 C ．0 D ．1 3.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”
B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<” 4.已知函数
21
()21
x x f x -=+，则不等式2(2)(4)0f x f x -+-<的解集为（ ）
A ．(1,6)-
B ．(6,1)-
C ．(2,3)-
D ．(3,2)- 5.函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
6. 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周
期为2
π，直线3
x π=是其图像的
一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A ．4sin(4)6
y x π=+ B ．2sin(2)23
y x π=++
C ．2sin(4)23
y x π=++ D ．2sin(4)26
y x π=++
7. 在ABC ∆中，090C =，且3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB
∙等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．-3
D ．6 8. 已知数列{}n a 中，32a =，71a =，若1
{}1
n a +为等差数列，
则19a =（ ） A ．0 B ．12
C ．23
D ．2
9. 函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，
只需把()y f x =的图象上所有
点（ ）
A ．向右平移6π个单位长度
B ．向右平移12π个单位长度
C ．向左平移6
π个单位长度 D ．向左平移12
π个单位长度
10. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函
数是（ ）
A ．
||()x f x x
=
B ．
())
f x x =- C ．
()x x
x x
e e
f x e e
--+=-
D ．
()f x =
11.已知函数
32()1
()32
x mx m n x f x +++=+
的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点
(,)P m n 表示的平面区域为
D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区
域D 内的点，则实数a 的取 值范围是（ ）
A ．(1,3]
B ．(1,3)
C ．[3,)+∞
D ．(3,)+∞
12.定义在(0,)+∞上的单调减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足
'
()
()
f x x f x >，则下列不等式成立的 是（ ）
A ．3(2)2(3)f f >
B ．2(3)(4)f f <
C ．3(4)4(3)f f <
D ．2(3)3(4)f f <
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
.
14.设
cos 420
a =，函数
,0()log ,0
x a a x f x x x ⎧<=⎨
≥⎩，则
211()(log )46
f f +的值等
于 . 15.双曲线
22
22
1x y a b -=(0,0)a b >>的离心率是2，则
213b a
+的最小值
是 . 16.若关于x 的函数
222
2sin ()(0)tx x t x f x t x t
+++=>+的最大值为M ，最小值
为N ，且4M N +=，则实数t 的值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
已知ABC ∆是斜三角形，内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，
若sin cos c A C =
.
（Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若c =
sin sin()5sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
18. （本小题满分12分） 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()y f x =
的极值.
19. （本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，060BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD. （Ⅰ）求证：//CF 平面AED ； （Ⅱ）若
AE =
ABCDEF 的体积V.
20. （本小题满分12分） 已知点M
在椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>上，以
M 为圆心的圆与x 轴相切于
椭圆的右焦点F.
（Ⅰ）若圆M 与y 轴相切，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若圆M 与y 轴相交于A ，B 两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 21. （本小题满分12分）
已知函数(1)()ln 1
a x f x x x -=-+.
（Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）设,m n R +∈，且m n ≠，求证：
ln ln 2
m n m n
m n -+<
-. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，14
PA PB
=，12
PD PC
=.
（Ⅰ）求AD BC
的值；
（Ⅱ）若BD 为圆O 的直径，且1PA =，求BC 的长
.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos()4
πρθ=+.
（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
24. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数()|21|||2
=+--.
f x x x
（Ⅰ）解不等式()0
f x≥；
（Ⅱ）若存在实数x，使得()||
≤+，求实数a的取值范围.
f x x a
2018届高三10月考数学（文科）
参考答案与评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、3 14、8 15 16、2
由（1）（2）解得1,5a b ==，∴
11sin 1522ABC S ab C ∆=
=⨯⨯=.………………12分
18.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()1a f x x
=-，………………2分 （Ⅰ）当2a =时，()2ln f x x x =-，'2()1f x x
=-，(0)x >
∴(1)1f =，'(1)1f =-，………………4分 ∴()y f x =
在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，
即20x y +-=………………6分
（Ⅱ）由'()1a x a f x x
x
-=-=，0x >可知：
①当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；………………8分
②当0a >时，由'()0f x =，解得x a =； ∵(0,)x a ∈时，'()0f x <，(,)x a ∈+∞时，'()0f x >
∴()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值. ………………10分
综上:当0a ≤时，函数()f x 无极值.
当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值. ………………12分
19.（Ⅰ）证明：∵ABCD 是菱形，∴//BC AD ，
又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，∴//BC 平面ADE. ………………2分
又BDEF 是正方形，∴//BF DE . ∵BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴//BF 平面ADE. ………………4分 ∵BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC BF B =，
∴平面BCF//平面AED.
由于CF ⊂平面BCF ，知//CF 平面AED. ………………6分 （Ⅱ）解：连接AC ，记AC
BD O =.
∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，且AO BO =.
由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥. ∵DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =，
∴AC ⊥平面BDEF 于O ，
即AO 为四棱锥A-BDEF 的高. ………………8分
由ABCD 是菱形，
060BCD ∠=，则ABD ∆为等边三角形，由AE =
1AD DE ==，
AO =
1BDEF S =，13BDEF BDEF V S AO =∙=，2BDEF V V ==
.………………12分
20.解：（Ⅰ）设00(,)M x y ，圆M 的半径为r ，依题意得00||x c r y ===
将0x c =代入椭圆方程得：20||b y a
=
，所以2
b c a
=，又222b a c =-，
从而得220c ac a +-=，两边除以2a 得：210e e +-=………………4分
解得：e =，因为(0,1)e ∈，所以e =
.………………6分
（Ⅱ）因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2r =， M 到圆y
轴的距离
d =又由（1）知：2
b r a
=
，d c =，………………
8分
所以，c =22b a
=，又因为222a b c -=，解得：3a =， 226b a ==，………………10分 所求椭圆方程是：22196
x y +=.………………12分 21.解：（Ⅰ）'21(1)(1)()(1)
a x a x f x x x +--=-+， 2222(1)2(22)1(1)(1)
x ax x a x x x x x +-+-+==++. 因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数， 所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立. ………………2分 即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立.
当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥， 得122a x x
-≤+. 设1()g x x x
=+，(0,)x ∈+∞，………………4分
1()2g x x x =+≥=. 所以当且仅当1x x =，即1x =时，()g x 有最小值2.
所以a 的取值范围是(,2]-∞.………………6分 （Ⅱ）假设m n > 要证
ln ln 2
m n m n m n -+<-， 只需证112ln m m n n m n -+<，即证2(1)ln 1m m n m n n -<+. 只需证
2(
1)ln 01m m n m n n
-->+.………………8分 设2(1)()ln 1x h x x x -=-+. 由（Ⅰ）知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >， 所以()(1)0m h h n
>=. 即2(1)ln 01m m n m n n -->+成立. 所以ln ln 2m n m n m n -+<-.………………12分 22.（Ⅰ）由PAD PCB ∠=∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似， 设,PA x PD y ==则有
24x y y y x
=⇒=，
所以2AD x BC y ==.………………5分
（Ⅱ）090C ∠=，
4,PA PC BC ===.………………10分
23.解：（Ⅰ）直线l
的普通方程为0x y -+=，。