达州市重点名校2019-2020学年高一下学期期末检测数学试题含解析

达州市重点名校2019-2020学年高一下学期期末检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A ，B 两点，且
6AB =，则圆C 的半径长为( )
A
．10 B ．22
C ．3
D ．13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题干画出简图，在直角ACD ∆中，通过弦心距和半径关系通过勾股定理求解即可。

【详解】
圆C 的圆心与点()1,0关于直线y x =对称， 所以，()0,1C ，设圆C 的半径为R ， 如下图，圆心C 到直线的距离为：2
2
032CD 134
--=
=+，
1
AD AB 32
=
=，22 3110R =+=
【点睛】
直线和圆相交问题一般两种方法：第一，通过弦心距d 和半径r 的关系，通过勾股定理求解即可。

第二，直线方程和圆的方程联立，则0∆>。

两种思路，此题属于中档题型。

2．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=1．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为( ) A ．
33
B ．
23
3
C ．
43
D ．
53
3
【答案】C 【解析】
如图所示,由题意知,在棱锥S ABC 中,△SAC,△SBC 都是等腰直角三角形,其中AB=1,SC=4,
SA=AC=SB=BC=12.取SC 的中点D,易证SC 垂直于面ABD,因此棱锥S ABC 的体积为两个棱锥S ABD 和C ABD 的体积和,所以棱锥S ABC 的体积V=13SC·S △ADB =13
×4×3=4
33. 3．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4
π
θ-=（ ） A ．2 B ．3-
C ．1-
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量平行得到tan 2θ=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】 向量(2,tan ),
(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan 2θ=-.
tan
tan 4tan()341tan tan 4
π
θ
π
θπθ--==-+⋅. 故选：B . 【点睛】
本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力. 4．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3 B ．13+C ．12+
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】
当2x >时，20x ->，则()()()11
1
222222
2
f x x x x x x x =+
=-++≥-⋅
--- 4=，
当且仅当()1
222
x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．cos300的值是( )
A ．
12
B ．12
-
C ．
2
D ． 【答案】A 【解析】
由于cos300︒=cos(60)︒
-=1cos602
︒
=
. 故选A ．
6．函数()sin()4
f x x π
=-的图像的一条对称轴是（ ）
A ．4
x π
=
B ．2
x π=
C ．4
πx =-
D ．2
x π=-
【答案】C 【解析】
对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把4πx =-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4
π
x =-，选C . 7．一个球自高为6米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的1
3
，到球停在地面上为止，球经过
的路程总和为（ ）米 A ．16 B ．18
C ．9
D ．12
【答案】D 【解析】 【分析】
设球第n 次到第(
)1n n N
*
+∈次着地这一过程中球经过的路程为n
a
米，可知数列{}n a 是以
11
6243a =⨯⨯=为首项，以13q =为公比的等比数列，由此可得出球经过的路程总和为161a q ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
米.
【详解】
设球第n 次到第(
)1n n N *
+∈次着地这一过程中球经过的路程为n
a
米，
则11
6243a =⨯⨯
=，由题意可知，数列{}n a 是以14a =为首项，以13
q =为公比的等比数列，因此，球
经过的路程总和
1
43 666412
1
12
1
3
a
q
+=+=+⨯=
--米.
故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列的实际应用，涉及到无穷等比数列求和问题，考查计算能力，属于中等题.
8．在△ABC中，点D在边BC上，若2
BD DC
=，则AD=
A．
1
4
AB+
3
4
AC B．
3
4
AB+
1
4
AC C．
1
3
AB+
2
3
AC D．
2
3
AB+
1
3
AC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量减法和2
BD DC
=用,
AB AC表示BD，再根据向量加法用,
AB BD表示AD.
【详解】
如图：
因为
22
,()
33
BC AC AB BD BC AC AB
=-==-，
所以
212
()
333
AD AB BD AB AC AB AB AC
=+=+-=+，
故选C.
【点睛】
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.
9．已知函数()()
20
3
f x x
π
ωω
⎛⎫
=->
⎪
⎝⎭
的最小正周期为π，若()()
12
2
f x f x
⋅=-，则
12
x x
-的最小值为（）
A．
2
π
B．
3
π
C．πD．
4
π
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据
()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方
式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值.
【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= ()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=
- ⎪⎝
⎭
()max 2f x ∴=，()min 2f x =-
()()122f x f x ⋅=- 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧
-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
10．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1
{3
(3)
x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：
当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以
221a -=，解得1
2
a =
，故选B. 【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
11．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，
由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，即1212121x x y y x x +=+-， 由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12
MN AB =
,
则2222222
121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+
2222
11221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-
又由12
MN AB =
，则224AB MN =，
可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得22
00
19()24
x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1
(,0)2为圆心、半径等于
3
2
的圆C 3，
∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2
的距离， 即min 31
122
MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 12．设a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．a a b >- B ．a b -<-
C ．11a b -->
D ．||||a b >
【答案】B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意知a b >，根据不等式的性质，两边同乘1-，可得a b -<-成立. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．已知数列{}n a 是等差数列，1379,a S S =-=，那么使其前n 项和n S 最小的n 是______. 【答案】5 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式211(1)()22
n n n d
S na d n a d n -=+=+-，判断开口方向，计算出对称轴，即可得出答案。

【详解】
因为等差数列前n 项和n S 为关于n 的二次函数，
又因为37S S =，所以其对称轴为5n =，而190a =-<，0d > 所以开口向上，因此当5n =时n S 最小． 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的性质，属于基础题。

14．平面四边形ABCD 如图所示，其中ABD △为锐角三角形，41
32AB BC CD C A ===∠=∠，，，，3
cos A =
，则AD =_______.
【答案】3 【解析】 【分析】
由二倍角公式求出cos C ，然后用余弦定理求得BD ，再由余弦定理求AD ． 【详解】
由题意2231cos cos 22cos 12(
133
C A A ==-=⨯-=-， 在BC
D ∆中，2
2
2
2
2
1
2cos 13213()123
BD BC CD BC CD C =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=， 在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，即283
12163
AD AD =+-， 解得23AD =23
AD = 若23
AD =
222AD BD AB +<，90ADB ∠>︒，不合题意，舍去， 所以23AD = 故答案为：3 【点睛】
本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理．掌握余弦定理是解题关键． 15．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5133,91a S ==，则111a a +=________．
【答案】10 【解析】 【分析】
由等差数列求和的性质可得13713S a =，求得7a ，再利用性质11157a a a a +=+可得结果. 【详解】
因为1371391S a ==，所以77a =，所以5710a a +=，故1115710.a a a a +=+= 故答案为10 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题.
16．在z 轴上有一点M ，点M 到点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -的距离相等，则M 点坐标为____________. 【答案】()0,0,3- 【解析】 【分析】
设点M 的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】
由题：设()0,0,M z ，点M 到点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -的距离相等，
=
2245211z z z z -+=-+，26z =-，
解得：3z =-，
所以M 点的坐标为()0,0,3-. 故答案为：()0,0,3- 【点睛】
此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．同时抛掷两枚骰子，并记下二者向上的点数，求：
()1二者点数相同的概率； ()2两数之积为奇数的概率； ()3二者的数字之和不超过5的概率．
【答案】（1）16（2）14（3）5
18
【解析】 【分析】
()1把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数n 6636=⨯=，记事件A 表示“二者点
数相同”，利用列举法求出事件A 中包含6个基本事件，由此能求出二者点数相同的概率．()2记事件B 表示“两数之积为奇数”，利用列举法求出事件B 中含有9个基本事件，由此能求出两数之积为奇数的概率．()3记事件C 表示“二者的数字之和不超过5”，利用列举法求出事件C 中包含的基本事件有10个，由此能求出二者的数字之和不超过5的概率． 【详解】
解：()1把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数n 6636=⨯=， 记事件A 表示“二者点数相同”，
则事件A 中包含6个基本事件，分别为：()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，
∴二者点数相同的概率()61p A 366
=
=． ()2记事件B 表示“两数之积为奇数”，
则事件B 中含有9个基本事件，分别为：
()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，
∴两数之积为奇数的概率()91P B 364
=
=． ()3记事件C 表示“二者的数字之和不超过5”，
由事件C 中包含的基本事件有10个，分别为：
()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()3,1，()3,2，()4,1，
∴二者的数字之和不超过5的概率()105P C 3618
=
=． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足2
243n n n a a S +=+.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）令1
1
n n n b a a +=
，12n n T b b b =+++…，若n T m <恒成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）=21n a n +（2）1[,)6
+∞ 【解析】 【分析】
（1）代入1n =求得13a =，根据n a 与n S 的关系可求得12n n a a --=，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证1a 后可得最终结果；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消的方法求得n T ，可知1
6
n T <
，从而得到m 的范围. 【详解】
（1）由题知：0n a >，2
243n n n a a S +=+……①
令1n =得：2
111243a a S +=+，解得：13a =
当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+……②
①-②得：()()1120n n n n a a a a --+--= ∴120n n a a -∴--=，即12n n a a --=
{}n a ∴是以3为首项，2为公差的等差数列 ()32121n a n n ∴=+-=+
经验证13a =满足21n a n =+
21n a n ∴=+
（2）由（1）知：()()1
111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭ 1111111111112355721232323646
n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1046n >+ 16n T ∴< 16
m ∴≥ 即1,6m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用n a 与n S 的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.
19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 22cos 2A A +
=. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）
3π；（2. 【解析】
【分析】
（1）由二倍角公式得232cos 12cos 2A A -+
=，求得1cos 2A =则角A 可求；（2）sin sin 8B C +=，得7sin sin sin 4B C A +=
，由正弦定理得7b c +=，再结合余弦定理得11bc =则面积可求 【详解】
（1）因为3cos 22cos 2A A +
=，所以232cos 12cos 2A A -+=， 解得1cos 2
A =，
因为0A π<<，所以3A π=； （
2）因为73sin sin 8B C +=
，所以7sin sin sin 4B C A +=， 由正弦定理得74
b c a +=
所以7b c +=， 由余弦定理，22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，
所以11bc =,
所以1113sinA 24
ABC S bc ==. 【点睛】
本题考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，准确计算是关键，是基础题
20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，边BC 的中点为D ，12BC CC ==．
⑴求三棱锥1C AC D -的体积；
⑵点E 在线段11B C 上，且1//A E 平面1AC D ，求11
B E E
C 的值． 【答案】 (1) 1
33C AC D V -= (2) 11
1B E EC = 【解析】
【分析】 （1）由题可得1C C ⊥平面ABC ，故11113
C AC
D C ACD ACD V V S C C --∆==
⋅，从而求得三棱锥1C AC D -的体积； （2）连接1A C 交1AC 于F ，连接EC 交1C D 于G ，连结FG ，由1//A E 平面1AC D 可得1//A E FG ，由
正三棱柱的性质可得1EC DC =，从而得到11B E EC 的值．
【详解】
⑴因为111ABC A B C -为正三棱柱
所以1C C ⊥平面ABC 11111131323323
C AC
D C ACD ACD V V S C C --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⑵连接1A C 交1AC 于F ，连接EC 交1C D 于G ，连结FG
因为1A E //平面1AC D ，1A E ⊂平面1A CE ，平面1A CE
平面1AC D FG =， 所以1//A E FG ，
因为111ABC A B C -为正三棱柱，
所以侧面11ACC A 和侧面11BCC B 为平行四边形，
从而有F 为1A C 的中点，于是G 为EC 的中点
所以1EC DC =，
因为D 为边BC 的中点，
所以E 也为边11B C 中点，从而
11
1B E EC = 【点睛】 本题考查三棱锥的体积，线面垂直的性质，正三棱柱的性质等知识，属于中档题．
21．如图所示，已知三棱锥S ABC -的侧棱长都为1，底面ABC 2的正三角形．
（1）求三棱锥S ABC -的表面积；
（2）求三棱锥S ABC -的体积．
【答案】（1）332+（2）16 【解析】
【分析】
（1）分析得到侧面均为等腰直角三角形，再求每一个面的面积即得解；（2）先证明SC ⊥平面SAB ，再求几何体体积. 【详解】
（1）如图三棱锥S ABC -的侧棱长为都为1，底面为正三角形且边长为2，
所以侧面均为等腰直角三角形．
又12SBC S =，所以12
SAB SAC SBC S S S ===， 又3ABC S =，133332S ABC S -+∴=⨯+=表．
（2）因为侧棱SB ，SA ，SC 互相垂直，,.SA
SB S SA SB =⊂平面SAB ，
所以SC ⊥平面SAB ， 11111113
326
S ABC C SAB SAB V V S SC --==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查线面位置关系的证明，考查面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．现有一个算法框图如图所示。

（1）试着将框图的过程用一个函数来表示；
（2）若从[]ππ-，中随机选一个数x 输入，则输出的y 满足12
y >的概率是多少？ 【答案】（1）[)[]
sin ,,0cos ,0,x x y x x ππ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩；（2）16. 【解析】
【分析】
（1）根据输出结果的条件可得定义域；根据最终的条件结构可得到不同区间内的解析式，从而得到函数解析式；（2）分别在两段区间内求得不等式的解集，根据几何概型计算公式求得结果.
【详解】
（1）由程序框图可知，若要输出结果，[],x ππ∈-
根据条件结构可知，当[),0x π∈-时，sin y x =；当[]0,x π∈时，cos y x =
∴框图可用函数[)[]sin ,,0cos ,0,x x y x x ππ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩
来表示 （2）当0x π-≤<时，sin y x =
1sin 2
x >
在[),0π-上无解 当0x π≤≤时，cos y x = 1cos 2x >在[]0,π上解集为：0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
∴所求概率为：1326
π
π= 【点睛】
本题考查读懂程序框图的功能、几何概型中的长度型问题的求解；关键是能够根据三角函数的值域准确求解出自变量的取值范围，从而利用几何概型的知识来进行求解.。