云南省曲靖市富源县营上镇民家中学2018-2019学年高三数学理联考试卷含解析

云南省曲靖市富源县营上镇民家中学2018-2019学年高
三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 以下四个命题:
①若,则；
②为了调查学号为1、2、3、…、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、
12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样；
③空间中一直线，两个不同平面，若∥，∥，则∥；
④函数的最小正周期为.
其中真命题的个数是（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：
B
略
2. 已知若a=f（lg5），则
A.a+b=0
B.a-b=0
C.a+b=1
D.a-b=1
参考答案：
C
先化简函数，所以
，，所以
，选C。

3. 若抛物线y2＝2px的准线为圆x2＋y2＋4x＝0的一条切线，则抛物线的方程为
A. y2＝－16x
B. y2＝－8x
C. y2＝16x
D. y2＝8x
参考答案：
C
4. 设函数的导数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则
的图象可能为
参考答案：
C
5. 已知函数，设（为常数），若
，则等于（）
A．1998 B．2038 C．-1818 D．-2218
参考答案：
A
由题意，函数，则满足，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，又由，所以，
则，故选A．
6. 复数,则对应的点所在的象限为( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4
D 解析：∵复数z=1﹣i，
∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点
所在的象限为第四象限．故选：D．
【思路点拨】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
7. 若，则
=
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
8. 如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（）
A．6πB．8πC．10πD．11π
参考答案：
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，进而可得几何体的表面积．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，由正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，
故半球的半径为，
圆锥的底面半径为1，母线长为2，
故组合体的表面积S=+（﹣π?12）+π?1?2=10π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，球的体积和表面积，难度中档．
9. 已知函数,则下列结论中正确的是（）
A．的最小正周期是B．在上单调递增
C．的图像关于对称D．的图像关于点对称
参考答案：
B
10. 有下列关于三角函数的命题
，若，则；与函数的图象相同；；的最小正周期为．其中的真命题是
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设复数为纯虚数, 则=______________.
参考答案：
略
12. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 .
参考答案：
80
略
13. 已知幂函数过点，则的反函数为____
参考答案：
（）
【分析】
先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得。

【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为
.
【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题。

14. 在平面直角坐标系XOY中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围
是．
参考答案：
15. 二项式（x+2）5=a0x5+a1x4+…+a5y，则a1+a3+a5= ．
参考答案：
122
【考点】二项式定理的应用．
【分析】在所给的等式中，分别令x=﹣1，y=1；x=﹣1，y=1；可得两个等式，再把这两个等式相加，化简可得要求式子的值．
【解答】解：令x=y=1，可得（x+2）5=35=a0+a1+…+a5，
令x=﹣1，y=1，可得﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5=1，
两式相加可得2（a1+a3+a5）=244，∴a1+a3+a5=122，
故答案为：122．
16. 的展开式中常数项为．
参考答案：
17. 已知两条平行直线：和：（这里），且直线与函数
的图像从左至右相交于点A、B ，直线与函数的图像从左至右相
交于C、D．若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，
的最小值为___________．
参考答案：
32
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在多面体ABCDE中，EA⊥平面ABC，DC∥EA且EA=2DC，CA=CB，F为BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：平面ADF⊥平面ABE．
参考答案：
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）根据线面平行的判定定理证明FD∥CG即可证明DF∥平面ABC；
（2）根据面面垂直的判定定理即即可证明平面ADF⊥平面ABE
解答：（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．
∵F为BE的中点．
∴EF=FB，AG=GB，
∴FG∥EA且FG=EA．
又DC∥EA，CD=EA，
∴GF∥DC且GF=DC．
∴四边形CDFG为平行四边形，
∴FD∥CG．
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：△ABC中，CA=CB．G是AB的中点，∴CG⊥AB
∵EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，
∴AE⊥CG．
∵AB∩EA=A，AB?平面AEB，EA?平面AEB
∴CG⊥平面AEB．
又∵DF∥CG，
∴DF⊥平面AEB．DF?平面BDE
∴平面ADF⊥平面ABE．
点评：本题主要考查空间面面垂直以及线面平行的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．
19. 记函数的定义域为A，g(x)＝lg(x－a－1)(2a－x) (a<1)的定义域为B.
(1)求A；(2)若B?A，求实数a的取值范围．
参考答案：
(1)由2－≥0，得≥0.
解上式得x<－1或x≥1，
即A＝(－∞，－1)∪1，＋∞)．
(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，
得(x－a－1)(x－2a)<0.
由a<1，得a＋1>2a.
所以g(x)的定义域B＝(2a，a＋1)．
又因为B?A，则可得2a≥1或a＋1≤－1，
即a≥或a≤－2.
因为a<1，所以≤a<1或a≤－2.
故当B?A时，实数a的取值范围是
(－∞，－2∪．
20. 已知向量，.
（1）若角的终边过点(3,4)，求a·b的值；
（2）若a∥b，求锐角的大小.
参考答案：
解：（1）由题意，，
所以
.
（2）因为，所以，即
，所以，
则，对锐角有，所以，
所以锐角.
21. 已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得
=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出g（x）的导数，由题意可得即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx ﹣ax，求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求得单调区间得到最大值，令最大
值大于0，解得a的范围0＜a＜，即可判断不存在实数a．
【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=xlnx﹣x2，导数f′（x）=1+lnx﹣2x，
又f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=﹣（x﹣1），
即为y=﹣x；
（2）g′（x）=f′（x）﹣1=lnx﹣ax，g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=0有两个不同的实根．
设h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=﹣a，
当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增，g（x）=0不可能有两个实根；
当a＞0时，若0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，
若x＞，h′（x）＜0，h（x）递减．
则h（）取得极大值，也为最大值，且为﹣1﹣lna＞0，
即有0＜a＜，g′（a）=lna﹣a2＜0，
不妨设x2＞x1＞0，g′（x1）=g′（x2）=0，lnx1﹣ax1=lnx2﹣ax2=0，
lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），
即=a＞0，
故不存在实数a，使得=g′（a）成立．
22. （本题满分12分）已知函数f(x)=lnx－.
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.
参考答案：
(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f ′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数. ………………3’
(2)由(1)可知：f ′(x)＝，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).
③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.
综上可知：a＝－. ………………12’。